2. Моделирование эффекта близости при электронной литографии

Электроны обратнорассеянные из подложки, передают резисту энергию излучения на расстоянии в несколько микрометров от центра экспонированного луча. Поскольку резист суммирует вклады энергии от всех окружающих областей, доза экспонирования, полученная одним штрихом, воздействует на процесс экспонирования, соседних штрихов. Это явление называют эффектом близости. При проникновенииэлектронов в резист из рассеяние приводит к размытию профиля распределения энергии экспонирования. Следовательно, изображение проявленное в резисте, будет иметь размеры большие по сравнению с размерами, определяемыми падающим электронным лучом. Явление рассеяния ограничивает минимальную воспроизводимую ширину линий. Поскольку обратнорасссеяные электроны могут проходить большие расстояния передповторным внедрением в пленку резиста, их некоторое количество внесет вклад в экспонирование областей резиста, расположенных в окрестности сформированного изображения. Другими словами, суммарная поглощенная резистом энергия зависит от близости соседних экспонированных областей.

Рис. Эффект рассеяния электронов в покрытой резистом подложке

В экспонирование центральной области элемента большого размера (точка А на рис. ) вносят вклад все электроны, экспонирующие соседние области. Резист в точке В получает однако только половину энергии экспонирования точки А, а резист в точке С (в углу элемента) – только ¼ энергии экспонирования точки А. Изображение на резисте обычно проявляется до тех пор, пока ширина элемента рисунка не станет равной ширине, заложенной в конструкции схемы, т.е. до точки В. Заштрихованная область на рисунке представляет собой проявленное изображение элемента схемы. Из-за эффектов близости углы элемента не проявляются до положений, определенных конструкцией элемента. Такое явление называют внутренним эффектом близости. Воздействие этого эффекта приводит к тому, что элементы различного размера воспроизводятся по разному. Элементы, обладающие большой длиной и малой шириной, после проявления имеют размеры, меньшие, чем это определено конструкцией схемы, так как доза экспонирования и условия проявления оптимизированы для получения требуемого положения края элемента в точке В. Кроме того, при экспонировании резиста проявляются эффекты, связанные с тем, что обратнорассеяные электроны проходят большие расстояния, так что элементы топологии, расположенные относительно близко друг к другу, подвергаются воздействию экспонирующего облучения соседних областей. Это так называемые внешние эффекты близости.

Для введения поправки на действие эффектов близости топологический рисунок может быть разбит на меньшие элементы. Доза экспонирования малых элементов подбирается такой, чтобы средняя доза экспонирования каждого топологического рисунка соответствовала величине, определенной при конструировании.

Рис. Внешний и внутренний эффект близости при сканировании электронным лучом

Для воспроизведения элементов топологии резиста минимальных размеров с малым отклонением от номинальных значений (менее 10%) обычно требуется несколько перемещений электронного луча. Как правило, число перемещений электронного луча с гауссовым распределением интенсивности равно четырем и более, при этом промежутки между положеними луча равны половине ширины линии луча. При формировании тополгии с помощью электронного луча используют два основных метода – векторное и растровое сканирование.

Существует еще один метод формирования топологии с использованием электронного луча изменяемой формы в векторной сканирующей системе. Электронный луч проходит через апертуру, придающую ему определенную форму, и попадает на вторую формирующую апертуру. За счет отклонения изображения луча, прошедшего первую апертуру, в соответствии со второй апертурой луч переменной формы может быть сформирован и направлен в определенные участки схемы. С помощью этого способа может быть значительно увеличена производительность электронно-лучевого литографического оборудования.

Высокого разрешения можно достичь ценой снижения чувствительности резиста и уменьшения производительности.

В электронно-лучевой литографии для экспонирования полимерных резистивных слоев используются остро сфокусированные электронные пучки. Взаимодействие и рассеяние электронов внутри пленки резиста и лежащей под ней подложки зависят от энергии пучка, типа резиста и его толщины, параметров подложки и т.п. Достижение наилучшего разрешения ограничивается скорее всего не характеристиками падающего пучка, а рассеянием электронов. В действительности процесс рассеяния электронов в твердых телах настолько сложен, что для получения количественных результатов приходится применять численные модели. Для практических целей интерес представляет только метод Монте-Карло. Для того чтобы рассчитать энергию вносимую электронным пучком в пленку резиста по этому методу, моделируется большое число отдельных электронов электронов. Электроны претерпевают рассеяние на ядрах мишени (упругое рассеяние). Кроме того, потери энергии происходят и за счет процессов неупругого рассеяния при взаимодействии электронов пучка с электронами мишени. Упругое рассеяние в основном приводит к изменению направления движения входящих электронов. Для моделирования упругого рассеяния используется формула экранирования Резерфорда с учетом дифференциальных сечений

, (10.69)

где – дифференциальное сечение на единичный телесный угол и – параметр экранирования равный

. (10.70)

Рис. Схематическая диаграмма, иллюстрирующая отдельные этапы моделирования процессов рассеяния электронов по методу Монте-Карло в тонкой пленке фоторезиста на толстой подложке.

