Контрольні питання

1. Класифікація методів розв’язання диференціальних рівнянь у частинних похідних.

2. Постановка задачі розв’язання диференціальних рівнянь у частинних похідних.

3. Особливості рівнянь параболічного типу.

4. Що таке різницева схема?

5. Що таке різницева задача?

6. Що таке локальна похибка дискретизації?

7. Що таке умовно стійкі різницеві схеми?

17 Розв’язання гіперболічних рівнянь у частинних похідних

Мета роботи – надбання практичних навичок розв'язання гіперболічних рівнянь у частинних похідних ітераційним методом із застосуванням Microsoft Excel.

План роботи

1. Відповідно до порядкового номера бригади студентів в журналі академгрупи вибрати рівняння з таблиці 19.

2. Розв'язати хвильове рівняння з початковими умовами u(x;0)=f(x), , і нульовими крайовими умовами u(0; t) = u(1; t) = 0 з точністю  = 10^–5.

3. Зробити висновки.

Таблиця 19

Варіант	f(x)	a	b	c
1		1,0	0,05	0,45
2		2,0	0,10	0,50
3		3,0	0,15	0,55
4		4,0	0,20	0,60
5		5,0	0,25	0,65
6		6,0	0,30	0,70
7		7,0	0,35	0,75
8		8,0	0,40	0,80
9		9,0	0,45	0,85
10		10,0	0,50	0,90

Короткі теоретичні відомості

У гіперболічних рівняннях дискримінант , складений з коефіцієнтів при старших похідних, додатний. Таким чином, у рівнянні присутні другі похідні за обома змінними. Гіперболічні рівняння виникають при дослідженні механічних коливань і хвиль, процесів перенесення (наприклад, випромінювання), а також у задачах дифузії і газової динаміки.

Хвильове рівняння

Очевидно, із усіх гіперболічних рівнянь у частинних похідних найбільш важливим для сучасної фізики і техніки є хвильове рівняння. Воно використовується для моделювання усього підряд-від електромагнітних хвиль у вакуумі до електронних властивостей твердих напівпровідників. Це рівняння містить другі похідні за просторовою координатою і часом з коефіцієнтом пропорційності між ними у вигляді квадрата швидкості хвилі

,

де с – швидкість біжучої хвилі. Хвильовим рівнянням описується як електромагнітна хвиля в просторі, так і хвиля в коливній струні.

Хвильове рівняння розв’язується точно так само, як і рівняння з попереднього прикладу. Розглянемо одновимірну форму цього рівняння

.

Спочатку замінимо похідні центральними різницями

.

Тепер розв’яжемо це рівняння щодо значення шуканої функції в майбутньому часі

.

Для визначення наступного значення функції необхідно знати її значення на двох попередніх кроках. Це є деякою проблемою тільки на перших двох кроках, коли в нас немає передісторії процесу, що дозволяє визначити значення . Для запуску ітераційного процесу необхідно якимось образом знайти два відсутні значення. Якщо як початкові значення задані значення функції у і її похідної, то для визначення значення функції в момент – можна скористатися простою екстраполяційною формулою

.

Для визначення відсутнього значення функції можна скористатися й іншими початковими умовами.