5.1. Физика полупроводников с пониженной размерностью

Твердые тела (обычно полупроводниковые материалы) имеют низкую размерность или просто называть их размерными в тех случаях, когда один из их геометрических размеров имеет порядок , хотя в некоторых хотя в некоторых случаях удобнее пользоваться другими характеристическими длинами:

Средний свободный пробег электрона ,

где - время релаксации.

Диффузионная длина .

Длина экранирования .

Длина локализации ,

если размеры образца имеют порядок , то система считается мезоскопической.

Для большинства практически используемых полупроводников величина лежит в диапазоне от 10 до 100 нм, т.е. можно наблюдать в них квантовые эффекты именно в нанометровом диапазоне.

В современной оптоэлектронике широко применяются структуры с очень тонкими, нанометровыми слоями полупроводников (например, слоистая структура из тонкой пластины GaAs, окруженной с двух сторон слоями AlGaAs, обладающего более широкой запрещенной зоной), Другие очень интересные структуры могут быть получены образованием переходов (гетеропереходов) между двумя полупроводниками с различными запрещенными зонами. В обоих случаях на границе раздела возникают потенциальные ямы для электронов. Если ширина таких ям сопоставима с параметром , то энергетические уровни электронов в ямах начинают квантоваться.

Основные характеристики двумерных полупроводниковых структур

Удобным модельным объектом, позволяющим понять свойства квантоворазмерных систем, является прямоугольная потенциальная яма (рис. 4.1). Как видно из рис. 4.1 а, из-за наличия стенок ямы движение носителей (и электронов и дырок) не может происходить вдоль оси z перпендикулярной яме, однако в двух остальных направлениях (х и у, параллельных плоскости границы раздела) электроны остаются свободными и их движение ничем не ограничено.

Рис. 4.1 (а) Прямоугольная потенциальная яма в трехслойной системе AlGaAs–GaAs– AlGaAs; (б) энергетические уровни; энергетические подзоны.

Задачи о движении электрона в потенциальных ямах различной конфигурации решены в стандартных курсах квантовой механики. В простейшей модели прямоугольной потенциальной ямы бесконечной глубины или, что то же самое, потенциального ящика со стенками бесконечной высоты, задача имеет простые аналитические решения. Энергетический спектр электрона и одноэлектронные волновые функции для потенциала

V(z) = 0 при 0 < z < а

V(z) → ∞ при 0 > z > а

имеют вид

, (4.1)

, (4.2)

где квантовое число n = 1, 2, 3... определяет собственные значения (уровни размерного квантования E₁, E₂, E₃,...) в прямоугольной яме шириной d. Множитель является нормировочным.

Из уравнения (4.2) можно сразу получить несколько важных характеристик поведения системы. Прежде всего, ясно, что квантовые эффекты должны особенно сильно проявляться в структурах с малыми значениями а, причем именно в материалах, где эффективная масса электрона является очень малой. Размерные квантовые эффекты электронными переходами между уровнями) гораздо удобнее наблюдать при низких температурах, поскольку средняя тепловая энергия носителей заряда имеет порядок kT.

Часто бывает удобно начало отсчета выбрать не на границе ямы, а в ее центре. Тогда имеем

V(z) = 0 при a/2 < z < a/2

V(z) → ∞ при a/2 > z > a/2

Решения для Е_n будут иметь тот же вид, а волновые функции перепишутся:

для n = 1, 3, 5...

для n = 2, 4, 6...

При уменьшении потенциального барьера V (глубины ямы) появляется возможность просачивания электрона за барьер – хорошо известный эффект туннелирования. Для ямы с конечной высотой барьера V₀ и шириной a собственные значения Е_n находятся из решения трансцендентного уравнения

, (4.117)

где опять-таки n = 1, 2, 3... является хорошим квантовым числом, нумеруя уровни энергии. Собственные волновые функции, как и распадаются на четные и нечетные относительно центра ямы, но их амплитуды на границах ямы отличны от «0» и они экспоненциально затухают по мере удаления от барьера. Амплитуда на границе, как и постоянная затухания, зависят от параметров ямы V₀ и a и от номера уровня п, определяя вероятность туннелирования через барьер. Характер изменения собственных значений Е_n и собственных волновых функций ψ_n показаны на рис. 1.

