Потенціал між двома концентричними циліндрами

Розглянемо два довгих концентричних провідники циліндричної форми з радіусами а і b, що знаходяться у вакуумі, як показано на рис. 19. Якщо на провідники подати напруга, потенціал між ними буде описуватися двовимірним рівнянням Лапласа.

Зовнішній провідник заземлений (знаходиться під напругою 0 В), тоді як на внутрішній подається напруга 20 В. Внутрішній радіус а = 5 см, а зовнішній радіус b =15 см. Для розрахунку потенціалу між провідниками скористаємося двовимірним рівнянням Лапласа. Двовимірна розрахункова область припустима внаслідок нескінченної довжини циліндрів, через яку зміна потенціалу уздовж їхньої загальної осі мала

.

Рисунок 19 – Концентричні електропровідні циліндри у вакуумі

Ця задача допускає аналітичний розв’язок, що знадобиться нам для перевірки результатів числового розрахунку. У термінах відстані r від осі циліндра аналітичний вираз для потенціалу має такий вигляд

.

Для розв’язання цієї задачі в електронній таблиці варто спочатку замінити в рівнянні похідні на центральні різниці, центровані щодо точки сітки з індексами (i, j). Крок сітки h передбачається однаковим в обох координатних напрямках

.

Розв’яжемо це рівняння щодо потенціалу у вузлі (i, j)

.

Цей вираз означає, що потенціал у довільній точці є середнім арифметичним значень потенціалів у чотирьох навколишніх точках.

Хід роботи

При розв’язуванні задачі на листі електронної таблиці граничні значення шуканої функції будуть визначатися з граничних умов, а внутрішні – з отриманого різницевого рівняння.

По суті, у даній задачі досить виконати розрахунок тільки поперечного перерізу циліндрів, оскільки розв’язок симетричний відносно осі і не змінюється уздовж осі. Тому як робочу область виберемо сектор поперечного перерізу циліндра з кутом 90°; для будь-яких інших областей важче задати геометрію і граничні умови. На зовнішньому циліндрі потенціал дорівнює нулю, на внутрішньому – 20 В. На радіусах сектора задамо граничні умови у вигляді рівності нулю нормальної похідної потенціалу.

1. Створіть новий лист і назвіть його ЛР№ 14

2. Зробіть ширину стовпців А:R рівною 2,43, а стовпців S:T – рівною 9.

3. Зробіть висоту рядків 3:20 рівною 11,25.

4. Виділить комірку А1:Т20 і зробіть висоту шрифту рівною 8 пунктам на вкладці Шрифт, вибравши команду Формат > Ячейки.

5. Виберіть команду Сервис > Параметры і відкрийте вкладку Вычисления; включіть режим перерахування Вручну, поставте відмітку на перемикач Итерации і введіть у поле Предельное число итераций значення 100, як на рис. 20. Клацніть на кнопці ОК.

6. В комірці А1 введіть заголовок Задача для рівняння Лапласа в області між циліндрами, еліптичні ДУЧП.

Введемо мітки для позначення координатних осей, а також стовпців і рядків граничних умов.

7. Введіть у зазначені комірки наведені нижче заголовки; вирівняйте вміст комірок А6, А7 і В6 по центру.

Комірка	Вміст	Комірка	Вміст
А6	Гр.	В3	Аналіт.
А7	Усл.	С4	Гр.у
В6	У	С5	х

Побудуємо таблицю, що містить значення потенціалу на зовнішньому і внутрішньому циліндрах.

7. В комірці S9 введіть заголовок Прикладені потенціали.

9. Виділить комірку S9 і Т9, а потім клацніть на кнопці “Об'єднати і помістити в центрі”.

10. У зазначених комірках введіть приведены нижче значення і вирівняйте вміст по центрі комірок.

Комірка	Вміст	Комірка	Вміст
S10	Внутрішній	T10	20
S11	Зовнішній	T11	0

11. Присвойте коміркам Т10 і Т11 імена Внутр і Зовн.

Введемо в таблицю внутрішні і зовнішні граничні умови, тобто умови уздовж поверхонь внутрішнього і зовнішнього провідників. Для визначення комірок, що попадають на границю, можна накреслити два концентричні кола, що зображують циліндри, на міліметрівці або розграфленому папері. Передбачається, що будь-яка комірка, яка стосується границі, є граничною коміркою

Рисунок 20

11. Введіть або скопіюйте формулу =Зовн у такі комірки Р9:Р12,О13, N14:1415, М16, L17, J18:К18, G19:М9 і А2Q.F2Q, Q4:Q8.

