5.2. Экранирование электрического поля в структурах пониженной размерности

Приповерхностная область пространственного заряда

Наноразмерные структуры практически всегда создаются на основе пленок порядка десятков (единиц) нанометров либо из токопленочных структур, состоящих из таких пленок. Понятно, что при транспорте электронов вдоль или поперек такой пленки или структуры основное влияние на все процессы будут сказывать параметры границы раздела (интерфейс) и приповерхностных областей. На локальные электронные состояния на границах раздела захватываются электроны, создавая встроенные заряды. Роль таких поверхностных зарядов может играть и внешнее электрическое поле.

В равновесных условиях любой рассматриваемый образец должен быть электрически нейтрален .Это возможно только в том случае, если локальные заряды и внешние поля будут экранированы. Отсюда следует, что любой поверхностный заряд или внешнее поле должны быть скомпенсированы равным по величине и обратным по знаку зарядом в приповерхностном слое, он экранирует объем полупроводника от поля поверхностного заряда. Понятно, что для создания этого дополнительного экранирующего заряда необходимо иметь в приповерхностном слое концентрацию подвижных зарядов, отличную от объемных. Таким образом, в приповерхностном слое образуется слой пространственного заряда. Понятно, что в этом слое появится электрическое поле и возникнет распределение электростатического потенциала. Как то, так и другое определяется уравнением Пуассона при соответствующих граничных условиях. Такие решения для поверхностных слоев хорошо известны еще с времен разработки теории выпрямления на контакте металл-полупроводник, проведенной практически одновременно Давыдовым в России, Шоттки в Германии и Моттом в Англии [1-3]. Однако в этом случае в формировании пространственного заряда участвовали только не скомпенсированные доноры и акцепторы .Это связано с тем, что по своей природе выпрямление на контакте металл-полупроводник определяется наличием так называемого истощенного ( или обедненного) слоя, который соответствует обеднению приповерхностного слоя основными носителями заряда. Ясно, сто тогда нет необходимости учитывать непосредственный вклад в заряд подвижных зарядов-электронов и дырок.

Концентрация носителей заряда в термодинамическом равновесии в общем случае описывается статистикой Ферми-Дирака

(4.1.1.)

Если уровень Ферми не слишком близко расположен к границам разрешенных зон, т.е. разность энергий E_C-E_F, E_F-E_V >3k₀T, то единицей в знаменателе (4.1.1) можно пренебречь. Иначе говоря, при отсутствии вырождения концентрации подвижных носителей заряда в любой точке полупроводника определяются статистикой Больцмана. Если измерять энергию в единицах k₀T ,то функция распределения Больцмана имеет вид

ƒ₀ (E_C, E_V, E_F) = exp (E_F-E). (4.1.2)

Пусть положение всех энергетических уровней измеряется от уровня Ферми собственного полупроводника. Тогда в случае простой зоны определяется по формуле

E_F =-1/2ΔE_g+3/4k₀T ln(m_h/m_e) (4.1.3)

Здесь ΔE_g -ширина запрещенной зоны,m_e и m_h -эффективные массы плотности состояний соответственно для электронов и дырок.

При m_h = m_e или T=0 уровень Ферми действительно располагается в точности посередине между валентной зоной и зоной проводимости. В большинстве собственных полупроводников отклонение уровня Ферми от этого среднего положения при обычных температурах невелико. В то же время в некоторых полупроводниках, например InSb, для которого m_h/m_e 20, отклонение уровня Ферми в сторону зоны проводимости при комнатных температурах достигает 0,056 эВ.

Следует помнить, что довольно долгое время в литературе по полупроводникам при рассмотрении статистики Ферми-Дирака в качестве нормировочного коэффициента вместо уровня Ферми употребляется так называемый химический потенциал [4,5]. Известно, что для металлов даже при абсолютном нуле температур электроны обладают кинетической энергией трансляционного движения и заполняют все нижние уровни энергии в кристалле вплоть до уровня химического потенциала. Химический потенциал ξ₀ является функцией состояния, используемой для описания термодинамических систем с переменным числом частиц N ,и характеризует способность рассматриваемого компонента к выходу из данной фазы. Для систем, состоящих из заряженных частиц (электроны, ионы), химический потенциал записывается в виде

ξ_i=ξ₀+z_i q ϕ, (4.1.4)

где z_i - заряд частицы; q-элементарный заряд; ϕ -электрический потенциал.