Заметный интерес представляют не только одиночные структуры типа квантовых ям, но и их набор. Если ямы отделены друг от друга достаточно широким потенциальным барьером, так что электронные волновые функции не проникают из одной ямы в другую, то их взаимодействием можно пренебречь и свойства структуры, состоящей, например, из набора N одинаковых ям, будут аддитивно складываться. Такие структуры удобно использовать, например, для увеличения поглощательной способности или числа активных центров в N раз.

Рис. 1. Собственные значения энергии Е_n и собственные волновые функции ψ_n для свободного электрона в прямоугольном потенциальном ящике шириной d = 1 нм (а), 5 нм (б), 10 нм (в) бесконечной и конечной глубины

Многие физические характеристики материалов (такие, как оптическое поглощение, перенос зарядов и т.п.) зависят одновременно и от энергетического спектра, и от вида функции плотности состояний, определяющей концентрацию электронов для каждого конкретного значения энергии. Для трехмерной электронной системы эта функция имеет параболический видю В двумерном случае ситуация кардинально изменяется. В двумерных задачах kx и ky имеют периодичность , где L – размер образца, который без потери общности рассмотрения предполагается квадратным. Число состояний в k-пространстве внутри круглого кольца, заключенного между k и dk (рис. 4.1), равно

,

а число состояний в k-пространстве на единицу площади составляет

. (4.5)

Функция плотности состояний по энергии в подзоне

. (4.7)

Для двумерных систем полная функция плотности состояний, график которой приведен на рис. 4.3.

Рис. 4.3 Функция плотности состояний для двумерной электронной системы

Из рис. 4.1 видно, что значения энергии между 0 и Е1 являются запрещенными. При значениях Е в интервале Е₁< Е< Е₂ электроны могут располагаться в подзоне, соответствующей n = 1, где функция плотности состояний равна . В интервале между Е₂ и Е₃ электроны могут располагаться одновременно в двух подзонах (соответствующей n = 1 и n = 2), вследствие чего функция плотности состояний просто удваивается по значениб, т.е. становится равной и т.д.

Прямоугольная потенциальная яма конечной глубины

В качестве таких структур, где возможно формирование двумерного электронного газа, могут выступать структуры металл – диэлектрик – полупроводник (МДП) или гетероструктуру. В первом случае одной стенкой, формирующей яму, служит граница с диэлектриком, а роль второй стенки выполняет электростатический потенциал eFz, возникающий инверсном слое МДП-структуры при приложении обратного пряжения U и прижимающий электроны к границе с диэлектриком, как показано на энергетической диаграмме. Напряженность поля в инверсном слое, где е – диэлектрическая проницаемость полупроводника, п_л – двумерная концентрация [см²] электронов в слое. В такой треугольной потенциальной яме уровни энергии задаются приближенным соотношением и справедливым для треугольной ямы бесконечной глубины. Квантовое число п, как и для прямоугольной ямы, может принимать значения и = 1, 2, 3...

Отметим, что в соотношения входят диэлектрическая проницаемость и эффективная масса электронов, учитывающие влияние среды на движение свободных носителей заряда.

Из рис. 6, а видно, что в инверсном слое МДП-структуры концентраций электронов п, и параметрами потенциальной ямы, а следовательно – параметрами уровней размерного квантования, можно управлять, изменяя приложенное напряжение U на затворе. Характерная ширина инверсного канала Az может быть оценена как ширина классической разрешенной области для электронов с энергией Е_п

Типичные значения, для МДП-структур, сформированных на поверхности (100) кремния и диэлектрика, составляет 1О¹²...1О¹³ см², а расстояния между нижними уровнями размерного квантования – десятки мэВ, т. е. больше кТ при комнатной температуре. Из соотношений видно, что эффективная ширина ямы Az~.F~^1/3 т. е. убывает с ростом поля.

