
- •Вінниця внту 2006
- •1 Розв’язання алгебраїчних рівнянь вищих стЕпенів і трансцендентних рівнянь ітераційним методом
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •2 Розв’язання алгебраїчних рівнянь вищих стЕпенів і трансцендентних рівнянь методом Ньютона
- •План проведення роботи
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •3 Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •4 Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь ітераційним методом
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •5 Інтерполяція функцій
- •План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •6 Чисельне диференціювання
- •План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •7 Чисельне інтегрування Мета роботи – вивчити чисельні методи обчислення визначених інтегралів та набути навичок обчислення визначених інтегралів із застосуванням Microsoft Excel'2000. План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •8 Розв’язання звичайних диференціальних рівнянь методами Ейлера
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •9 Наближене розв’язання звичайних диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутта
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Контрольні запитання
- •10 Лінійна апроксимація даних
- •План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Стандартна похибка при оцінюванні y
- •Коефіцієнт детермінованості
- •Стандартне значення похибки для коефіцієнтів
- •Число ступенів свободи
- •Регресійна сума квадратів та остаточна сума квадратів
- •Обчислення лінійної регресії
- •Обчислення регресії за допомогою функції
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •11 Поліноміальна апроксимація даних
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Перевірка статистики
- •Контрольні питання
- •12 Розв’язання крайових задач методом пристрілки для звичайних диференціальних рівнянь
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Вигин рівномірно навантаженої балки
- •Контрольні питання
- •13 Розв’язання крайових задач методом скінченних різниць для звичайних диференціальних рівнянь
- •План роботи
- •Хід роботи
- •Ітераційний метод скінченних різниць
- •Контрольні питання
- •14 Розв’язання еліптичних рівнянь у частинних похідних
- •План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Рівняння Лапласа і Пуассона
- •Потенціал між двома концентричними циліндрами
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •15 Розв’язання параболічних рівнянь у частинних похідних методом послідовного обчислення таблиці значень
- •План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Рівняння нерозривності
- •Нестаціонарна теплопровідність у мідному стержні
- •Обґрунтування критерію стійкості
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •16 Розв’язання параболічних рівнянь у частинних похідних ітераційним методом
- •План роботи
- •Хід роботи Ітерування кроків за часом
- •Контрольні питання
- •17 Розв’язання гіперболічних рівнянь у частинних похідних
- •План роботи
- •Короткі теоретичні відомості
- •Хвильове рівняння
- •Коливання струни
- •Хід роботи
- •Контрольні питання
- •18 Завдання до контрольних робіт для студентів заочної формі навчання
- •Литература
- •Навчальне видання
- •Чисельні методи в інженерних дослідженнях
- •Лабораторний практикум
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
- •21021, М. Вінниця, Хмельницьке шосе, 95, внту
5 Інтерполяція функцій
Мета роботи – набуття навичок побудови інтерполяційних багаточленів Лагранжа і Ньютона та використання їх для обчислення наближених значень функцій за допомогою Microsoft Excel'2000.
План роботи
Відповідно до порядкового номера бригади студентів в журналі академгрупи виписати з таблиці 5 значення аргументу і відповідні їм значення функції.
Обчислити значення функції для значень аргументу, які знаходяться в 14, 15, та 16-му стовпцях таблиці завдань.
Зробити висновки.
Короткі теоретичні відомості
Часто дані неможливо описати ніякою простою чи відносно складною функцією. В такому випадку краще за все використовувати функції перегляду таблиць. Ці функції знаходять та інтерполюють значення з таблиць для заданого значення x. Фактично відбувається апроксимація простої кривої невеликою кількістю точок в околі тієї точки, що нас цікавить, замість використання складної кривої для апроксимації усієї множини даних.
Перегляд таблиць виконується за допомогою функції ГПР, ВПР та ПОИСКПОЗ. Функції ГПР та ВПР виконують пошук в одному стовпці таблиці та повертають значення з другого стовпця в тому ж рядку. Функція пошуку ПОИСКПОЗ також виконує пошук в таблиці, але повертає положення комірки, що містить задане значення.
Процес інтерполяції може бути заданий у вигляді процедури чи за допомогою функції робочого листа. Різниця у методах інтерполяції є в рівняннях, що використовуються для оцінювання значення між заданими точками. Методом, який найбільш часто застосовується, є лінійна інтерполяція. Ще простіше використовувати функції перегляду таблиць та прийняти інтерполяційні значення, що повернені ними. В багатьох випадках такий підхід є достатнім. Часто використовуються квадратична та кубічна інтерполяції.