Предполагается, что между двумя упругими соударениями электроны движутся по коротким прямым отрезкам (рис. 10.25). В каждой точке, где электрон претерпевает соударение, результирующий азиму4тальный угол определяется за счет выбора случайного взвешенного числа с дифференциальным сечением по уравнению (10.69). Длина пути _i меду каждыми двумя соударениями выбирается с помощью оценки пути свободного пробега за счет другого случайного числа, лежащего в диапазоне от нуля до единицы. На каждом этапе энергия электрона уменьшается, что учитывается путем умножения длины пути на бете-скорость рассеяния энергии:

, (10.71)

где Е – энергия электрона, Z и A – соответственно атомный номер и атомный вес твердого тела, N₀ – число Авогадро,  – плотность твердого тела и I – среднее значение энергии возбуждения.

Процесс такого расчета повторяется до тех пор, пока электроны не остановятся. В зависимости от угла рассеяния соударения могут быть разделены на две категории: прямое рассеяние и обратное рассеяние. На рис. 10.26 показаны траектории пучка из 100 электронов с энергией 10 и 20 кэВ, представляющего собой дельта функцию и падающего на пленку полиметиметакрилата (ПММА) толщиной 0,4 мкм на поверхности толстой подложки кремния.

Рис. Результаты моделирования пробегов 100 электронов в ПММА: а – 10 кэВ, б – 20 кэВ.

Скрытое изображение, которое представляет собой плотность поглощенной энергии от источника, являющегося линейной -функцией, позволяет провести расчеты пространственного распределения плотности энергии для пучка любой произвольной формы с помощью Фурье-преобразования. Если экспонируемый профиль должен быть получен в виде прямоугольного пучка (рис. 10.28 а), то профиль плотности поглощения энергии определяется из результатов расчета по методу Монте-Карло путем свертки гауссова распределения с учетом размеров самого прямоугольника. Результат свертки записывается как

, (10.72)

где В – ширина пучка (полная ширина на ½ максимального значения) равна 2а,  – среднеквадратичное отклонение, – некоторая константа. Для наклон края распределения составляет

. (10.73)

Ширина края EW определяется как и получается путем проведения касательной к точке , пересекающей и . Край симметричен относительно средней точки высоты распределения.

Рис. Профиль распределения плотности энергии для линейного источника

Если экспонируема картина должна быть получена в виде линии, составленной из одного или более пучков с гауссовой формой распределения, но с разными парамеитрами, то пучок описывается выражением

. (10.74)

В зависимости от действительной формы пучка для численной свертки открытого изображения от идеального источника используют либо выражение (10.72), либо выражение (10.73). Такая свертка предполагает, что справедливо предположение о совпадении между областью экспонирования электронами и областью поглощения энергии.

Рис. 10.28 Экспонирование рисунков в случае пучка произвольной формы (EW – ширина края).

а – схематическое представление прямоугольного пучка; б – схематическое представление круглого пучка с гауссовым профилем.

Как и в случае оптической литографии, рассчитываем процесс проявления резиста. Для позитивных резистов основное соотношение между R и E выглядит следующим образом:

, (10.75)

где R (нм/с) – скорость травления, z – расстояние в глубь структуры по поверхности, Е (кэВ/см²) – плотность локально поглощенной энергии, а А, В и n – константы пропорциональности. Зависимость  от Е моделируется в виде

, (10.76)

где С и m – константы, а Е оценивается для z = 0.

Моделирование по методу Монте-Карло совместно с моделированием резиста –чрезвычайно мощный метод для исследования эффекта близости. При соответствующем подборе дозы облучения для каждой линии можно достичь того, что все линии после проявления будут иметь одинаковые размеры за одно и тоже время проявления.

Использование метода Монте-Карло для корректировки дозы экспонирования с учетом эффектов близости слишком дорого, поскольку требует составления больших программ вычисления и больших затрат машинного времени. Для облегчения изучения эффектов близости используют аналитические функции.