Потенциальная яма, близкая по форме к треугольной, может быть реализована вблизи гетерограницы (интерфейса), образованной широкозонным и узкозонным полупроводником за счет разрывов зоны. Для резкого изотипного N-n-гетеро-перехода это показано на рис. 6, б. Один потенциальный барьер образован скачком потенциала Ve вызванным разницей в величинах электронного сродства Х\ и Ъ широкозонного и узкозонного материалов, а второй потенциальный барьер, как и в случае МДП-структуры, создается электростатическим потенциалом. В широкозонном эмиттере вблизи гетерограницы мелкие доноры ионизованы, образуя тонкий положительно заряженный слой, который компенсируется электронами, инжектированными в узкозонную область. Образуется двойной электрический слой, как показано на рис. 4.55, б.

Рис. 6. Структуры с двумерным электронным газом:

а – металл – диэлектрик – полупроводник (МДП); 6 – изотопный N – п – гетеропереход; в – двойная гетероструктура (ДГС)

Тот факт, что один из барьеров ямы образован электростатическим потенциалом, часто является недостатком: этот барьер довольно пологий и его крутизна изменяется при изменении Концентрации носителей, т. е. барьер может «плавать» (впрочем, может иногда рассматриваться как достоинство).

Реализовать квантовую яму, близкую к прямоугольной, наиболее просто с помощью двойной гетероструктуры (ДГС). Действительно, достаточно к одиночному гетеропереходу, изображенному на рис. 6, б, добавить со стороны узкозонной базы еще один барьер, образованный на контакте со вторым широкозонным материалом, как носители заряда окажутся запертыми в потенциальном ящике, стенки которого образованы двумя гетерограницами. В случае резких гетеропереходов эти стенки близки к вертикальным, а сам тонкий узкозонный слой полупроводника, помещенный между двумя широкозонными слоями, представляет собой прямоугольную квантовую яму, в которой движение носителей заряда в плоскости слоя (х, у) происходит без ограничений, а в направлении, перпендикулярном гетерограницам, это движение ограничено и при соблюдении рассматриваемых выше условий происходит квантование энергетического спектра. Тот факт, что электроны здесь двигаются не в свободном пространстве (вакууме), а в материальной среде (например, в эпитаксиальном монокристаллическом слое), учитывается введением диэлектрической проницаемости среды е и заменой массы свободного электрона 1D на эффективную массу т_п или т_р аналогично тому, как это делается в обычных кристаллах

В реальных материалах глубина ямы имеет конечную величину и должна совпадать со значением разрыва зоны проволдимости GaAs и AlGaAs, которое для рассматриваемой задачи составляет несколько десятых эВ. (рис.6).

Волновые функции связанных состояний внутри потенциальной ямы должны иметь тот же вид, что и для ямы бесконечной глубины, т.е. соответствующие им решения могут сохранять свою симметричночть или несимметричность. С другой стороны, из квантовой механики известно, что решения для пространства вне потенциальной ямы (полученные из уравнения Шредингера при потенциальной энергии V₀) должны представлять собой экспоненциально убывающие функции. Поэтому естественно искать общие решения для волновых функций в виде линейных комбинаций именно таких функций:

(4.8)

где внутри потенциальной ямы (4.9а)

и вне потенциальной ямы (4.9б).

Можно показать, что для одномерной ямы всегда можно найти, по крайней мере, одно связанное состояние, независимо от того, насколько мало значение V₀. Далее для слабосвязанных состояний коэффициент убывания k в экспоненте уравнения (4.8) не очень велик, вследствие чего волновые функции, представленные на рис.6 могут достаточно глубоко проникать в область барьера. С другой стороны, можно показать, что для сильносвязанных состояний глубина проникновения в запрещенную зону очень мала.