В этом случае ξ_i называется электрохимическим потенциалом. Смысл двух слагаемых в выражении для электрохимического потенциала состоит в том, что при внесении (или удалении) в систему дополнительно новых ԀN_i частиц к обычной «химической» работе ξ₀ ԀN_i добавляется работа по преодолению электрических сил.

Химический потенциал вырожденного газа тождественно совпадает с энергией Ферми, ниже которой все состояния оказываются заполненными, а выше – свободными. Именно такая ситуация и характерна для металлов при температуре Т=0. В собственном полупроводнике при Т=0 химический потенциал электронов численно равен энергии середины запрещенной зоны. Отсюда и название этой энергии - уровень Ферми собственного полупроводника. Если система находится при температуре выше абсолютного нуля, то всегда есть определенное количество частиц с энергией выше энергии Ферми и равное им количество свободных состояний ниже этой энергии Соотношения между заполненными и свободными состояниями отражают различные положения уровня Ферми. Постепенно в литературе для систем, подчиняющихся статистике Больцмана или Ферми, стали вместо химического потенциала применять термин «энергия Ферми» (уровень Ферми) во всех случаях и при любой температуре

В соответствии с вышесказанным при отсутствии вырождения уравнений для концентраций электронов и дырок в разрешенных зонах представляются в виде

n_o=N_C exp(E_F-E_C); (4.1.5)

p₀=N_V exp(E_V-E_F), (4.1.6)

А так как N_C exp(-E_C)= N_V exp(E_V)=n_i, -для собственной концентрации, для равновесных концентраций в разрешенных зонах окончательно можно записать

n_o=n_i exp(E_F), p_o=n_i exp(-E_F). (4.1.7)

Используя эту запись, можно сделать один формальный, но очень важный вывод, который неоднократно нам понадобится в дальнейшем

n_o p₀ = n_i ²N_CN_Vexp(-E_g/k₀T). (4.1.8)

Это значит, что произведение равновесных концентраций электронов и дырок в отсутствие вырождения всегда равно квадрату собственной концентрации.

Из соотношения (4.1.8) видно, что собственная концентрация является фундаментальной характеристикой для каждого полупроводника и определяется его кристаллической структурой и природой элементов, его составляющих.

Рис. 4.1. Температурные зависимости собственной концентрации Si, Ge. GaAs [6]

Собственная концентрация для данного полупроводника изменяется только с изменением температуры (рис. 4.1) [6].Это означает, что назвать точную величину собственной концентрации можно только для определенной температуры. Если температуру не называют, то обычно имеют в виду собственную концентрацию при комнатной температуре или 300 К.

При различных расчетах полупроводниковых структур часто пользуются еще одним полезным понятием. Это так называемая мера легирования полупроводника. Она определяется как отношение концентрации основных носителей заряда к собственной концентрации.

(4.1.9)

Из уравнения (4.1.9) видно, что для собственного полупроводника, если n₀=p₀=n_i, , то λ =1. Для дырочного полупроводника λ>1, для электронного λ<1.

Используя формулы (4.1.7), можно записать

n₀=n_iλ^-1 , p₀=n_i λ , E_F=lnλ^-1 (4.1.10)

Это означает, что величина lnλ так же как E_F , определяет энергетическое расстояние (в единицах k₀T ) между уровнем Ферми при данном легировании и уровнем Ферми собственного полупроводника (середина запрещенной зоны).

Объектом изучения в курсе «Физические основы наноэлектроники» обычно являются очень тонкие (единицы, десятки нанометров) полупроводниковые слои. Иногда рассматриваются отдельные части более толстых слоев, по своим параметрам отличающиеся от основной «матрицы» и, конечно ,тоже с базовыми размерами на уровне нанометров. Такие слои чаще всего отделяются друг то друга областью, называемой границей раздела-interface.

Границей раздела называют переходной слой в котором физико-химичческие, кристаллические и другие параметры полупроводника отличаются от основного кристалла, пленки или объема образца. В последнем случае этот слой чаще называют приповерхностным.

