Взаимодействующие системы

Рассмотрим совокупность N взаимодействующий частиц, которые под воздействием внешних полей испытывают рассеивание и претерпевают диффузию с известными скоростями. Влияние внешнего среднего силовых полей учитывается в левой части мастер-уравнения, где имеется производная по времени, как, например, в уравнении Больцмана. Члены, связанные с рассеиванием и диффузией, входят в правую часть мастер- уравнения, где приводятся скорости перехода. Предположим, что происходит i=1,2….p типов различных процессов с заданной скоростью .

Для системы невзаимодействующих частиц можно ограничиться рассмотрением только одной частицы и при использовании случайного числа выбирать скорость процесса, в котором она может участвовать: если случайное число r находится в интервале 0<r<1 и выполняется условие

То выбирается процесс со скоростью . Величина -фиктивная скорость процесса, называемая скоростью «саморассеяния», позволяющая вычислять время «свободного полета»,или «покоя» частицы. Если выбирается процесс со скоростью то вообще не происходит никакого рассеивания, и частица продолжает свой «свободный полет». В таком случае, согласно этому процессу, частица претерпевает рассеивание и переходит в иное состояние, для выбора которого также может потребоваться случайное число. После этого нужно установить, сколько времени проходит до того момента, когда частица испытывает следующее рассеивание. Это время явно зависит от текущих скоростей рассеивания. Как описано в примере предыдущего раздела «Другие находки для улучшения скорости моделирования», время покоя частицы рассчитывается по выражению

,

где r-снова случайное число из интервала [0,1). Это приводит к ускорению «физического времени» только на , тогда как «расчетное время» увеличивается на час. Снова случайно должен выбираться новый процесс рассеяния, и вышеупомянутые стадии должны повторяться.

Это необходимо осуществлять в течение долгого времени на отдельной частице, если система представляет собой систему невзаимодействующих частиц, или на всех частицах, если происходит взаимодействие. Тогда средние по ансамблю заменяются средними по времени. Если доступны большой объем памяти и небольшое число состояний, можно рассчитать и табулировать все скорости рассеяния заранее, сохранить их просматривать лишь, когда необходимо. Для более подробного ознакомления см. книгу Сингха [16] с цитируемой литературой, в которой метод МК используется для описания процессов переноса в полупроводниках.

В случае взаимодействующих частиц можно столкнуться с такой же проблемой, как только что упоминавшаяся. Теперь вместо р процессов будем иметь процессов. Один из них должен быть выбран случайно. Это эквивалентно выбору частицы и процесса случайным образом. Допустим, что имеет место рассеяние и обновление состояния системы ( потенциалы и силы). Тогда скорости рассеяния, вероятно, следует вычислять по ходу движения частицы, и они не могут быть табулированы для дополнительного использования, так как эти скорости зависят от состояния системы. Однако в этом методе допускается аппроксимация, при которой не все частицы двигаются одновременно. Тем не менее, он все еще может оставаться пригодным, поскольку общая скорость, знаменатель z теперь на много больше, и , следовательно, время «свободного полета» становится намного меньшим, в N раз. Этот расчет быстро становится предельно допустимым, по центральный процессор (ЦПУ) пропорционален N. Тогда альтернатива состоит в заимствовании идеи из молекулярной динамики (МД) и фиксировании временного шага В таким. Чтобы порядок его величины, по крайней мере, был меньше, чем наименьший временной масштаб ( или наибольшая скорость перехода), и перемещение всех частиц происходило одновременно. Так как вообще невелико, большую часть времени частицы будут находиться в «свободном полете» в соответствии с потенциалами внешнего и среднего силовых полей. Способ, где рассеяние допускается на каждом временном шаге, состоит в выборе случайного числа в интервале [0,1) и сравнении следующих величин:

.

Отметим, что индекс i начинается с единицы и учитывает только физические процессы. Поскольку выбирается небольшим, процессы рассеяния происходят крайне редко.

Выводы

Основной принцип различных алгоритмов расчета методом Монте – Карло основан на выборе случайных процессов в противоположность детерминированным алгоритмам. Расчеты методом Монте – Карло, в общем, подчиняются временной зависимости модели процесса, для которой изменение принимается не заранее заданным способом, а скорее случайным образом. Успех таких вычислительных алгоритмов зависит от быстрой и эффективной генерации последовательности случайных чисел (или чаще псевдослучайных чисел) во время моделирования.

В общем моделировании методами Монте – Карло самым подходящим является алгоритм, специально подобранный для данного случая. Разработанные ранее алгоритмы для моделирования макроскопических систем могут оказаться необоснованными для малых систем, представляющих интерес для нанотехнологии.

Методы Монте–Карло нашли разнообразное применение в вычислительной нанотехнологии. Достижения в нанотехнологии критически зависят т наличия быстрых и точных методов моделирования при конструировании и описании наноструктур. Имеются существенные проблемы при использовании методов Монте – Карло для предсказания особенностей свойств наносистем, если принимать во внимание тот факт, что куб с ребром 10 нанометров может содержать тысяча атомов и молекул.