3.2. Классификация погрешностей.
Во время численного решения математических и прикладных задач почти всегда на тома или ином этапе возникают погрешности таких трех типов.
1. Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной модели ( в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделированного явления). Кроме того, параметрами математического описания модели есть приближенные числа (например, из-за невозможности выполнения абсолютно точных измерений). Для вычислителя погрешность задачи считают неустранимой (безусловной), хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.
Иногда неустранимую погрешность разделяют па две части:
а) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность, которая является следствием неточности задания числовых данных, которые входят в математическое описание задачи;
б) погрешность, которая является следствием несоответствия математического описания задачи к реальности, называют погрешностью математической модели.
2. Погрешность метода. Эта погрешность связана с образом решения сформулированной математической задачи. Она появляется вследствие замены исходной математической модели другой или конечной последовательность других, например, линейных моделей. В случае создания численных методов создается возможность отслеживания таких погрешностей и сведения их к как угодно малому уровню. Поэтому погрешность метода является устранимой (условной).
3. Погрешность округлений (погрешность операций). Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, полученными усечением к количеству разрядов, которые связано с используемой вычислительной техникой.
Все три описанных типа погрешностей в сумме представляют полную погрешность результата решения задачи. Поскольку первый тип погрешностей не зависит от вычислителя, то ресниц служит для него лишь ориентиром точности, с которой надо рассчитывать математическую модель. Нет потребности решать задачу точнее, чем это обусловлено неопределенностью входных данных. Итак, погрешность метода подчиняют погрешности задачи. В конце концов, во время вывода оценок погрешностей численных методов обычно предполагают, что все операции над числами выкапывают точно. Это означает, что погрешность округлений не должная существенно влиять па результаты реализации методов, то есть должна подчиняться погрешности метода. Влияние погрешностей округлений нужно учитывать как па стадии отбора и алгоритмизации численных методов, так и в случае выбора вычислительных и программных средств, а также выполнение отдельных действий и вычисления значений функции.
3.3. Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.
Каждое положительное число А может быть изображено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби
А = k1·10m + k2·10m-1 + ... + kn·10m-n+1 + ... ,
где k1, k2, … , kn,... - десятичные знаки ( цифры) числа а, k1≠ 0.
Однако в случае решения задач па компьютерах мы можем использовать лишь числа с конечным и заранее определенным количеством разрядов. Предположим, что для изображения чисел используется n разрядов. Тогда приближенное число а, представляющее точное число А, изобразится как
а = k1·10m + k2·10m-1 + ... + kn·10m-n+1,
где k1≠ 0, n - количество десятичных знаков.
Значащей цифрой будем считать любую из цифр 1, .... 9, а также цифру 0, если она есть промежуточной или стоит в конце числа и является результатом измерения или вычисления.
Например:
а1 = 0,000105 - три значащие цифры,
а2 = 20 - две значащие цифры,
а3 = 3000 - четыре значащие цифры,
а4 = 3,0·103 или 30·102 - две значащие цифры.
Пусть А и а - два близких числа, А будем считать точным, а - приближенным.
Величину Δа = |А — а| называют абсолютной погрешностью приближенного числа а, а δа =Δа /a - его относительной погрешностью
Пример
1.1.
Пусть А = π= 3,1415... , а = 3,14.
Тогда Δа = 0,0015... , δа = 0.0006.
Пример 1.2
Сформируем вслед за Д. Уилкинсоном полином 20-го порядка, задавая его корни как числа натурального ряда:
Р(х) = (х- 1)(х- 2)...(х- 20) = х20– 210·x19 +...+ 20!
Если сейчас внести незначительную погрешность в коэффициент второго члена а19 = 210 => (210+ 2-23) = 210,000000119, то среди корней, найденных по коэффициентам полинома, неожиданно появятся десять комплексных корней. Обсудим причину этого явления.