Параболическая и треугольная квантовые ямы

Квантовые ямы с параболическим потенциалом могут быть получены экспериментально с использованием молекулярно-лучевой эпитаксии (MBE). Например, Например, таким методом может быть получена слоистая структура из чередующихся пленок GaAs и Al_xGa_1–xAs, в котрой толщина слоев AlGaAs квадратично возрастает с расстоянием, в то время как толщина соответствующих слоев GaAs уменьшается в такой же пропорции.

Известно, что разрешенные энергии в случае наиболее распространенного потенциала одномерного гармонического осциллятора

(4.10)

(k – постоянная) являются эквидистантными (т.е. отличаются друг от друга на одинаковую величину) т описываются формулой

, (4.11)

где ₀ – так называемая собственная угловая частота.

Рис. 4.5 Первые три энергетических уровня и соответствующий им волновые функции потенциальной ямы V(z) гармонического осциллятора.

На рис.4.5 показана параболическая потенциальная яма и волновые функции для первых трех связанных электронных состояний. Как и в случае прямоугольной ямы, волновые функции симметричны или антисимметричны относительно центра ямы и экспоненциально убывают в запрещенной энергетической зоны.

Треугольная потенциальная яма

Треугольная потенциальная яма явояется одним из наиболее часто используемых приближений, поскольку потенциальный профиль поперек квантовых гетеропереходов, таких как широко известных модулировано-легированных гетеропереходах AlGaAs–GaAs для электронов, имеют форму, близкую к треугольной.

На рис.4.6 представлена треугольная потенциальная яма, в которой для простоты считается, что с левой стороны потенциальный барьер является бесконечно высоким, а справа для z > 0 он возрастает по линейному закону, т.е. описывается уравнениями

(4.12а)

(4.12б)

где e – заряд электрона; F – однородное электрическое поле. Как и в предыдущих задачах, энергия и волновые функции состояний электронов определяются решениями уравнения Шредингера при граничном условии .

Рис. 4.6 Первые три энергетических уровня и соответствующие им волновые функции для треугольной потенциальной ямы V(z).

В этом случае собственные значения определяются функциями Эйри. Однако, пользуясь известным методом ВКБ (квазиклассическим приближением), можно показать, что при малых значениях n, справедливо соотношение

, (4.13)

Показанные на рис. 4.6 промежутки между уровнями энергии несколько уменьшаются с ростом n, в противоположность параболическому потенциалу, при котором эти промежутки строго равны друг к другу. На рисунке представлены также волновые функции, для которых можно сразу отметить, что с ростом n их периодичность возрастает на половину периода. Кроме того, в отличие от систем с параболическим потенциалом, эти функции не могут быть отнесены ни к симметричным, ни к антисимметричным, поскольку в данном случае нельзя говорить о симметрии относительно центра потенциальной ямы.

Квантовые проволоки

Модель двумерного электронного газа позволяет легко перейти к описанию одномерного электронного газа, в котором движение электронов ограниченно сразу в двух измерениях (х и у), вследствие чего они могут свободно передвигаться только в одном направлении z, которое считается перпендикулярным к плотности (х, у). С формальной точки зрения такое движение описывается аналогично распространению электромагнитной волны.

Предположим, что ограничивающий движение потенциал является функцией r = (x,y), т.е. V = V® и что к задаче приме ним метод разделения переменных, использованный для решения уравнения Шредингера. Можно записать волновые функции в виде

, (4.14)

где волновая функция u(r) может быть получена из решения следующего двумерного уравнения Шредингера:

, (4.15)

где (n₁, n₂) = 1, 2, 3, …

Выражение для полной энергии электронов в квантовой проволоке может быть записано в виде:

, (4.16)

где последний член в правой части описывает кинетическую энергию движения электрона вдоль оси z.

