§ 4. Матричная форма системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

Запишем ее в виде

∙ = ,

А Х В

где А – матрица системы;

Х − матрица неизвестных;

В − матрица свободных членов.

В результате получили матричное уравнение

АХ = В.

Решим это уравнение. Умножим левую и правую части слева на обратную матрицу (|A| ≠ 0):

АХ = В.

Далее

ЕХ = В, Х = В.

Тем самым мы решили матричное уравнение. Вернемся к обычной записи:

= ∙ ∙

или

х₁ = ;

х₂ = ;

х₃ = .

Таким образом, мы решили систему линейных уравнений матричным методом.

Замечание. Если определитель матрицы системы |A| = 0, то решить систему уравнений матричным методом невозможно.

Пример. Решить матричным методом систему линейных уравнений

□ Преобразуем систему:

∙ = ,

А Х В

т.е.

АХ = В.

Решение этого матричного уравнения:

Х = В

или

= ∙ ∙ .

Итак, А = .

Построим и вычислим определитель этой матрицы:

|А| = = 30+24 = 54 ≠ 0,

т.е. обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения:

А₁₁ = = 10; А₁₂ = − = 6; А₁₃ = = −5;

А₂₁ = − = −8; А₂₂ = = 6; А₂₃ = − = 4;

А₃₁ = = 24; А₃₂ = − = −18; А₃₃ = = 15.

Тогда

= ∙ ∙ .

Находим неизвестные:

х₁ = = = = 1;

х₂ = = = = 2;

х₃ = = = = 3.

Таким образом,

■

§ 5. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы

Пусть дана матрица

А = .

Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов (k ≤ т, k ≤ п).

Определитель k-го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А. (Матрица А имеет миноров k-го порядка. Например, квадратная матрица размера 3×3 (3-го порядка) имеет 9 миноров 2-го порядка).

Рангом матрицы А называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля, r(A).

Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы равен нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.

Если r(A) = r(В), то матрицы А и В называются эквивалентными, А ~ В.

Ранг матрицы не изменится от элементарных преобразований.

Элементарные преобразования матрицы:

1. замена строк матрицы соответствующими столбцами и наоборот;

2. перестановка строк (столбцов) матрицы;

3. удаление нулевой строки (столбца);

4. умножение какой-либо строки (столбца) на число, отличное от нуля;

5. прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число.

Замечание. При нахождении ранга матрицы удобно приводить заданную матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду, т.к. величина полученного определителя (минора) будет равна в этом случае произведению элементов, стоящих на главной диагонали определителя.

Пример. Найти ранг матрицы

А = .

□ Используя элементарные преобразования, приведем матрицу к виду:

А = ~ ~ ~ ~

~ ~ .

Ранг последней матрицы равен 2, т.к. наибольший порядок, отличный от нуля, имеет минор 2-го порядка

М ² = = 1 ≠ 0.

Следовательно, и ранг заданной матрицы равен 2, т.е. r(A) = 2. ■