12 Розв’язання крайових задач методом пристрілки для звичайних диференціальних рівнянь

Мета роботи – вивчити метод пристрілки для розв’язування крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку та набути навичок їх розв’язування з застосуванням Microsoft Excel 2000.

План роботи

1. Виписати з таблиці 14 диференціальне рівняння, початкове та кінцеве значення незалежної змінної, крайові умови та задану точність  згідно з номером бригади студентів в журналі академ. групи .

2. Розв’язати диференціальне рівняння методом пристрілки з точністю =10^–5.

3. Проаналізувати отримані результати .

Таблиця 14 ­

Варіант		Диференціальне рівняння		Інтервал				Крайові умови
				а		b		y(a)		y(b)
1			0		1		2		1,818
2			0		1		3		7,49
3			0		1		0,703		16,5
4			0		1		5		–5,57
5			0		1,5		1,2		6,0
6			0		1		3,4		16,2
7			0		1		0		0
8			0		1		0,5		3,34
9			0		1		0		0
10			1		2,4		0,12		5,67

Хід роботи

При методі пристрілки крайова задача розв’язується із застосуванням тих же методів, що і задача Коші. Для цього невідомі граничні умови на одному краї заміняються їхніми передбачуваними значеннями, що перетворює крайову задачу в задачу Коші. Після цього рівняння інтегрується від краю 1 до кінця інтервалу визначення із застосуванням, наприклад, методу Ейлера. Після завершення інтегрування граничні умови на краю 2, отримані із розв’язку, порівнюються із заданими. Якщо вони збігаються, задача розв’язана; у противному випадку необхідно змінити початкові припущення про невідомі умови на краю 1, щоб підігнати розв’язок під умови на краю 2, і знову виконати інтегрування. Таким чином, виконується свого роду "пристрілювання" по граничних умовах на краю 2 шляхом підбору невідомих граничних умов на краю 1.

Наприклад, для розв’язання диференціального рівняння другого порядку необхідно мати дві граничні умови. Якби ставилася задача Коші, це були б значення функції і її похідної в одній точці, тоді як у типовій крайовій задачі звичайно задаються значення функції на двох кінцях деякого інтервалу. Для інтегрування цього рівняння від одного кінця інтервалу до іншого з використанням методів розв’язання задачі Коші знадобилося б також значення похідної на одному з кінців інтервалу. При наявності цього значення рівняння можна проінтегрувати до іншого кінця і порівняти отриманий розв’язок з граничною умовою на ньому. При їхньому збіганні задача розв’язана, тоді як у протилежному випадку необхідно повернутися до початкової точки і змінити передбачуване значення похідної. Цей процес необхідно продовжувати доти, поки не буде знайдений розв’язок, що задовольняє обидві граничні умови.