В качестве примера вычисления энергии для конкретной системы рассмотрен простейший случай двумерного прямоугольного потенциала бесконечной длины с размерами (ax, ay), т.е. потенциал вида

(4.17)

для которого, используя полученный (4.2) ранее результат, можно выписать значения разрешенных уровней энергии:

, (4.18)

Другая достаточно легко решаемая в цилиндрических координатах задача связана с рассмотрением проволоки с круглым сечением, когда решения могут быть найдены в виде функций Бесселя. Вообще говоря, в случае квантовых проволок энергетические уровни, соответствующие поперечному движению, описываются двумя квантовыми числами – n₁ и n₂, соответствующим конкретным значениями для дна параболической одномерной подзоны в пространстве k_z. Значения уровней для электронных состояний возрастают при уменьшении толщины квантовых проволок.

Концентрация состояний (в зависимости от энергии) связана с волновым числом соотношением

, (4.20)

Используя представление о групповой скорости ( ) можно переписать полученное выражение в форме

, (4.21)

из которго следует, что ток в одномерной системе является постоянным, а его величина пропорциональна скорости и плотности состояний.

Из уравнения (4.20) можно получить также выражение для полной плотности состояний (в пересчете на единицу дляны проволоки) в виде

. (4.22)

Функция плотности состояний для одномерной системы представлена на рис.4.7, которую можно сравнить с параболической функцией плотности состояний для трехмерной системы. Важнейшее различие состоит в том, что в одномерных системах функция расходится при значениях энергии , соответствующих дну подзон, что имеет важные следствия для физических характеристик квантовых проволок.

Квантовые точки

Термин «точка» как бы подразумевает бесконечно малые размеры объекта, реальные квантовые точки могут содержать достаточно большое число атомов (до 10⁴–10⁶), сохраняя при этом наномасштабы во всех измерениях. По аналогии с атомами мы можем определить для квантовых точек энергию ионизации, т.е. энергию, необходимую для ввода в систему (или удалению из нее) дополнительного электрона. Многие «атомарные» свойства квантовых точек изучаются именно посредством измерения их электрических характеристик. С этой точки зрения очень важно отметить, что введение или удаление хотя бы одного электрона в квантовую точку может, в отличие от одномерных (1D) или двумерных (2D) систем, весьма существенно изменить электрические характеристики точки, что проявляется в таких известных эффектах, как большие колебания проводимости и эффект кулоновской блокады.

Энергетический спектр квантовых точек в простейшем случае, когда ограничивающий потенциал равен нулю внутри некоторого ящика (размерами a_x, a_y, a_z) и бесконечен вне этого объема. Решением этой задачи являются стоячие волны в качестве волновых функций электронов и энергетические урони вида

В отличие от одномерных и двумерных систем, энергия в этом случае квантуется полностью.

Поскольку в квантовых точках движение электронов полностью ограниченно, энергетический спектр должен быть только дискретным, а функция плотности состояний должна представлять собой набор пиков с бесконечно малой шириной и бесконечной высотой (рис.4.8). Понятно, что на практике такие пики имеют малую (но конечную) ширину, хотя бы потому, что электроны не являются абсолютно независимыми, и должны как-то взаимодействовать с фононами и примесными атомами решетки.

Рис. 4.8 Функция плотности состояний для нульмерной (0D) электронной системы

Зонная структура в квантовых ямах

Для правильной интерпретации экспериментальных данных по оптическому поглощению в квантовых ямах необходимо четко представлять себе строение зонной структуры изучаемых материалов. На рис. 8.2 показаны спектры поглощениния периодической структуры GaAs/AlGaAs с множественными квантовыми ямами (40 периодов) (такие системы обозначают аббревиатурой MQW – multiple quantum wells), ширина барьеров в которой составляет около 7,6 нм. Спекиры в целом соответствуют ступеням в функции плотности состояний для двумерных полупроводников. На краю каждой ступеньки проявляется резкий максимум, который в соответствии с изложенной в следующем разделе теорией следует приписать экситонным эффектам.

