- •Лекция 1.
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Требования к модели. Функции модели
- •1.3. Классификация моделей
- •1.3.1. Статические и динамические модели
- •1.3.2. Детерминированные и стохастические модели
- •1.3.3. Классификация математических моделей.
- •Лекция 2. Разновидности математических задач, возникающих при моделировании эмс.
- •2.1. Приближение функций. Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация. Приближение периодических функций.
- •2.2. Алгебра комплексных чисел.
- •2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау), матричная алгебра.
- •2.4. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2.6. Решение систем дифференциальных уравненийв частных производных.
- •Лекция 3. Ошибки вычислений.
- •3.1. Общие характеристики вычислительных процессов.
- •3.2. Классификация погрешностей.
- •3.3. Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.
- •Лекция 4. Приближение функций
- •4.1. Каноническая форма интерполяционного полинома.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Интерполяция сплайнами.
- •4.3.1. Линейный сплайн
- •4.3.2. Кубический сплайн
- •Лекция 5. Аппроксимация функций.
- •5.1. Степенной базис
- •5.2. Базис в виде классических ортогональных полиномов
- •5.3. Малая помехоустойчивость метода наименьших квадратов при решении задач идентификации
- •5.3.1. Теория множественности моделей
- •Лекция 6. Приближение периодических функций.
- •6.1. Общие сведения.
- •6.2. Ряды Фурье.
- •6.3. Функции Уолша.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •7.1. Область применения слау в задачах математического моделирования эмс.
- •7.2. Прямые методы решения слау.
- •7.3. Итерационные методы.
- •Лекция 8. Решение нелинейных уравнений.
- •8.1. Отделение корней уравнения.
- •8.1.1. Графический метод отделения корней.
- •8.1.2. Аналитический метод отделения корней.
- •8.2. Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •8.3. Метод хорд.
- •8.4. Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).
- •Лекция 9. Численное интегрирование и дифференцирование.
- •9.1. Метод прямоугольников.
- •9.2. Метод трапеций.
- •9.3. Метод Симпсона.
- •9.4. Численное дифференцирование.
- •Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (оду).
- •10.1. Метод Эйлера.
- •10.2. Методы Рунге-Кутты.
- •10.2.1. Метод Рунге-Кутты-Мерсона
- •10.3. Метод Адамса.
- •10.4. Визуализация решений оду.
- •Лекция 11. Визуальное моделирование динамических систем.
- •Лекция 12. Численное решение систем дифференциальных уравнений в частных производных.
- •12.1. Уравнения математической физики.
- •12.1.1. Уравнения параболического типа.
- •12.1.2. Уравнения гиперболического типа.
- •12.1.3. Уравнения эллиптического типа
- •12.2. Основные понятия метода сеток.
- •Лекция 13. Решение оптимизационных задач.
- •13.1. Методы безусловной одномерной оптимизации
- •13.1.1. Постановка задачи.
- •13.1.2 Метод обратного переменного шага.
- •13.1.3. Метод половинного деления
- •13.1.4. Метод квадратичной аппроксимации (метод Пауэлла).
- •13.2 Методы оптимизации многомерных функций.
- •13.2.1. Метод покоординатного спуска.
- •13.2.2. Метод наискорейшего спуска (метод градиентов)
- •13.2.3. Метод Нелдера-Мида.
- •13.2.3. Метод пчелиного роя.
- •Лекция 14. Идентификация параметров эмс.
- •14.1. Аппроксимация переходных характеристик элементарными динамическими звеньями
- •14.1.1. Апериодическая переходная характеристика
- •14.1.2.Колебательная переходная характеристика.
Лекция 11. Визуальное моделирование динамических систем.
Поясним принцип визуального моделирования динамических систем иллюстрацией из ТАУ. В ТАУ для анализа систем управления широко используется преобразование Лапласа и специальные обозначения для отдельных типов звеньев: апериодического, интегрирующего и т.д.
Соединяя между собой звенья, выполняющие элементарные математические операции можно получить наглядное изображение динамической системы в виде структурной блок-схемы.
Предположим, что операция вычисления интеграла выполняется блоком, который изображается следующим образом:
Рисунок 11.1 – Обозначение интегратора на структурной схеме.
Рассмотрим пример составления визуальной схемы для решения дифференциального уравнения второго порядка
Пример 10.1. Cоставление визуальной схемы для решения дифференциального уравнения второго порядка.
Исходное уравнение задано в виде
Преобразуем это уравнение к системе двух уравнений первого порядка, представленных в канонической форме:
Теперь для выполнения отдельных операций интегрирования воспользуемся двумя интеграторами. Для умножения отдельных переменных на числовые коэффициенты используются блоки усиления.
Блок-схемы решения отдельных уравнений и системы уравнений в целом представлены на рис. 11.2.
|
|
а) Блок-схема решения первого уравнения |
б) Блок-схема решения первого уравнения |
|
|
в) общая структурная схема для решения уравнения второго порядка. |
|
Рисунок 11.2 – Формирование структурной схемы для визуального моделирования дифференциального уравнения второго порядка |
Таким способом можно составлять структурные схемы для систем дифференциальных уравнений и более высоких порядков.
Следует понимать, что представление системы ОДУ в виде структурной схемы является другой формой записи собственно дифференциальных уравнений. Иногда такое представление является более удобным для восприятия. За счет наличия в библиотеке блоков большого числа стандартных компонентов иногда значительно ускоряется разработка математической модели. Такой режим программирования математической модели не требует глубокого понимания языков программирования и доступен даже новичкам.
Именно поэтому визуальное моделирование получило широчайшее распространение.
В качестве примера систем визуального моделирования в первую очередь назовем пакет Simulink программы MATLAB, программы Labview, Multisim, Electronic Workbench, Anylogic, Proteus и многие другие, менее популярные. Например, я встречал программу FluidSim – специализированный пакет для визуального моделирования гидравлических и пневматических систем.
Пример 10.2. Cоставление визуальной схемы для решения системы ОДУ двигателя постоянного тока в MATLAB/Simulink.
Движение двигателя постоянного тока описывается следующей системой ОДУ второго порядка:
Структурная схема ДПТ в MATLAB/Simulink.
|
|
Графики запуска ДПТ во времени |
Фазовый портрет процесса запуск ДПТ – w = f(I). |