В пределах рассматриваемой проблемы наиболее частым случаем являются полупроводниковая поверхность и тонкопленочные гомо- и гетерополупроводниковые структуры. Из выше сказанного очевидно, что поведение приповерхностного слоя при воздействии внешнего электрического поля на полупроводник можно легко распространить на многие из перечисленных объектов.

Распределение электрического поля зарядов в этой области рассматривали многие исследователи. Основой нашего рассмотрения будет работа основоположников науки о физике поверхности полупроводников К. Гаррета и В. Брэттена [7], которая, несмотря на давность, считается одной из лучших в этой области знаний.

Если к конденсатору, одной из обкладок которого является пластина полупроводника, приложить электрическое поле, то вблизи поверхности последнего возникнет индуцированный заряд. Этот заряд создается подвижными носителями заряда, присутствующими в полупроводнике. Появившийся заряд экранирует остальной объем полупроводника от проникновения внешнего электрического поля.

Область локализации этого индуцированного заряда называется областью пространственного заряда (ОПЗ) (рис.4.2).

Рис.4.2. Экранирование объема полупроводника областью пространственного заряда.

На рис. 4.2 стрелками указаны силовые линии внешнего электрического поля. Они заканчиваются на локальных зарядах и не проходят в объем, что служит наглядной иллюстрацией эффекта экранирования. Необходимо отметить, что возникновение ОПЗ в полупроводнике может быть связано не только с перераспределением подвижных носителей заряда в разрешенных зонах, но и с перераспределением заряда на локальных энергетических состояниях в запрещенной зоне.

Общей характеристикой заряда в ОПЗ является величина его объемной плотности ρ(z) ,зависящая от координаты z , нормальной к поверхности полупроводника. Величина ρ(z) определяется алгебраической суммой всех типов положительных отрицательных зарядов в данной точке пространства. Предполагается, что по остальным направлениям полупроводник полностью изотропен. Таким образом

ρ(z)=q[N_d-N_a+p(z)-n(z)] (4.1.11),

где N_d и N_a –концентрации ионизированных доноров и акцепторов;

n(z) и p(z) –равновесные концентрации электронов и дырок в разрешенных зонах;

q -абсолютная величина заряда электрона.

Такая запись возможна при выполнении двух условий:

а) доноры и акцепторы, присутствующие в полупроводнике, полностью ионизированы в любой точке полупроводника;

б)все легирующие примеси являются однозарядными. Это означает, что однозарядный нейтральный донор может отдать только один электрон и его заряд станет равным ⁺q, а однозарядный акцептор приобрести только один электрон и тогда его заряд равен ^–q, т.е. N_d=n₀, а N_a=p₀. С учетом этого условия выражение для оценки объемной плотности заряда в OПЗ может быть представлено в виде

ρ(z)=q[n₀-p₀+p(z)-n(z)]. (4.1.12)

Понятно, что если полупроводник содержит несколько типов донорных и акцепторных уровней, то при расчете необходимо брать сумму концентраций зарядов на каждом из них

При отсутствии индуцированного заряда полупроводник электрически нейтрален вплоть до границы раздела. В этом случае сумма положительных и отрицательных зарядов всюду равна нулю и ρ(z) =0.

УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

Распределение индуцированного заряда в слое некоторой толщины означает, что потенциал в полупроводнике плавно затухает от некоторого значения на поверхности до нулевого значения за пределами ОПЗ. Величина распределенного объемного заряда ρ(z) и потенциал электростатического поля в нем V(z) взаимно однозначно связаны между собой уравнением Пуассона

, (4.2.1)

где ε₀– диэлектрическая проницаемость вакуума;

ε_s- диэлектрическая проницаемость полупроводника.

Величина qV(z) соответствует изменению потенциальной энергии положительного заряда в ОПЗ относительно значения этой энергии в объеме полупроводника (при z, стремящемся к бесконечности).

На величину qV(z) ОПЗ смещается все энергетические уровни, которые существовали в полупроводнике в данной точке z при отсутствии индуцированного заряда.

Если выразить изменение потенциальной энергии в единицах k₀T и ввести обозначение Y(z)=qV(z)/( k₀T), то уравнение Пуассона примет вид

(4.2.2)

Как известно, при определенных граничных условиях решением этого уравнения является некоторая функция Y(z), затухающая вглубь полупроводника. На величину этой функции смещаются все безразмерные (в единицах k₀T) энергетические уровни относительно своих безразмерных значений до возникновения ОПЗ. Эта же величина определяет безразмерный изгиб энергетических зон в каждой точке z.