Рис. 8.2 Спектры поглощения множественных квантовых ям (MQW) с шириной около 7,6 нм в структурах GaAs/AlAs. Спектр описывает переходы в электронные состояния из зон тяжелых (НН) и легких дырок (LH).

Расщепление вырожденного состояния валентной зоны определяется тем, что одномерный потенциал, связанный с квантами ямами, нарушает кубическую симметрию кристаллов, в результате чего и снимается вырождение в дырочных зонах GaAs, подобно тому, которое описано в случае механических напряжений. Расчеты показывают, что наличие потенциала ямы приводит к тому, что состояния для легких дырок смещаются вниз сильнее, чем состояния для тяжелых (рис. 4.13).

Рис. 4.13 (а) валентные зоны в объемном кристалле GaAs; расположение валентных зон в квантовой яме внутри кристалла GaAs.

В целом зонная структура в квантовых ямах имеет очень сложный вид, так что во многих случаях ее можно рассчитать только с применением численных методов. На рис.4.14 приведены результаты численного расчета для множественных квантовых ям (МКЯ) в структуре AlGaAs–GaAs.

Рис. 4.14 Структура валентных зон для множественных квантовых ям (МКЯ) в структуре AlGaAs–GaAs. Некоторым зонам (HH2) соответствуют отрицательные эффективные массы дырок вблизи k = 0, а форма некоторых зон (НН3) значительно отличается от параболической.

Экситонные эффекты в квантовых ямах

В системах рассматриваемого типа (квантовые ямы, проволоки и точки), где движение электронов и дырок существенно ограничивается по сравнению с обычными объемными кристаллами, особую важность приобретают экситонные эффекты. Причиной этого является и то, что энергия связи, необходимая для формирования экситона в виде электронно-дырочной пары, в системах с квантовыми ограничениями значительно превышают энергию такой же связи в объеме кристалла. Поэтому экситонные переходы в таких системах могут наблюдаться даже при комнатных температурах, в то время как в объемных структурах для их проявления необходимы очень низкие температуры.

На рис.4.15 показаны две возможные ситуации для экситона в квантовой яме: а) Боровский радиус аВ намного меньше ширины квантовой ямы (что соответствуютобъемному кристаллу) и б) Боровский радиус намного превышает ширину ямы. Во втором случае расстояние между электроном и дыркой ограничено шириной ямы, поэтому экситон «сжимается», что естественно, приводит к усилению кулоновского притяжения.

Рис. 4.15 (а) Орбиты экситона в объемном кристалле; (б) сферическая форма экситона вытягивается внутри квантовой ямы, ширина которой меньше радиуса экситона.

Важным следствием увеличения энергии связи является то, что экситоны в квантовых ямах на разрушаются под воздействием очень сильных электрических полей, что используется, например, для создания оптоэлектронных модуляторов. Кроме того, так называемая сила осциллятора для экситонных переходов ограничена более узким диапазоном энергий, в результате чего их интенсивность возрастает.

Численные расчеты позволяют более точно определить энергию связи экситона и зависимости от ширины квантовой ямы. (рис.4.16). В тех случаях, когда ширина ямы много больше Боровского радиуса экситона практически не отличается от той, которая характерна для объемных кристаллов. Однако затем, по мере уменьшения ширины ямы, экситоны в ней постепенно сжимаются, в результате чего возрастает кулоновское взаимодействие, и при ширине ямы около 3-4 нм энергия связи достигает своего максимума, примерно втрое превышающего значение для объемного кристалла. Когда яма конечной глубины становится слишком узкой, энергия локализации экситона возрастает, в результате чего волновые функции электрона (и в меньшей степени дырки) начинают преодолевать энергетический барьер за счет квантового туннелирования.

Рис. 4.16 Зависимость энергии связи для дырок в квантовой яме структуры GaAs–AlGaAs от ширины ямы.