3. Влияние электрического поля на свойства квантоворазмерных наноструктур

Напряженность внешнего электрического поля, направленного по оси z, будем обозначать буквой F = E_z, чтобы не путать его с энергией Е. направленное перпендикулярно стенкам ямы, изменяет ее форму и модифицирует как электронный спектр, так и волновые функции. Для одиночной прямоугольной ямы это показано на рис. 4.

Понятно, что свойствами такой одномерной сверхрешетки, образованной набором квантовых ям с шириной а, разделенных потенциальными барьерами высотой V и шириной b, можно управлять, меняя как параметры самой ямы, так и период сверхрешетки A ~ a + b. Электрон в такой структуре будет вести себя как в одномерном кристалле с периодом А.

Для нахождения собственных значений и собственных функций необходимо, как обычно, решить уравнение Шредингера, в котором наряду с потенциальной энергией V(z), определяемой формой ямы, добавляется слагаемое (– qFz), учитывающее воздействие поля F = F_Z. Для одномерной задачи это уравнение запишется в виде

(4.120)

Это уравнение решено для ям различной формы V(z), в том числе и для прямоугольной ямы с соответствующими граничными условиями. Результаты решения дают следующее.

Рис. 4. Прямоугольная яма в электрическом поле. Слева показаны распределение потенциала и волновые функции резонансных состояний; справа – распределение по энергии отношения вероятности нахождения электрона в единичном интервале энергий на единицу длины в слое квантовой ямы ρ_W и вне ее ρ_B.

1. Энергетический спектр квантовой ямы становится непрерывным во всей области определения. Это означает, что вместо дискретных состояний, нумеруемых квантовым числом п и имеющих вид δ-функций с бесконечно узкой шириной, становятся формально разрешенными состояния с любой энергией. В электронном спектре наблюдаются резонансные пики, называемые резонансами Брейта – Вигнера (см. рис. 4). По существу это и есть уровни энергии. При F → 0 они переходят в дискретные уровни Е_n с δЕ → 0. Контур этих резонансов совпадает с Лоренцевым контуром и может быть переписан в виде

Здесь C_n - нормировочный коэффициент, п – номер квазисвязанного состояния (номер резонанса Е_n), которому можно сопоставить квантовое число n, нумерующее уровни Е_n. Ширина резонанса Г, определяется мнимой, а энергетическое положение резонанса (резонансная частота ω_n = Г_n/ħ) – действительной частью соответствующего собственного значения.

Обратим внимание, что размытие электронного спектра и уширение уровней квантования под действием электрического поля вызваны возможностью туннелирования электрона через треугольный потенциальный барьер. Конечность времени жизни δt приводит к неопределенности в энергия δE = ħ/δt и размытию спектральной линии аналогично тому, как это обсуждалось выше. Чем глубже расположен уровень в яме и чем меньше электрическое поле F, тем шире барьер и тем меньше уширение δЕ. Примечательно, что контур резонансов совпадает с контуром «естественного» уширения спектральной линии.

2. Положения резонансов Е_n зависят от приложенного электрического поля F и при F → 0 они совпадают с уровнями размерного квантования в яме соответствующей формы V(z). Для оценки положения резонансов (уровней размерного квантования) в прямоугольной яме, находящейся в электрическом поле, можно использовать простую формулу, полученную по теории возмущений для ямы бесконечной глубины:

Здесь d – ширина ямы, – энергия основного (n = 1) уровня в яме бесконечной глубины, а Е_n(0) – положения уровней размерного квантования в яме конечной глубины в отсутствие поля (F = 0). Квантовое число n, как и ранее, может принимать значения 1, 2, 3... Видно, что при , т. е. для n ≥ 2 происходит квадратичный сдвиг в область больших энергий (C > 0), а при п = 1 – в область меньших энергий (C < 0). Напомним, что формула получена с помощью теории возмущений, а потому она справедлива лишь в области слабых электрических полей.

3. Решения уравнения для волновых функций записываются через линейную комбинацию функций Эйри первого A_i(η) и второго B_i(η) рода:

где

принимает различное значение на участках с различным значением кусочно-постоянного потенциала V(z). Коэффициенты a₁ и a₂ на этих участках определяются из граничных условий и условия нормировки для непрерывного спектра. Тот факт, что ψ зависит не только от z, но и от энергии, как раз отражает непрерывность энергетического спектра. Примеры волновых функций для некоторых состояний в прямоугольной яме приведены на рис. 4, а.

4. Под действием электрического поля происходит смещение волновых функций и смещение центра тяжести электронного облака – своего рода электронная поляризация. Это отчетливо видно, например, для состояния п = 1 на рис. 4, а: под действием электрического поля центр тяжести электронного облака смещается как по энергии (сдвиг уровня – Штарковский сдвиг), так и по координате. В симметричной яме электрическое поле снимает вырождение относительно направления движения.

Возможность в определенных пределах управлять электронным облаком в квантовой яме с помощью внешнего электрического поля открывает пути создания уникальных приборов опто- и наноэлектроники.

5. В континууме состояний над квантовой ямой [E > (V – qFd/2)] появляется дополнительная серия резонансов (см. рис. 4, а), положение которых близко к положению уровней в треугольной яме с бесконечной стенкой:

6. В двойной квантовой яме поле нарушает симметрию структуры. Волновые функции перекрываются между ямами так, что центры тяжести симметричных и антисимметричных состояний оказываются смещенными в разные стороны.

Сдвиг уровней складывается из сравнительно слабого изменения их положения относительно дна той ямы, в которой преимущественно сконцентрирована соответствующая волновая функция и изменения энергии дна ямы. Последний механизм в большинстве случаев преобладает. При некоторых величинах электрического поля создается ситуация, когда энергетические уровни соседних ям вновь будут иметь одинаковую энергию. Их значения соответствуют процессу «резонансного туннелирования». Этот процесс аналогичен резонансной передаче возбуждения при столкновении атомов и используется для селективного заселения рабочих лазерных уровней в газовых лазерах и в каскадных полупроводниковых лазерах. В качестве примера на рис. 5 представлены зависимости от электрического поля уровней размерного квантования (резонансных энергий) в системе двух квантовых ям, разделенными барьером , составляющей 0,2 от ширины ямы. Эти зависимости построены в безразмерных единицах: энергия – в единицах первого уровня (–1) квантования для ямы бесконечной глубины СЕ") в отсутствие электрического поля (F = 0), а само поле – в единицах (Ei/qL). Видно, что при некоторых значениях электрического поля, показанных стрелками на рис. 5, происходит перемешивание разных состояний из разных ям и перераспределение этих состояний. Возникающее взаимодействие уровней снимает вырождение. Происходит перераспределение волновых функций взаимодействующих уровней так, что они как бы «меняются ямами». С ростом поля увеличивается ширина резонансных пиков и они начинают взаимодействовать на рис. 5, где для той же структуры при значении поля .F = 4,5(£J7 jqL), соответствующей процессу резонансного туннелирования, приведены профиль потенциальной энергии, волновые функции и энергетический спектр. Вблизи каждого из резонансных уровней приведены величины их уширений, измеренные в единицах E_f. Напомним, что время жизни т связано с величиной однородного уширения SE простым соотношением.

Рис. 5. Двойная квантовая яма