Величина Y(z) носит название безразмерного поверхностного электростатического потенциала.

Расстояние от середины запрещенной зоны до уровня Ферми обозначается буквой ϕ, а его значение на поверхности -ϕ_s. В отличие от безразмерного электростатического потенциала ϕ_s носит название поверхностного потенциала. Вообще в научной литературе по полупроводникам индекс s принят для обозначения величины, относящейся к поверхности, так как s - первая буква английского слова «surface».

В соответствии с плавным затуханием потенциала плавно изменяется положение всех уровней относительно уровня Ферми, который, как известно, является мерой средней энергии носителей заряда по всему кристаллу и поэтому остается неизменным вплоть до границы кристалла (поверхности) при z=0.

На рис.4.3 приведена энергетическая диаграмма ОПЗ. Значение безразмерного электростатического потенциала на поверхности обозначается Y_s. Знак для этой величины в соответствии с принятым направлением отсчета энергии будет положительным для изгибов зон вниз и отрицательным для изгибов вверх.

Рис.4.3 . Энергетическая диаграмма области пространственного заряда полупроводника электронного типа проводимости для некоторого произвольного значения поверхностного электростатического потенциала

Из рисунка хорошо видно, что при наличии изгиба зон значение энергии Ферми становится функцией координаты z. Отсюда понятно, что для любой точки (или сечения параллельного поверхности) ОПЗ в соответствии с законами статистики выражение для равновесных концентраций можно записать в виде

n (z)=n_i exp[E_F(z)], p(z)=n_i exp[-E_F(z)]. (4.2.3)

Из общих соображений и рассмотрения энергетической диаграммы на рис.4.3 видно, энергия Ферми в каждой точке определяется разностью изгиба зон Y_s и энергии Ферми в объеме

E_F(z)=E_F-Y(z) (4.2.4)

Для поверхности

E_Fs=E_F-Y_s (4.2.5)

Это позволяет нам записать

n_s=n_i exp(E_F)expY_s,

p_s=n_i exp(E_F)exp(-Y_s). (4.2.6)

Используя формулы (4.1.7), получим

n_s=n_o exp(Y_s), p_s=p₀exp(-Y_s). (4.2.7)

Остановимся кратко на знаках введенных E_Fs и Y_s . Знак безразмерного электростатического потенциала будет отрицательным при изгибе зон вверх и положительным при изгибе вниз. E_Fs , а также и Y_s .будут иметь отрицательный знак, если уровень Ферми находится на энергетической диаграмме ы нижней половине запрещенной зоны, и наоборот.

Соотношения (4.2.7) фактически отражают использование для определения поверхностных концентраций n_s и p_s статистика Максвела-Больцмана. Ранее уже отмечалось, что очень близко к разрешенной зоне. Фактор близости определяется соотношением между единицей экспонентой в знаменателе формулы (4.1.1). Если показать показатель экспоненты больше 3, то экспонента на порядок превышает единицу- переход к статистике Больцмана. В противном случае имеет место вырождение и необходимо пользоваться статистикой Ферми.

Рис.4.4 .Энергетические диаграммы, иллюстрирующие предельные изгибы зон

Для поверхности это означает, что будут рассматриваться такие изгибы зон, при которых уровень Ферми на поверхности не приближается к краям разрешенных зон ближе чем на 2-3 k₀T.

Предельные изгибы представлены на графиках рис.4.4

Разновидности областей пространственного заряда

Рассмотрим различные виды ОПЗ, возникающие на границах раздела, сначала качественно, еще до решения уравнения Пуассона. В качестве примера выберем формирование поверхностной ОПЗ для полупроводника с достаточно сильно выраженным n-типом проводимости. Это означает, что для него выполняется неравенство E_F=lnλ>3.

