Контрольні питання

1. Що розуміємо під крайовою задачею?

2. Що означає «розв’язати крайову задачу»?

3. Яка крайова задача називається лінійною?

4. Сформулюйте однорідну крайову задачу?

5. В чому полягає сутність методу скінченних різниць.

6. Скільки рівнянь і скільки невідомих буде мати алгебраїчна система?

7. Як записати алгебраїчну систему у матричному вигляді?

14 Розв’язання еліптичних рівнянь у частинних похідних

Мета роботи – надбання практичних навичок розв'язання еліптичних рівнянь у частинних похідних скінченнорізницевим методом із застосуванням Microsoft Excel.

План роботи

1. Відповідно до порядкового номера бригади студентів в журналі академгрупи вибрати рівняння з таблиці 16.

2. Розв'язати на сітці з 10 вузлів по x і 10 вузлів по у задачу Діріхле для рівняння Лапласа з крайовими умовами з точністю  = 10^–5.

3. Зробити висновки.

Таблиця 16

Варіант	f1(y)	f2(y)	f1(x)	f2(x)
	–y3	1– y3	x2	x2–1
	5y– y3	4–y2+5y	x2+3x	x2+3x+4
	3–7y	7–6y	4x+3	5x–4
	5–8y	11–7y	6x+5	7x–3
	y2+4y	y2+4y+4	x2+3x	x2+3x+5
	y2	(1–y)2	x2	(x–1)2
	y2	y2+2y	x2–x	x2+x+1
	y	y+e	ex	ex+1
	1	ey	1	ex
	ey–ey2	y	–x3+1	x2

Короткі теоретичні відомості

Рівняння в частинних похідних еліптичного типу звичайно виникають в задачах про рівновагу тіл або баланс фізичних величин. Розв’язок еліптичного рівняння звичайно описує стаціонарний стан деякого фізичного поля, наприклад, концентрації, щільності або потенціалу. Добре відомими прикладами еліптичних рівнянь є рівняння Лапласа і Пуассона. Обидва ці рівняння виникають в різних розділах фізики; особливо велика їх роль в електростатиці і теорії теплопровідності. У обох рівняннях коефіцієнт при змішаній похідній (В) рівний нулю, що робить дискримінант (B² – 4АС) строго від’ємним (за умови, що А і С одночасно додатні або від’ємні).

Еліптичні рівняння розв'язуються скінченнорізницевими методами, близькими до ітераційних методів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь, з тією лише різницею, що доводиться мати справу з двовимірним полем фізичної величини.

Рівняння Лапласа і Пуассона

Ці рівняння звичайно використовуються для розрахунку скалярних полів. Так, стаціонарний електричний потенціал описується таким рівнянням Пуассона

де q – заряд електрона,

 – щільність розподілених зарядів,

 – провідність.

Зверніть увагу на застосування диференціального оператора Гамільтона

де i, j, та k – одиничні вектори в напрямках координатних осей Ox, Oy i Oz. Таке визначення цього оператора в тривимірних декартових координатах. В інших системах координат даний оператор має інший вигляд. Квадрат оператора Гамільтона є символічним скалярним добутком оператора на самого себе

Якщо розподілений у просторі заряд відсутній, рівняння Пуассона зводиться до рівняння Лапласа