- •Лекция 1.
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Требования к модели. Функции модели
- •1.3. Классификация моделей
- •1.3.1. Статические и динамические модели
- •1.3.2. Детерминированные и стохастические модели
- •1.3.3. Классификация математических моделей.
- •Лекция 2. Разновидности математических задач, возникающих при моделировании эмс.
- •2.1. Приближение функций. Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация. Приближение периодических функций.
- •2.2. Алгебра комплексных чисел.
- •2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау), матричная алгебра.
- •2.4. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2.6. Решение систем дифференциальных уравненийв частных производных.
- •Лекция 3. Ошибки вычислений.
- •3.1. Общие характеристики вычислительных процессов.
- •3.2. Классификация погрешностей.
- •3.3. Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.
- •Лекция 4. Приближение функций
- •4.1. Каноническая форма интерполяционного полинома.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Интерполяция сплайнами.
- •4.3.1. Линейный сплайн
- •4.3.2. Кубический сплайн
- •Лекция 5. Аппроксимация функций.
- •5.1. Степенной базис
- •5.2. Базис в виде классических ортогональных полиномов
- •5.3. Малая помехоустойчивость метода наименьших квадратов при решении задач идентификации
- •5.3.1. Теория множественности моделей
- •Лекция 6. Приближение периодических функций.
- •6.1. Общие сведения.
- •6.2. Ряды Фурье.
- •6.3. Функции Уолша.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •7.1. Область применения слау в задачах математического моделирования эмс.
- •7.2. Прямые методы решения слау.
- •7.3. Итерационные методы.
- •Лекция 8. Решение нелинейных уравнений.
- •8.1. Отделение корней уравнения.
- •8.1.1. Графический метод отделения корней.
- •8.1.2. Аналитический метод отделения корней.
- •8.2. Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •8.3. Метод хорд.
- •8.4. Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).
- •Лекция 9. Численное интегрирование и дифференцирование.
- •9.1. Метод прямоугольников.
- •9.2. Метод трапеций.
- •9.3. Метод Симпсона.
- •9.4. Численное дифференцирование.
- •Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (оду).
- •10.1. Метод Эйлера.
- •10.2. Методы Рунге-Кутты.
- •10.2.1. Метод Рунге-Кутты-Мерсона
- •10.3. Метод Адамса.
- •10.4. Визуализация решений оду.
- •Лекция 11. Визуальное моделирование динамических систем.
- •Лекция 12. Численное решение систем дифференциальных уравнений в частных производных.
- •12.1. Уравнения математической физики.
- •12.1.1. Уравнения параболического типа.
- •12.1.2. Уравнения гиперболического типа.
- •12.1.3. Уравнения эллиптического типа
- •12.2. Основные понятия метода сеток.
- •Лекция 13. Решение оптимизационных задач.
- •13.1. Методы безусловной одномерной оптимизации
- •13.1.1. Постановка задачи.
- •13.1.2 Метод обратного переменного шага.
- •13.1.3. Метод половинного деления
- •13.1.4. Метод квадратичной аппроксимации (метод Пауэлла).
- •13.2 Методы оптимизации многомерных функций.
- •13.2.1. Метод покоординатного спуска.
- •13.2.2. Метод наискорейшего спуска (метод градиентов)
- •13.2.3. Метод Нелдера-Мида.
- •13.2.3. Метод пчелиного роя.
- •Лекция 14. Идентификация параметров эмс.
- •14.1. Аппроксимация переходных характеристик элементарными динамическими звеньями
- •14.1.1. Апериодическая переходная характеристика
- •14.1.2.Колебательная переходная характеристика.
12.1.3. Уравнения эллиптического типа
Примером уравнений эллиптического типа являются уравнения Лапласа
или уравнения Пуассона
Эти уравнения описывают поток идеальной жидкости в стационарных потоках, стационарное распределение температуры или напряженности электрических или магнитных полей. Уравнение Лапласа описывает эти процессы в случае отсутствия источников энергии или стоков, а уравнение Пуассона - те же процессы при наличии распределенных в области G источников, задаваемые правой частью уравнения - f (x, y).
Поскольку уравнение Лапласа и Пуассона - стационарные, то в постановке задачи задаются только граничные условия.
12.2. Основные понятия метода сеток.
На практике решения краевых задач для уравнений с частными производными с помощью аналитических методов часто невозможно или сопряжено со значительными вычистельных трудностями. В этом случае используют приближенные численно-аналитические или численные методы. Методы этих типов являются универсальными, в отличие от чисто аналитических, и их можно применять для решения более сложных задач. Одним из таких приближенных методов является метод сеток или конечных разностей.
В методе сеток решения уравнения с частными производными, как правило, сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами [10]. Реализация метода осуществляется в три этапа.
1. Область непрерывного аргумента или аргументов заменяется дискретным множеством узлов, называется разностной сеткой. В ней выделяют внутренние и предельные узлы. Функция дискретного аргумента, определенная на разностной сетке, называется сеточной функцией.
2. Дифференциальное уравнение, а также начальные и граничные условия заменяются (аппроксимируются) разностными аналогами. В результате дифференциальное уравнение сводится к системе алгебраических (разностных) уравнений, которая называется разностной схемой. Такая система должна иметь единственное решение. Необходимо, чтобы с увеличением количества узлов сетки решение разностной схемы приближалось (совпадало) с решения начального дифференциального уравнения.
3. Решается система уравнений (в большинстве случаев матрица системы уравнений имеет очень большую размерность и является разреженной).
Основные идеи метода сеток рассмотрим на примере задачи Дирихле для уравнения Пуассона (12.9) с граничным условием , где g - граница области G (рис. 12.3, а), в которой ищется решение и (х, у), удовлетворяющей уравнению Пуассона и граничным условиям.
Сначала область G непрерывного изменения аргументов с границей g заменяют ее сеточной областью G, с границей gh. Для этого проводят линии хm = const и уn = const, так что хm = mh1, m = 0,1, ..., М и уn = nh2, n = 0,1, ..., N. Величины h1 и h2, которые называются шагами сетки, в общем случае могут быть различными. Точки пересечения линий хm - const и уn = const называют узлами сетки. Различают два типа узлов - внутренние и предельные. Внутренними называют такие узлы, для которых четыре соседних узла (по два в каждом направлении) принадлежат области G + g.
Заменим дифференциальный оператор Лапласа разностным оператором. С этой целью выберем шаблон разностной схемы - система узлов, которые используются для замены производных конечными разностями. Шаблон, содержащий р точек, называется р-точечным. Для аппроксимации вторых производных, входящих в оператора Лапласа, используем пятиточечный шаблон, изображенный на рис. 12.3, б.
Используя разложение функции в ряд Тейлора на пятиточечном шаблоне, получим приближение вторых частных производных
Тогда разностное уравнение, соответствующее уравнению Пуассона можно будет записать в виде:
Тогда узловое уравнение для внутреннего узла представим в таком виде:
(12.1)
Аналогичным образом можно получить уравнения для граничных узлов. Эти уравнения могут зависеть от формы границы g.
Итак, для нахождения неизвестных значений u m,n в узлах сетки получим систему лилинейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно количеству неизвестных. Отметим, что количество уравнений может быть достаточно большим. Так, для решения задачи с высокой точностью нужно задать количество узлов М и N достаточно большим, поэтому количество уравнений может достигать нескольких тысяч. например, каждое уравнение (12.1) содержит всего пять неизвестных, но в системе их ококо N2. Матрица этой системы является сильно разреженной. Существуют специализированные методы решения СЛАУ с разреженными матрицами.
Пример 12.1.