1. Плоские зоны. Эта ситуация изображается на энергетической диаграмме с прямыми зонами вплоть до поверхности (рис.4.5). Положение уровня Ферми на поверхности совпадает с таковым в объеме. Область пространственного заряда не образуется: ρ(z)=0

Рис.4.5. Энергетическая диаграмма для случая плоских зон (область пространственного заряда отсутствует)

2. Обогащение. Необходимо отметить, что этот и все последующие термины относятся к изменению концентрации основных носителей заряда. Например, в рассматриваемом случае ясно, что обогащение означает увеличение концентрации основных носителей в поверхностной ОПЗ. Эта область «обогатилась» основными носителями заряда-n(z)>n₀. Для выбранного в качестве примера электронного полупроводника это означает, что уровень Ферми на поверхности и во всей области пространственного заряда располагается ближе к зоне проводимости, чем в объеме. Все это соответствует изгибу зон вниз. В выбранной систем е отсчета этому соответствует положительное значение поверхностного электростатического потенциала-Y_s >0 (рис.4.6).

Рис.4.6. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника n-типа, соответствующая случаю обогащения n_s>n₀

Если поверхностная концентрация n_s не слишком велика по сравнению с n₀, то это слабое обогащение. Ему соответствуют изгибы зон Y_s

При Y_s>3 наступает сильное обогащение, когда n_s>>n_0. Понятно, что при обогащении концентрация дырок в области пространственного заряда меньше, чем в объеме, так как при равновесии всегда np=n_i².

3. Обеднение. В соответствии с принятым выше определением это состояние должно означать, что концентрация электронов в ОПЗ меньше, чем в объеме n(z)<n₀. Это возможно в полупроводнике электронного типа при отрицательных изгибах зон (Y_s <0). В этой области, естественно, будет очень мало дырок, так как уровень Ферми находится в верхней половине запрещенной зоны (рис.4.7.)

Рис.4.7. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника n-типа, соответствующая обеднению

При дальнейшем увеличении изгиба зон наступает момент, когда концентрациями и электронов, дырок можно пренебречь по сравнению с концентрацией ионизированных доноров. Следовательно, эти неподвижные доноры и формируют основную часть поверхностного заряда. Уровень Ферми на поверхности совпадает с серединой запрещенной зоны на поверхности Y_s=lnλ . Электроны как бы отодвигаются в объем на определенную глубину W, ограничивающую явно выраженный слой обеднения (рис.4.7).

Соотношения объемных и поверхностных концентраций при этом

n_s=p_s=n_i,, n_s<<n₀, p_s>p₀. (4.3.1)

4. Инверсия. По мере увеличения отрицательного изгиба зон концентрация электронов продолжает падать, а концентрация дырок растет. Этот процесс сильно ускоряется после перехода уровня Ферми ниже середины запрещенной зоны на поверхности (рис.4.8)

Когда поверхностная концентрация неосновных носителей заряда на поверхности становится больше, чем концентрация основных носителей в объеме, наступает состояние инверсии.

В при поверхностной области меняется (инвертируется ) знак заряда преобладающего типа носителей. Изгиб зон при этом называется инверсионным. Значение поверхностного электростатического потенциала легко определить из приведенного выше условия начала инверсии,

p_s= n₀. (4.3.2)

если вспомнить , что n_o=n_i exp(E_F), p_o=n_i exp(-E_F) и E_F=ln λ, получим значение изгиба зон (значение электростатического потенциала), с которого начинает инверсия,

Y_s=2ln λ (4.3.3)

Рис.4.8. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника n-типа, соответствующая инверсии

Начиная с этих изгибов, вся основная часть неосновных носителей заряда сосредоточена в тонком слое между поверхностью и плоскостью, за которой расположен слой обеднения

Эта плоскость проходит через точку (z_i) на которой величина поверхностного электростатического потенциала равна 2lnλ. Из рис.4.8 видно, что слой обеднения много толще инверсионного слоя. Для последующего очень важно отметить, что после достижения изгибов зон, соответствующих сильной инверсии, толщина слоя обеднения перестает менять свою величину. Все изменение экранирующего заряда происходит за счет увеличения концентрации неосновных носителей заряда между поверхностью и плоскостью z_i

Толщина слоя инверсии хотя и возрастает, но все равно всегда много меньше толщины слоя обеднения.

Решение уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона с использованием понятия безразмерного электростатического потенциала выше записано в виде

.

Выражение для плотности заряда в ОПЗ –ρ(Z), входящее в это уравнение, с использованием формул (4.2.7) можно представить как

. (4.4.1)

Уже в этом выражении для удобства вместо Y(z) стоит просто Y.