Лінійна інтерполяція полягає в простому з’єднанні двох точок, що розташовані по обидві сторони інтерпольовного інтервалу, прямою лінією. Якщо точки розташовані достатньо близько, лінійна інтерполяція дає достатньо добре наближення. Окрім того, такий метод набагато простіше реалізувати у порівнянні з другими, які використовують більш високі порядки.
Таблиця 5
Варіант |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
* |
* |
||
1 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,04 |
1,06 |
1,09 |
1,12 |
1,16 |
1,21 |
1,26 |
1,47 |
1,02 |
||
2 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
1,96 |
2,11 |
2,27 |
2,44 |
2,63 |
2,84 |
1,93 |
2,25 |
1,82 |
||
3 |
0,75 |
0,8 |
0,85 |
0,9 |
0,95 |
1,0 |
0,74 |
0,79 |
0,84 |
0,88 |
0,92 |
0,97 |
0,87 |
0,97 |
0,77 |
||
4 |
1,7 |
1,75 |
1,3 |
1,85 |
1,9 |
1,95 |
1,23 |
1,21 |
1,18 |
1,14 |
1,09 |
1,03 |
1,82 |
1,93 |
1,71 |
||
5 |
2,7 |
2,75 |
2,8 |
2,85 |
2,9 |
2,95 |
1,58 |
1,49 |
1,37 |
1,24 |
1,08 |
0,91 |
2,83 |
2,93 |
2,72 |
||
6 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
0,99 |
0,97 |
0,94 |
0,91 |
0,87 |
0,82 |
22 |
33 |
11 |
||
7 |
1,1 |
1,6 |
2,1 |
2,6 |
3,1 |
3,6 |
1,03 |
1,39 |
1,65 |
1,8 |
1,85 |
1,82 |
2,4 |
3,5 |
1,14 |
||
8 |
0,13 |
0,18 |
0,23 |
0,28 |
0,33 |
0,36 |
0,129 |
0,179 |
0,228 |
0,276 |
0,324 |
0,371 |
0,25 |
0,37 |
0,15 |
||
9 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
0,119 |
0,0891 |
0,066 |
0,047 |
0,033 |
0,023 |
1,34 |
1,56 |
1,15 |
||
10 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
0,28 |
0,31 |
0,22 |
0,04 |
–0,14 |
–0,27 |
62 |
73 |
52 |
||
11 |
0,05 |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,45 |
0,55 |
0,05 |
0,16 |
0,27 |
0,37 |
0,47 |
0,56 |
0,27 |
0,53 |
0,07 |
||
12 |
1,5 |
1,55 |
1,6 |
1,65 |
1,7 |
1,75 |
–1,1 |
–0,9 |
–0,7 |
–0,4 |
–0,2 |
0,1 |
1,63 |
1,73 |
1,51 |
||
13 |
1,8 |
1,9 |
2,0 |
2,1 |
2,2 |
2,3 |
1,44 |
1,55 |
1,67 |
1,82 |
1,99 |
2,19 |
2,05 |
2,25 |
1,83 |
||
14 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,6 |
0,86 |
0,91 |
0,93 |
10,95 |
0,96 |
0,97 |
1,34 |
1,54 |
1,13 |
||
15 |
0,75 |
0,3 |
0,85 |
0,9 |
0,95 |
1,0 |
0,280 |
0,319 |
0,359 |
0,402 |
0,447 |
0,495 |
0,87 |
0,97 |
0,76 |
||
16 |
2,5 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
3,3 |
3,928 |
4,410 |
4,938 |
5,517 |
6,152 |
6,848 |
3,07 |
3,23 |
2,82 |
||
17 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
1,4 |
1,5 |
1,008 |
11,113 |
1,221 |
11,331 |
1,445 |
1,563 |
1,24 |
1,43 |
1,06 |
||
18 |
1,9 |
1,91 |
11,92 |
1,93 |
1,94 |
1,95 |
6,69 |
6,75 |
6,82 |
16,89 |
6,96 |
7,03 |
1,92 |
1,945 |
1,905 |
||
19 |
0,0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
2,74 |
2,75 |
2,80 |
2,86 |
2,98 |
3,09 |
0,27 |
0,46 |
0,05 |
||
20 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
1,1 |
1,2 |
1,3 |
3,44 |
3,55 |
3,66 |
3,76 |
3,85 |
3,92 |
1,06 |
1,24 |
0,83 |
Формула лінійної інтерполяції в формі Лагранжа має вигляд
де
-
задані точки, а інтерпольовне значення
x
розміщено між
та
.