- •Лекция 1.
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Требования к модели. Функции модели
- •1.3. Классификация моделей
- •1.3.1. Статические и динамические модели
- •1.3.2. Детерминированные и стохастические модели
- •1.3.3. Классификация математических моделей.
- •Лекция 2. Разновидности математических задач, возникающих при моделировании эмс.
- •2.1. Приближение функций. Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация. Приближение периодических функций.
- •2.2. Алгебра комплексных чисел.
- •2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау), матричная алгебра.
- •2.4. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2.6. Решение систем дифференциальных уравненийв частных производных.
- •Лекция 3. Ошибки вычислений.
- •3.1. Общие характеристики вычислительных процессов.
- •3.2. Классификация погрешностей.
- •3.3. Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.
- •Лекция 4. Приближение функций
- •4.1. Каноническая форма интерполяционного полинома.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Интерполяция сплайнами.
- •4.3.1. Линейный сплайн
- •4.3.2. Кубический сплайн
- •Лекция 5. Аппроксимация функций.
- •5.1. Степенной базис
- •5.2. Базис в виде классических ортогональных полиномов
- •5.3. Малая помехоустойчивость метода наименьших квадратов при решении задач идентификации
- •5.3.1. Теория множественности моделей
- •Лекция 6. Приближение периодических функций.
- •6.1. Общие сведения.
- •6.2. Ряды Фурье.
- •6.3. Функции Уолша.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •7.1. Область применения слау в задачах математического моделирования эмс.
- •7.2. Прямые методы решения слау.
- •7.3. Итерационные методы.
- •Лекция 8. Решение нелинейных уравнений.
- •8.1. Отделение корней уравнения.
- •8.1.1. Графический метод отделения корней.
- •8.1.2. Аналитический метод отделения корней.
- •8.2. Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •8.3. Метод хорд.
- •8.4. Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).
- •Лекция 9. Численное интегрирование и дифференцирование.
- •9.1. Метод прямоугольников.
- •9.2. Метод трапеций.
- •9.3. Метод Симпсона.
- •9.4. Численное дифференцирование.
- •Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (оду).
- •10.1. Метод Эйлера.
- •10.2. Методы Рунге-Кутты.
- •10.2.1. Метод Рунге-Кутты-Мерсона
- •10.3. Метод Адамса.
- •10.4. Визуализация решений оду.
- •Лекция 11. Визуальное моделирование динамических систем.
- •Лекция 12. Численное решение систем дифференциальных уравнений в частных производных.
- •12.1. Уравнения математической физики.
- •12.1.1. Уравнения параболического типа.
- •12.1.2. Уравнения гиперболического типа.
- •12.1.3. Уравнения эллиптического типа
- •12.2. Основные понятия метода сеток.
- •Лекция 13. Решение оптимизационных задач.
- •13.1. Методы безусловной одномерной оптимизации
- •13.1.1. Постановка задачи.
- •13.1.2 Метод обратного переменного шага.
- •13.1.3. Метод половинного деления
- •13.1.4. Метод квадратичной аппроксимации (метод Пауэлла).
- •13.2 Методы оптимизации многомерных функций.
- •13.2.1. Метод покоординатного спуска.
- •13.2.2. Метод наискорейшего спуска (метод градиентов)
- •13.2.3. Метод Нелдера-Мида.
- •13.2.3. Метод пчелиного роя.
- •Лекция 14. Идентификация параметров эмс.
- •14.1. Аппроксимация переходных характеристик элементарными динамическими звеньями
- •14.1.1. Апериодическая переходная характеристика
- •14.1.2.Колебательная переходная характеристика.
14.1.2.Колебательная переходная характеристика.
Колебательная переходная характеристика (рис.14.3) описывается колебательным звеном с передаточной функцией (14.4).
, (14.5)
где - коэффициент демпфирования, численное значение которого лежит в пределах .
Дифференциальное уравнение колебательного звена, которое отвечает передаточной функции (14.5), имеет вид:
(14.6)
Рис.14.3.
Определение параметров передаточной
функции колебательного звена по трем
точкам
,
где - логарифмический декремент затухания;
- частота колебаний.
Решение дифференциального уравнения колебательного звена имеет вид:
, (14.7)
где - степень колебательности.
Искомые динамические параметры определяют из переходной характеристики (рис.14.3) по формулам:
, (14.8)
. (14.9)
Пример 14.1. Рассмотрим таблично заданную переходную функцию колебательного процесса. График функции показан на рис.14.4.