Когда будет необходимо подчеркнуть текущую координату или поверхностное значение параметра Y, это будет специально отмечено.

Если использовать еще понятие уровня легирования λ, введенное ранее, то уравнение Пуассона примет вид

, (4.4.2)

где

(4.4.3)

Выражение (4.4.3) по виду совпадает с выражением для длины экранирования Дебая. Это понятие возникает из следующих физических соображений.

Если источник электрического поля (заряженная частица, тело, плоскость) окружен средой, содержащей положительные и отрицательные заряды, то вследствие поляризации среды электрическое поле источника на расстояниях, превышающих некоторую величину, становится очень малым. Иначе говоря ,поле «экранируется». Именно это расстояние, на котором, поле уменьшается так, что его влиянием можно пренебречь, называется длиной экранирования Дебая. Это расстояние тем больше, чем больше диэлектрическая проницаемость ε_s среды, и тем меньше, чем больше зарядов в этой среде. Известно, что в металле приблизительно 10²² см^-3 электронов. Если сравнивать характерную для металлов длину Дебая с полупроводником с концентрацией электронов 10¹⁵см^-3, то отношение L_d для этих двух материалов без учета разницы в ε_s будет равно 3*10³.

Другими словами, любое поле в металле будет экранироваться на длинах, много меньших, чем в полупроводниках, что и обусловливает изготовление экранов от электромагнитных и электростатических полей из металлов с высокой проводимостью.

Первое интегрирование уравнения Пуассона проводится при таких граничных условиях, что безразмерный поверхностный электростатический потенциал и его первая производная стремятся к нулю при z (т.е. в объеме полупроводника)

(4.4.4)

Первый интеграл при этих условиях получим в виде

(4.4.5)

где

(4.4.6)

Перед квадратными скобками стоят два знака –плюс и минус.

Выбор знака перед корнем определяется неравенствами

F>0 при Y<0

F<0 при Y>0 (4.4.7)

Такой выбор знаков связан с тем, что при отрицательных изгибах зон (Y<0) величина Y(z) возрастает от больших отрицательных величин к нулю, а при Y>0 убывает от положительных величин к нулю.

Рассмотрим теперь смысловую нагрузку каждого из членов введенной функции F(Y(z),λ). Первый член в скобках с учетом расшифровки λ имеет вид (p₀/n_i)(e^-Y-1).

Если учесть , p₀e^-Y(z)=p(z), то ясно –первый член отражает вклад дырок в формирование заряда в ОПЗ. Точно такой ход рассуждений приведет к выводу, что второй член ответствен за вклад заряда электронов в ОПЗ.

В последнем члене отсутствуют экспоненциальные составляющие, отражающие склад подвижных носителей заряда в ОПЗ. Но зато есть λ= p₀/n_i , λ=n_i/n₀ ,что в свою очередь отражает вклад ионизированных доноров и акцепторов при условии их полной ионизации и однозарядности.

Полученное в результате первого интегрирования выражение соответствует понятию электрического поля (Y-потенциал,z-расстояние). Но Y это безразмерный потенциал в единица k₀T/q. Следовательно, для того чтобы получить величину электрического поля в вольтах на сантиметр, необходимо результат первого интегрирования уравнения Пуассона умножить на величину k₀T/q

(4.4.8)

Иначе говоря, полученная величина с точностью до множителя k₀T/q определяет напряженность электрического поля в области пространственного заряда при каждом значении Y(z).

Для того чтобы определить вид зависимости Y(z) ,необходимо еще раз проинтегрировать уравнение Пуассона. Решению в этом случае подлежит интеграл вида

. (4.4.9)

Как видно из (4.4.9) , функция F(Y,λ) содержит как линейные, так и экспоненциальные члены по Y , и поэтому интеграл в общем случае не берется. В то же время искомый интеграл необходим при расчете поверхностной проводимости, поверхностной емкости, фото ЭДС, характеристик МДП-транзисторов и т.д. выход из этого положения находят в численных расчетах F(Y,λ), . наиболее удобно пользоваться таблицами таких величин, вычисленных в широком диапазоне Y и опубликованных в книге Г. Пикуса.[8]