Лекция 4. Приближение функций
Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. При выполнении программ, реализующих основные методы вычислительной математики, большая часть времени также затрачивается на вычисление функций.
Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом, так и табличным, при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Иногда аналитическое задание функции может быть чрезвычайно сложным, и с целью повышения быстродействия алгоритма целесообразно представить искомую функцию в табличном виде.
Пусть функция Y(х) задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значений аргументах1, х2,…хn. Выбранные значения аргумента х называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими.
X |
Y |
x1 |
y1 |
x2 |
y2 |
… |
… |
xn |
yn |
Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах х, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента х расположено между узлами х0< х < хn, то нахождение приближенного значения функции Y(х) называют интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [х0, хn], то процесс называют экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами inter - между, внутри, pole - узел, extra - вне.
В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа - дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д.
Для решения задачи интерполяции для представления табличной функции используется некоторая функция f(x). Близость этой функции к табличным данным обеспечивается введением в функцию свободных параметров с0, … cn, соответствующим выбором которых обеспечивается необходимая близость функции к табличным данным.
4.1. Каноническая форма интерполяционного полинома.
Выберем в качестве аппроксимирующей функции φ(x)полином Рn(х) степени n, который может быть представлен в каноническом виде
Свободными параметрами интерполяции сi являются коэффициенты полинома. Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования. Коэффициенты сi определим из условий Лагранжа
или
………………………………
Таким образом, для определения параметров интерполяционного полинома необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений, порядок которой равен порядку интерполяционного полинома или, что тоже самое, количеству узлов в таблице данных.
Главный определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда
не равен нулю, если в таблице данных нет совпадающих узлов. Следовательно, эта система уравнений является невырожденной и имеет единственное решение.
Такая форма представления интерполяционного полинома называется канонической.