Таблица 14.1
Данные переходной функции колебательного процесса
, c |
|
, c |
|
, c |
|
, c |
|
, c |
|
1 |
0.205 |
6 |
1.213 |
11 |
0.945 |
16 |
1.014 |
21 |
0.997 |
2 |
0.629 |
7 |
1.080 |
12 |
0.985 |
17 |
1.002 |
22 |
1.000 |
3 |
1.026 |
8 |
0.969 |
13 |
1.016 |
18 |
0.994 |
23 |
1.002 |
4 |
1.257 |
9 |
0.913 |
14 |
1.028 |
19 |
0.991 |
24 |
1.002 |
5 |
1.300 |
10 |
0.912 |
15 |
1.025 |
20 |
0.993 |
25 |
1.003 |
Найдем параметры передаточной функции колебательного звена
.
Учитывая, что процесс колебательный, то значение коэффициента демпфирования находится в диапазоне и корни характеристического уравнения комплексные.
Динамические параметры передаточной функции колебательного звена находим по выражениям:
;
,
где , - точки сечения линии установившегося значения переходной функцией.
Решение дифференциального уравнения колебательного звена имеет вид:
,
где и из корней характеристического уравнения:
.
- степень колебательности.
Воспроизведенная переходная функция приведена на рис.14.4.
Рис.14.4. Заданный и воспроизведенный колебательные процессы
Относительная погрешность воспроизведенной функции в точке составляет 3,16%, в точке - 2,6%.
При анализе динамических процессов в системах электропривода дифференциальное уравнение колебательного процесса записывают в виде:
. (14.10)
Введем к рассмотрению динамические параметры и , что однозначно связанные с и такими выражениями:
угловая частота недемпфированных колебаний, которые определяют масштаб времени процесса ;
относительный коэффициент затухания колебаний, которое определяет колебательность процесса .
Из этих соотношений можно получить:
, (14.11)
. (14.12)
Рис.14.5.
К
определению параметров передаточной
функции колебательного звена
В первом интервале кривая разгона (рис.14.5.) будет резко колебательной ( ) и по величине перерегулирования может быть определенная величина :
(14.13),
где - порядковый номер экстремума, - ордината графика в точке экстремума.
Угловая частота колебаний определяется из выражения
, (14.14)
где - период колебаний.
Пример 14.2. Рассмотрим таблично заданную переходную функцию колебательного процесса. График функции показан на рис.14.6.
Таблица 14.2.
Данные переходной функции колебательного процесса
, c |
|
, c |
|
, c |
|
, c |
|
, c |
|
1 |
0.205 |
6 |
1.213 |
11 |
0.945 |
16 |
1.014 |
21 |
0.997 |
2 |
0.629 |
7 |
1.080 |
12 |
0.985 |
17 |
1.002 |
22 |
1.000 |
3 |
1.026 |
8 |
0.969 |
13 |
1.016 |
18 |
0.994 |
23 |
1.002 |
4 |
1.257 |
9 |
0.913 |
14 |
1.028 |
19 |
0.991 |
24 |
1.002 |
5 |
1.300 |
10 |
0.912 |
15 |
1.025 |
20 |
0.993 |
25 |
1.003 |
Найдем параметры передаточной функции колебательного звена представленной в виде:
.
Динамические параметры звена найдем на первом полупериоде колебаний. Для этого промежутка: порядковый номер экстремума , относительная величина перерегулирования
.
Параметр определим как
.
Период колебаний
.
Угловая частота колебаний
.
Постоянные времени передаточной функции
;
.
Воспроизведенная переходная функция приведена на рис.14.6.
Рисунок 14.6 - Заданный и воспроизведенный колебательные процессы
№ |
y(x) |
x' |
y' |
b0 |
b1 |
1 |
|
x |
y |
b0` |
b1` |
2 |
|
x |
1/y |
b0` |
b1` |
3 |
|
1/x |
y |
b0` |
b1` |
4 |
|
x |
x/y |
b0` |
b1` |
5 |
|
x |
lg y |
10b0` |
10b1` |
6 |
|
x |
ln x |
exp(b0`) |
b1` |
7 |
|
x |
lg y |
10b0` |
b1` |
8 |
|
|
|
1/y |
b1` |
9 |
|
lg x |
lg y |
10b0` |
b1` |
10 |
|
lg x |
y |
b0` |
b1` |
11 |
|
ln x |
y |
b0` |
b1` |
12 |
|
x |
1/y |
1/b1` |
b0`/b1` |
13 |
|
1/x |
1/y |
1/b1` |
b0`/b1` |
14 |
|
1/x |
lg y |
10b0` |
b1` |
15 |
|
xn |
y |
b0` |
b1` |