Нестаціонарна теплопровідність у мідному стержні
Розглянемо потік тепла Q у твердому тілі. Швидкість, з якою тепло тече в будь-якому напрямку, пропорційна від’ємному градієнтові температури (закон Фур'є). Підставляючи в рівняння нерозривності замість швидкості від’ємний градієнт температури і використовуючи формулу диференціювання складної функції за часом, одержимо таке рівняння
.
Похідна
від теплової енергії за температурою
дорівнює питомій масовій теплоємності
,
де
– щільність, а С
–
питома об'ємна теплоємність. Підставляючи
цю величину в рівняння, одержимо
.
Якщо в металевому стержні відсутні теплові витоки і стоки, приведене рівняння зводиться до одновимірного нестаціонарного рівняння в частинних похідних
.
Для розв’язання цього рівняння перепишемо похідну за просторовою координатою у вигляді центральної різниці, а похідну за часом – у такому вигляді
,
де
і
– кроки сітки відповідно за простором
і за часом. Верхній індекс
означає
номер кроку за часом. Розв’яжемо це
рівняння щодо температури в майбутній
момент часу
.
Для забезпечення обчислювальної стійкості даного різницевого рівняння коефіцієнт при сумі температур не повинен перевищувати 1/2
.
Якщо цей коефіцієнт строго дорівнює 1/2, рівняння зведеться до наступного
.
Для мідного стержня
.
Таким
чином, одержуємо таке співвідношення
між кроком сітки за часом
і
за
простором
.
Обґрунтування критерію стійкості
Приведемо спрощене виведення критерію стійкості. Більш строге і докладне доведення можна знайти в посібнику щодо чисельних методів. Отже, критерій стійкості, що полягає у намаганні зробити коефіцієнт при доданках другого порядку меншим 1/2, випливає з таких міркувань.
Нехай
T
–
числовий розв’язок різницевого рівняння,
U
– точний аналітичний розв’язок рівняння
теплопровідності, і
похибка розв’язку. Різницеве рівняння
виглядає
таким чином
.
Підставимо
в нього
і
розв’яжемо щодо похибок на кроках за
часом.
Одержимо таке рівняння
,
де
.
Для
стійкості числового розв’язку
похибка повинна рівномірно наближатися
до нуля
при наближенні до нуля кроків
або
(нехтуючи
похибками округлення). Відповідно,
для цього коефіцієнти при кожній з
підсумовувальних похибок повинні бути
не
невід’ємним. У протилежному випадку
похибка може осцилювати, не наближаючись
до нуля і роблячи розв’язок нестійким.
Шляхом елементарної перевірки можна
переконатися, що обидва коефіцієнти
будуть невід’ємні при
.
Якщо, наприклад, крок по просторі дорівнює 1 см, то крок за часом повинен складати 0,433 с.
Хід роботи
Розглянемо задачу для мідного стержня довжиною 10 см, на одному кінці якого підтримується температура 0°С, а на іншому 20°С. Розрахуємо зміну температури в стержні з часом в електронній таблиці.
Створіть новий лист і назвіть його ЛР№15.
Якщо автоматичне перерахування сторінки відключене, включіть його, вибравши команду Сервис>Параметры і відкривши вкладку Вычисления.
Виділіть стовпці А:L і зробіть їхню ширину рівну 6.
В комірці А1 введіть заголовок Теплопровідність у мідному стержні; параболічне рівняння.
В комірці С3 введіть заголовок Залежність температури від координати і часу.
Введемо сітку за часом із кроком 0,433 с.
В комірці А5 введіть заголовок Час і вирівняйте його по центру.
В комірці А6 введіть (с) і вирівняйте його по центру.
В комірці А7 введіть 0, а в комірці А8 – 0,433; виділіть комірки А7:А8 і перетягніть маркер заповнення в комірку A20.
Заповнимо просторову сітку вузлами, що стоять на 1 см один від одного.
В комірці А5 введіть заголовок Координата (см).
В комірці В6 введіть 0, а в комірці С6 – 1; виділіть комірки В6:С6 і перетягніть маркер заповнення в комірку L6.
Введемо першу граничну умову – фіксовану температуру 20°С. Наявність формули в комірці В8:В20 дозволяє легко змінювати цю умову.
В комірці В7 введіть 20.
В комірці В8 введіть формулу =В7 і скопіюйте її в комірки В9:В20.
Введемо другу граничну умову – фіксовану температуру 0°С.
В комірці L7 введіть 0.
В комірці L8 введіть формулу =L7 і скопіюйте її в комірки L9:L20.
Введемо початкову умову рівності температури нулю в момент часу t=0.
В комірці С7 введіть значення 0 і скопіюйте його в комірки D7:K7.
Тепер введемо різницеве рівняння в першу комірку розрахункового діапазону і скопіюємо його в інші комірки.
В комірці С8 введіть формулу =0,5*(В7+В7) і скопіюйте її в комірки С8:К20.
Зробіть формат комірок А7:L20 числовим із двома цифрами після коми.
Обведіть таблицю контуром, як показано на рис. 26.
Сторінка таблиці після пророблених операцій повинна виглядати так, як на рис. 26, у таблиці зазначені температури в різних точках у різні моменти часу. Спостерігаючи за зміною показаних значень, можна простежити поводження теплового потоку в розглянутому мідному стержні.
Рисунок 26