Контрольні запитання

1. В чому сутність методу Рунге-Кутта? Поясніть на графіку.

2. Як оцінюється похибка чисельних методів розв’язання диференціальних рівнянь?

3. В чому ідея розв’язання системи диференціальних рівнянь 1-го порядку?

4. В чому ідея розв’язання системи диференціальних рівнянь n-го порядку?

5. Поясніть, як використовується правило Рунге для вибору кроку інтегрування?

10 Лінійна апроксимація даних

Мета роботи – набути навичок побудови лінійних апроксимувальних функцій (аналітичних залежностей) за сукупністю дискретних експериментальних даних про зміну значень функції при змінах значень аргументу, за допомогою Microsoft Excel'2000.

План роботи

1. Відповідно до порядкового номера бригади студентів в журналі академгрупи виписати з таблиці 11 значення аргументу і відповідні їм значення функції.

2. Обчислити коефіцієнти лінійного полінома для апроксимації експериментальних даних.

3. Розрахувати значення функції в точках апроксимації відповідно до отриманого полінома.

4. Зробити висновки.

Таблиця 11

Варіант	Значення пар аргументу та функції
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Короткі теоретичні відомості

Однією з розповсюджених задач в науці та техніці є апроксимація експериментальних даних аналітичними виразами. Існують три способи використання Excel для апроксимації даних: використання вбудованих функцій регресії, перетворення нелінійних рівнянь в лінійні з наступним використанням вбудованих функцій регресії, використання надбудови Поиск решения чи програми Visual Basic для точного підбору параметрів нелінійного рівняння. Частіше за все дані можуть бути описані вбудованими функціями лінійної та поліноміальної регресії. Наявність лінійної залежності на обстежуваному інтервалі дозволяє успішно використовувати формулу лінійного наближення.

У випадку нелінійних рівнянь, що допускають лінеаризацію за допомогою заміни змінних, функції лінійної регресії можна використовувати до перетворених рівнянь. Якщо ж рівняння не можуть бути лінеаризовані, можна скористатися надбудовою Поиск решения чи програмою мовою Visual Basic та підібрати коефіцієнти таким чином, щоб досягти мінімальної залишкової похибки (суми квадратів різниць між фактичними та прогнозованими значеннями) чи максимального коефіцієнта кореляції. Excel має вбудовані можливості регресійного аналізу, що дозволяє апроксимувати дані як прямою лінією, так і складними поліномами. Більша частина задач опису даних може бути вирішена засобами лінійної регресії.

При використанні функцій регресії для апроксимації даних відбувається мінімізація залишкової квадратичної різниці між фактичними та прогнозованими значеннями (метод найменших квадратів). Залишкова помилка обчислюється за такою формулою

де y(x_i) – прогнозовані значення,

n – число точок,

x_i i y_i – фактичні значення.

В Excel використовується модель багатовимірної лінійної регресії. Це значить, що прогнозовані значення y(x_i) мають вигляд

де A, B, C – шукані коефіцієнти, які визначаються підстановкою функції y(x_1,i; x_2,i; ...) у вираз для залишкової різниці та прирівнянням до нуля частинних похідних для всіх коефіцієнтів. Це призводить до системи лінійних рівнянь для коефіцієнтів. Всі обчислення виконуються Excel автоматично.

Окрім коефіцієнтів рівняння регресії, Excel також обчислює додаткову регресійну статистику:

• стандартна похибка для оцінки y;

• коефіцієнт детермінованості (r²);

• стандартні похибки для коефіцієнтів;

• -статистика;

• число ступенів свободи;

• регресійна сума квадратів та остаточна сума квадратів.