12. Введіть або скопіюйте формулу =Внутр у такі комірки G4:G7, F8, F9 і А10:D10.

Гранична умова уздовж радіусів сектора полягає в рівності нулю нормальної похідної. Для внесення цієї умови в таблицю необхідно додати додатковий ряд комірок поза границею й установити їхні значення рівними найближчому внутрішньому ряду комірок. У результаті на самій границі (в комірках Н5:Р5 і В11:В19) похідна, точніше центральна різниця, виявиться рівна нулю.

14. В комірці Н4 введіть формулу =Н6 і скопіюйте її в комірку І4:Р4.

15. В комірку А11 введіть формулу =С11 і скопіюйте її в копірку А12:А19.

Заповнимо внутрішню область між двома циліндрами скінченнорізницевими аналогами вихідного диференціального рівняння. Для цього введемо рівняння в комірку Н5 і скопіюємо його в усі комірки Н5:Р5. Потім скопіюємо рядок з комірок Н5:Р5 в комірки Н6:Р7. Послідовно копіюючи комірки цілими блоками, заповнимо всю область між комірками граничних умов.

16. В комірці Н5 введіть формулу =0,25*(С5+Н4+І5+Н6). Скопіюйте вміст комірки Н5 у такі діапазони комірок

H5:P5	E10: О10	B15:M15
H6:P6	B11:О10	B16:L16
H7:H7	B12:О10	B17:K17
G8:P8	B13:N13	B13:I18
F9:O9	B14:M14	B9:F19

Для порівняння розташуємо уздовж верхньої границі значення аналітичного розв’язку. Оскільки для їхнього обчислення необхідні значення радіуса, введемо їх в окремому рядку відразу під таблицею.

18. В комірках G22 і Н22 введіть значення 5 і 6, відповідно; виділите комірки С22 Н22 і перетягніть маркер заповнення в комірку Q22.

19. В комірку G3 введіть таку формулу: =(Зовн*LN(G22/5) Внутр*LN (G22/15))/LN(15/5) і скопіюйте її в комірки Н3:Q3.

    20. Активізуйте панель інструментів рисування, клацнувши на кнопці Рисування стандартної панелі інструментів. З використанням кнопки Вигляд стрілки нарисуйте стрілки, як показано на рис. 21.

    21. Виділить всі стрілки за допомогою миші і клавіші <Shift>, а потім виберіть команду Формат > Автофигура і відкрийте вкладку Цвета и линии; зменшіть наконечники стрілок шляхом одночасного зменшення довжини і товщини.

Рисунок 21

22. Виконаєте перерахунок листа натисканням клавіш <F9> або <Ctrf+=>.

Після декількох хвилин роботи Ехсеl припинить обчислення, і на листі з'явиться таблиця значень шуканої функції (рис. 22). Для одержання задовільної збіжності може знадобитися кілька натискань клавіші <F9>.

Після побудови таблиці для розв’язання даної задачі її можна швидко модифікувати для вирахування інших заданих потенціалів. Для цього досить змінити значення комірок Т10:Т11. Можна також додати у вихідну конфігурацію нові провідники. Так, якщо необхідно розташувати посередині між циліндрами провідник під напругою 25 В, просто замініть різницеве рівняння в комірці L5 на число 25 і перерахуйте лист. Результат показаний у таблиці на рис. 24 і графічно на рис. 25. На графіку для порівняння показаний аналітичний розв’язок без врахування додаткового провідника і числовий розв’язок з провідником.

Рисунок 22 – Потенціал між двома концентричними циліндрами: розв’язок двовимірного еліптичного рівняння в частинних похідних

Рисунок 23 – Порівняння аналітичного і скінченнорізницевого розв’язків задачі про два концентричні циліндри

Рисунок 24 – Потенціал між двома концентричними циліндрами з врахуванням провідника, внесеного між ними під напругою 25 В

Рисунок 25 – Графік результату задачі про потенціал між концентричними циліндрами з додатковим провідником під напругою 25 В (приведений аналітичний розв’язок без провідника)