- •Лекция 1.
- •1.1. Основные понятия и определения.
- •1.2. Требования к модели. Функции модели
- •1.3. Классификация моделей
- •1.3.1. Статические и динамические модели
- •1.3.2. Детерминированные и стохастические модели
- •1.3.3. Классификация математических моделей.
- •Лекция 2. Разновидности математических задач, возникающих при моделировании эмс.
- •2.1. Приближение функций. Интерполяция, экстраполяция, аппроксимация. Приближение периодических функций.
- •2.2. Алгебра комплексных чисел.
- •2.3. Решение систем линейных алгебраических уравнений (слау), матричная алгебра.
- •2.4. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.
- •2.5. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- •2.6. Решение систем дифференциальных уравненийв частных производных.
- •Лекция 3. Ошибки вычислений.
- •3.1. Общие характеристики вычислительных процессов.
- •3.2. Классификация погрешностей.
- •3.3. Абсолютная и относительная погрешности. Точные десятичные знаки.
- •Лекция 4. Приближение функций
- •4.1. Каноническая форма интерполяционного полинома.
- •4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
- •4.3. Интерполяция сплайнами.
- •4.3.1. Линейный сплайн
- •4.3.2. Кубический сплайн
- •Лекция 5. Аппроксимация функций.
- •5.1. Степенной базис
- •5.2. Базис в виде классических ортогональных полиномов
- •5.3. Малая помехоустойчивость метода наименьших квадратов при решении задач идентификации
- •5.3.1. Теория множественности моделей
- •Лекция 6. Приближение периодических функций.
- •6.1. Общие сведения.
- •6.2. Ряды Фурье.
- •6.3. Функции Уолша.
- •Лекция 7. Решение систем линейных алгебраических уравнений.
- •7.1. Область применения слау в задачах математического моделирования эмс.
- •7.2. Прямые методы решения слау.
- •7.3. Итерационные методы.
- •Лекция 8. Решение нелинейных уравнений.
- •8.1. Отделение корней уравнения.
- •8.1.1. Графический метод отделения корней.
- •8.1.2. Аналитический метод отделения корней.
- •8.2. Метод половинного деления (метод дихотомии).
- •8.3. Метод хорд.
- •8.4. Метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).
- •Лекция 9. Численное интегрирование и дифференцирование.
- •9.1. Метод прямоугольников.
- •9.2. Метод трапеций.
- •9.3. Метод Симпсона.
- •9.4. Численное дифференцирование.
- •Лекция 10. Решение систем обычных дифференциальных уравнений (оду).
- •10.1. Метод Эйлера.
- •10.2. Методы Рунге-Кутты.
- •10.2.1. Метод Рунге-Кутты-Мерсона
- •10.3. Метод Адамса.
- •10.4. Визуализация решений оду.
- •Лекция 11. Визуальное моделирование динамических систем.
- •Лекция 12. Численное решение систем дифференциальных уравнений в частных производных.
- •12.1. Уравнения математической физики.
- •12.1.1. Уравнения параболического типа.
- •12.1.2. Уравнения гиперболического типа.
- •12.1.3. Уравнения эллиптического типа
- •12.2. Основные понятия метода сеток.
- •Лекция 13. Решение оптимизационных задач.
- •13.1. Методы безусловной одномерной оптимизации
- •13.1.1. Постановка задачи.
- •13.1.2 Метод обратного переменного шага.
- •13.1.3. Метод половинного деления
- •13.1.4. Метод квадратичной аппроксимации (метод Пауэлла).
- •13.2 Методы оптимизации многомерных функций.
- •13.2.1. Метод покоординатного спуска.
- •13.2.2. Метод наискорейшего спуска (метод градиентов)
- •13.2.3. Метод Нелдера-Мида.
- •13.2.3. Метод пчелиного роя.
- •Лекция 14. Идентификация параметров эмс.
- •14.1. Аппроксимация переходных характеристик элементарными динамическими звеньями
- •14.1.1. Апериодическая переходная характеристика
- •14.1.2.Колебательная переходная характеристика.
1.2. Требования к модели. Функции модели
Наиболее общие требования к модели могут быть сформулированы таким образом: модель должна быть простой и понятной пользователю, целенаправленной, гарантированной от абсурдных результатов, удобной в управлении и общении, полной с точки зрения решения главных задач, адаптивной, что позволяет легко переходить к другим модификаций или обновлять данные, позволять постепенные изменения, то есть, будучи сначала простой, она может во взаимодействии с пользователем становиться все более сложной.
Идея представления системы с помощью модели носит настолько общий характер, который дать полную классификацию всех функций модели тяжело. Рассмотрим пять случаев, которые наиболее распространены как исходный материал для определения функций модели.
Модели могут помочь нам упорядочить нечеткие или противоречивые понятия. Например, представивши работы по проектированию сложных систем в виде сетевого графика, можно решить, какие шаги и в какой последовательности необходимо начинать. Модель позволяет выяснить взаимозависимости, временные соотношения, необходимые ресурсы и др.
Все языки, в основе которых лежит слово, будут неточными, когда дело доходит до сложных понятий и описаний. Правильно построенные модели позволяют отстранить эти неточности, предоставляя в наше распоряжение более успешные образа общения. Преимущество модели перед словесными описаниями - в сжатости и точности представления заданной ситуации.
Модели часто применяются как замечательное средство обучения лицам, которые должны уметь справляться со всякими случаями обращения систем, включая возникновение критических ситуаций (модели космических кораблей, тренажеры для обучения водителям и др.). Одним из важных применений моделей есть прогнозирования обращения объектов, которые моделируются. Например, строить сверхзвуковой реактивный самолет для проведения экспериментов экономически нецелесообразно, а для предсказания его летных характеристик используют средства моделирования (например, испытание конструкций в аэродинамической трубе).
Модели позволяют делать контролируемые эксперименты в ситуациях, где экспериментирование на реальных объектах экономически нецелесообразно или практически невозможно. Конечно, варьируют несколько параметров системы, поддерживая другие неизменными, и наблюдают результаты эксперимента. Часто, моделируя систему, можно узнать значительно больше о ее внутренних взаимосвязях, чем оперируя с реальной системой. Это становится возможным потому, что мы можем контролировать поведение модели, легко менять ее структуру и параметры.
Таким образом, модель может служить для достижения двух целей: описательной, если модель служит для объяснения и лучшего понимания объекта, и руководящей, когда модель позволяет предусмотреть или воссоздать характеристики объекта, которые определяют ее поведение. Модель руководящего типа, который приказывает, может быть описательной, но не наоборот. Поэтому и разная степень полезности моделей, которые применяют в технике и в социальных науках. Это в значительной мере зависит от методов и средств, которые использовались при построению моделей, и в расхождении конечных целей, которые при этом относились. В технике модели служат как вспомогательные средства для создания новых или более совершенных систем. А в социальных науках модели объясняют существующие системы. Модель, пригодная для разработки системы, должная также объяснять ее.