Рис. Графическое представление функции , учитывающей близость расположения элементов, для произвольных значений энергии падающего электронного пучка, резиста и подложки. (Распределение электронов, рассеянных в прямом направлении, имеет характеристическую ширину , а распределение электронов, рассеянных в обратном направлении, –).

Функция , учитывающая близость расположения элементов, может быть аппроксимирована двумя гауссами распределениями со среднеквадратичными отклонениями , и отношением площадей

, (10.77)

Для определения параметров, входящих в уравнение (10.77), в каждом конкретном случае выбора состава резист – подложка и энергии Е используются расчеты по методу Монте-Карло и экспериментальные методы. В реальных задачах сложные топологические рисунки разбивают на элементарные фигуры. Если эти элементарные фигуры представляют собой прямоугольники, то топологический рисунок, состоящий из N прямоугольников, обладает 5N параметрами регулировки: четырьмя геометрическими параметрами (двумя величинами x и двумя величинами у) и одним параметром экспонирования на каждый прямоугольник. Функция, учитывающая близость расположения элементов (10.77), используется для расчета дозы, необходимой для экспонирования i-й элементарной фигуры с площадью А_i:

. (10.78)

В случае использования прямоугольников решения уравнения (10.78) получается в аналитическом виде. На следующем этапе определяется набор из М чисел, значения которых отражают качественное соответствие между расчетными и требуемыми топологическими рисунками. Здесь происходит ограничение каждой элементарной фигуры только по одному из параметров регулировки (М = N). Единственный параметр соответствует дозе экспонирования элементарной фигуры Еi и единственный вектор M_i – средняя доза в элементарной фигуре. Используя уравнение (10.78), можно рассчитать среднюю дозу в j-й фигуре в ходе экспонирования i-й фигуры:

, (10.79)

Общая средняя доза в j-й фигуре представляет собой сумму вкладов всех доз экспонирования:

, (10.80)

где линейна по отношению к экспонированию и представляется в виде

, (10.81)

а симметрична по отношению к экспонированию к i и j .

Полагая каждое Di равным некоторой средней дозе D, получим систему из N уравнений:

. (10.82)

Решение этой системы позволяет определить все значения Е.

Качество корректировки, достигаемое по рассмотренному алгоритму, ограничивается способом разделения общего топологического рисунка на элементарные фигуры. Эффективность увеличения числа форм разбиения может быть проконтролирована за счет выделения в топологическом рисунке только тех участков, которые наиболее сильно влияют на возникновение эффекта близости. Подход к процедуре выделения таких участков в топологическом рисунке состоит в следующем:

Рис. а – разбиение топологического рисунка на восемь прямоугольников; б – разбиение топологического рисунка на 21 прямоугольник, полученное при использовании алгоритма.

Обратите внимание на участки I-IV, где необходимо провести корректировку эффекта близости для того чтобы добиться растворения резиста и точного воспроизведения топологического рисунка. Если такая корректировка не проводится, то относительная величина экспонирования каждого прямоугольника принимается равной единице. Если такая корректировка проводится с использованием самосогласованного алгоритма, величина экспонирования, показанная в относительных единицах на рисунке, подбирается для каждого прмоугольника.\

1. Предварительная попытка корректировки эффектов близости для данного топологического рисунка.

2. Оценка качества полученного топологического рисунка.

3. Если качество топологического рисунка не выдерживает определенных критериев в какой-либо точке, то необходимо уменьшить размеры элементов в этой точке и прилегающих к ней областях.

4. Повторная попытка корректировки.

Такая процедура повторяется до тех пор, пока качество топологического рисунка не становится удовлетворительным или пока дальнейшее уменьшение размеров элементарных фигур, выделяемых в топологическом рисунке, делается невозможным в связи с техническими ограничениями, связанными с электронно-лучевым оборудованием.

Приложение этого алгоритма к восьми прямоугольникам на топологическом рисунке, приводит к разбиению топологического рисунка на более мелкие прямоугольники. Необходимо обратить внимание на области I–IV на рис. 10.32, а, где эффекты близости приводят к необходимости корректировки для полного растворения резиста и достижения необходимого качества топологического рисунка. Если корректировка проводилась по алгоритму, определяемому уравнениями (10.79)–(10.82), то расчетные величины экспонирования для каждого прямоугольника соответствует приведенным на рис. 10.32,б.