2.4. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений.

Задачи, связанные с решением нелинейных алгебраических уравнений возникают при изучении нелинейных электрических цепей, содержащих нелинейные элементы: полупроводниковые ключи, индуктивности с магнитным сердечником и т.п. Нелинейные уравнения возникают в задачах оптимального управления, когда необходимо отыскивать экстремум целевой функции.

2.5. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Любые задачи, в которых рассматривается изменение переменных во времени, в конечном итоге приводят к появлению дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.

Дифференциальные уравнения содержат не только значения параметров и искомых функций, но и производные этих функций. Подобные уравнения встречаются во всех областях техники, их применяют в экономике, биологии, химии. С решением дифференциальных уравнений вы сталкивались при изучении переходных процессов в электрических цепях, при изучении переходных процессов в системах автоматического управления. К решению СДУ сводится анализ переходных режимов ЭМС.

В практике математического моделирования ЭМС этот раздел безусловно является важнейшим.

Существует огромное число различных численных методов для решения СДУ. Самый известный из них - метод Рунге-Кутта.

2.6. Решение систем дифференциальных уравненийв частных производных.

Значительное число задач анализа ЭМС приводит к необходимости решения систем уравнений в частных производных. Это уравнения различных колебаний, например, упругие колебания каната в подъемных установках, уравнения распространения электромагнитных полей – уравнения Максвелла, уравнения движения жидкостей и газов в коммуникационных системах насосов и компрессоров – уравнения Навье-Стокса, уравнения нагрева конструктивных элементов электрических машин и аппаратов.

Основным численным методом решения таких уравнений является метод конечных элементов (finite elements method, FEM). На нашей кафедре развивается и широко используется метод интегральных уравнений применительно к задачам магнитостатики и некоторых других полевых задач.

Это чрезвычайно сложный вид задач. В конечном итоге численное решение дифференциальных уравнений в частных производных сводится к решению СЛАУ специального вида. Размерность СЛАУ может достигать тысяч, матрица коэффициентов может содержать значительное число нулей.

Чем сложнее решаемая задача – тем сложнее математическая модель, необходимая для ее решения, сложнее методы получения решения.

Лекция 3. Ошибки вычислений.

3.1. Общие характеристики вычислительных процессов.

Численные методы — это математический инструментарий, с помощью которого математическая задача формулируется в виде, удобном для решения на компьютере. В таком случае говорят о преобразовании математической задачи в вычислительную задачу. При этом последовательность выполнения необходимых арифметических и логических операций определяется алгоритмом ее решения. Алгоритм должен быть рекурсивным и составляться из относительно небольших блоков, которые многократно выполняются для разных входных данных.

Следует отметить, что с появлением быстрых и мощных цифровых компьютеров роль численных методов для решения научных и инженерных задач значительно возросла. И хотя аналитические методы решения математических задач, как и раньше, очень важные, численные методы существенным образом расширяют разрешимости научных и инженерных задач, не смотря на то, что самые уравнения математических моделей с осложнением структуры современных изделий становятся неважно обусловленными и жесткими, что существенным образом усложняет их решение. Взяв выполнение рутинных вычислений на себя, компьютеры освобождают время ученого или инженера для творчества: формулирование задач и генерирования гипотез, анализа и интерпретации результатов расчетов и т.п.

Численные методы обеспечивают системный формализованный подход к решению математических задач. Однако при условиях их эффективного использования кроме умения присутствующая и некоторая частица искусства, которое зависит от способностей пользователя, поскольку для решения каждой математической задачи существует несколько возможных численных методов и их программных реализаций для разных типов компьютеров. К сожалению, для избрания эффективного образа решения поставленной задачи лишь интуиции мало, нужны глубокие знания и определенные привычки. Существует несколько убедительных причин, которые мотивируют необходимость глубокого изучения численных методов будущими специалистами в области компьютерно-системной инженерии и прикладной математики.

Хотя существует множество численных методов, все они ( как и алгоритмы, которые им отвечают) имеют много общих свойств и характеристик. Численные методы:

♦ предусматривают проведение большого количества рутинных арифметических вычислений с помощью рекурсивных соотношений, которые используются для организации итераций, то есть повторяемых циклов вычислений с измененными начальными условиями для улучшения результата;

♦ направленные на локальное упрощение задачи, когда, например, используемые нелинейные зависимости линеаризуются с помощью своих вычисленных производных или производные заменяют разностными аппроксимациями;

♦ значительно зависят от близости начального приближения (или нескольких приближений), необходимого для начала вычислений к решению, от свойств нелинейных функций, которые используются в математических моделях, который накладывает ограничения ( для обеспечения единого решения) на них дифференцируемость, на скорость изменения функций и др.;

Численные методы характеризуются:

♦ разной скоростью сходимости, то есть числом итераций, выполнение которых необходимое для получения заданной точности решения;

♦ разной стойкостью, то есть сохранением достоверности решения во время дальнейших итераций.

♦ разной точностью получаемого решения в случае выполнения одинакового числа итераций или циклов вычислений.

Численные методы различаются:

♦ по широте и легкости применения, то есть по степени своей универсальности и инвариантности для решения разных математических задач;

♦ по сложности их программирование;

♦ по возможностям использования в случае их реализации имеющихся библиотек функций и процедур, созданных для поддержки разных алгоритмических языков;

♦ по степени чувствительности к неважно обусловленным (или некорректных) математических задач, когда малым изменениям входных данных могут отвечать большие изменения решения.