1 Розв’язання алгебраїчних рівнянь вищих стЕпенів і трансцендентних рівнянь ітераційним методом

Мета роботи – вивчення ітераційних методів і надбання навичок розв'язання нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь методом простої ітерації із застосуванням Microsoft Excel'2000.

План роботи

1. Відповідно до порядкового номера бригади студентів в журналі академгрупи вибрати рівняння з таблиці 1.

2. Розв'язати рівняння методом простої ітерації з точністю  = 10^–5.

3. Зробити висновки.

Таблиця 1

Варіант	Рівняння	Відрізок, що містить корінь
		[ 0,1; 0,3]
		[0,2; 0,4]
		[0,3; 0,5]
		[2; 2,5]
		[3; 4]
		[–2; –1]
		[3; 4]
		[1; 2]
		[1,5; 2,5]
		[0,5; 1,5]

Хід роботи

Розглянемо таке найпростіше нелінійне трансцендентне рівняння

сos(х) – х = 0.

Його можна віддразу переписати в потрібному для методу послідовних наближень вигляді x = сos(х).

Розв’яжемо це рівняння з використанням ітераційного апарату електронних таблиць. В ітераційному режимі спочатку перераховуються тільки ті комірки листа, які не мають циклічних посилань. Потім комірки, які мають циклічні посилання, які ітеруються один або декілька разів, в залежності від значення виставленого на вкладці Вычисления діалогового вікна Параметры (Сервис=>Параметры). Комірки, які мають циклічні посилання, обчислюються з поточними значеннями аргументів без їх попереднього розрахунку. Перерахування припиняється після виконання вказаної у вікні Вычисления кількості ітерацій. Щоб заново перерахувати всі комірки, натисніть кнопку Вычислить (або натисніть клавішу <F9> або <Ctrl+=>). Цей спосіб використовується для послідовного обчислення значення за заданою формулою та підстановкою його в ту ж формулу.

В нашому прикладі встановимо кількість ітерацій рівною 1, щоб спостерігати за зміною значень при перерахуванні листа. На практиці для більш швидкого знаходження розв’язання краще вибрати більшу кількість ітерацій.

1. Відкрийте новий робочий лист і назвіть його ЛР№1.

2. Виберіть команду Сервис=>Параметры. Відкрийте вкладку Вычисления, включіть режим Вручную, зробіть значення поля Предельное число итераций рівним 1 та заберіть відмітку з перемикача Пересчет перед сохранением. Натисніть кнопку ОК (Рис. 1).

3. Введіть в комірку А1 текст х=сos(х); метод ітерацій.

Тепер необхідно створити таблицю з початковим значенням та прапорцем ініціалізації. Прапорець ініціалізації переводить лист в заданий початковий стан.

4. В комірки А3:В4 введіть наведені нижче значення. Вирівняйте вправо вміст комірок А3:А4.

Комірка	Значення	Комірка	Значення
А3	Поч. значення	В3	0
А4	Поч. прапорець	В4	ИСТИНА

В комірці В6 буде виконуватись перевірка чи рівна ИСТИНА значенню комірки В4. Якщо це так, х буде встановлено рівним початковому значенню, а в іншому випадку – рівним комірці В7, тобто сos(х). В комірці В7 обчислюється косинус комірки В6, і тим самим організовується циклічне посилання.

5. Введіть вказані нижче значення в комірки А6:В7. Вирівняйте вправо їх вміст.

Комірка	Значення	Комірка	Значення
А6	х	В6	=ЕСЛИ(В4;В3;В7)
А4	сos(х)	В7	=COS(B6)

6. В комірку А9 введіть текст Похибка та вирівняйте її по правому краю.

7. В комірку В9 введіть =В7-В6

8. Перетворіть комірку В9 в експоненціальний формат з двома цифрами після коми.

Тепер організуємо друге циклічне посилання – для підрахунку кількості ітерацій.

9. В комірку А11 введіть Ітерації та вирівняйте її по правому краю.

10. В комірку В11 введіть =ЕСЛИ (В4;0;В12+1).

11. В комірку В12 введіть =В11

12. Відключіть лінії сітки.

13. Для виконання розрахунку встановіть значення початкового прапорця в комірці В4 рівним ИСТИНА та натисніть клавішу <F9> (Вычислить) для запуску процесу розв’язання задачі.

14. Змініть значення початкового прапорця на ЛОЖЬ та знову натисніть клавішу <F9>.

При кожному натиску клавіші <F9> виконується одна ітерація та обчислюється наступне приблизне значення х.

15. Натискайте клавішу <F9> до тих пір поки значення х не досягне необхідної точності.

Точність отриманого приблизного значення х перевіряється шляхом його порівняння із значенням f(х); різниця між ними відображається в комірці В9. До цього моменту робочий лист повинен виглядати так, як на рис. 2. Значення х, яке є коренем рівняння, наведене в комірках В6 та В7.