§ 6. Решение системы линейных уравнений методом гаусса

Численное решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и матричным методом удобно производить для систем двух или трех уравнений. В случае большего числа уравнений выгоднее использовать метод Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса на системе трех уравнений с тремя неизвестными:

Допустим, что коэффициент а₁₁ ≠ 0 при неизвестном х₁ в уравнении (1). Если а₁₁ = 0, то поменяем порядок уравнений, выбрав первым уравнение, в котором коэффициент при х₁ не равен нулю.

1 шаг: необходимо сделать коэффициент при х₁ равным единице. Для этого разделим уравнение (1) на а₁₁. Теперь умножаем уравнение (1) на −а₂₁ и складываем с уравнением (2); умножаем уравнение (1) на −а₃₁ и складываем с уравнением (3). В результате получим систему

где b_ij определяются по формулам:

, ( j = 1, 2, 3, 4);

, (i = 2, 3; j = 2, 3, 4).

2 шаг: поступаем с уравнениями ( ) и ( ) точно так же, как с уравнениями (1), (2), (3).

3 шаг: делаем коэффициент при х₃ равным единице.

В итоге получим систему ступенчатого вида

Из преобразованной системы последовательно определяются все неизвестные.

Замечание 1. С увеличением числа уравнений увеличивается число шагов.

Замечание 2. Если среди уравнений системы присутствует уравнение, в котором коэффициент при неизвестном х₁ равен единице, то это уравнение удобно сделать первым в системе уравнений.

Замечание 3. Если ступенчатая система уравнений имеет вид треугольника, то эта система имеет единственное решение; если ступенчатая система уравнений имеет вид трапеции (последнее уравнение имеет по крайней мере два неизвестных), то эта система имеет бесчисленное множество решений; если ступенчатая система уравнений содержит хотя бы одно уравнение вида 0 = 1, т.е. уравнение, в котором все неизвестные имеют нулевые коэффициенты, а правая часть отлична от нуля, то система не имеет решения.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

□ Поставим второе уравнение в системе на первое место и, согласно алгоритму, последовательно исключим неизвестные:

, ,

, ,

,

Следовательно,

■

Замечание 4. Практически удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, используя элементарные преобразования матриц ( без операций со столбцами).

Пример. Решить систему уравнений

□ Эта система из предыдущего примера. Запишем ее решение с помощью матриц:

~ ~ ~

~ ~ ~ .

Возвращаемся к записи с неизвестными:

,

Следовательно,

■

§ 7. Исследование системы m линейных уравнений с п неизвестными

Пусть дана система т линейных уравнений с п неизвестными

(1)

Решением этой системы называется совокупность п чисел (х₁; х₂;…; х_п), которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Если система уравнений не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Матрицы

А = и А₁ =

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы.

Теорема Кронекера – Капелли.

Система (1) совместна тогда и только тогда, когда r(A) = r(A₁) = r.

Число r называют рангом системы.

Если r = п, то система (1) является определенной.

Если r < п, то система (1) является неопределенной.

В этом случае рассматривают какой-нибудь базисный минор матрицы А. В этом миноре выделяют произвольную строку. Элементы этой строки являются коэффициентами при r неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти r неизвестных называют базисными неизвестными системы (1), остальные п − r неизвестные называют свободными неизвестными. Из системы (1) выделяют систему r уравнений, среди коэффициентов которых содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставляют в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные неизвестные, переносят в правые части. Из полученной системы уравнений выражают базисные неизвестные через свободные неизвестные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных. Другими словами система имеет бесчисленное множество решений.

Если b₁ = b₂ = … = b_т = 0, то система (1) называется однородной. Однородная система всегда является совместной.

Замечание. Если при исследовании системы определять ранги матриц А и А₁, приводя их к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований (без операций со столбцами), то одновременно с исследованием системы происходит решение этой системы методом Гаусса.

Пример. Исследовать и решить систему уравнений

□ Выпишем матрицы А и А₁:

А = , А₁= .

Так как матрица А является частью расширенной матрицы А₁, то будем рассматривать расширенную матрицу:

А₁ = ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ;

А ~ .

Ранг матрицы А равен 3, т.е. r(А) = 3, т.к.

М ³ = = 1 ≠ 0.

Ранг расширенной матрицы А₁ также равен 3, т.к. найденный определитель является минором матрицы А₁, r(А₁) = 3.

Таким образом, r(А) = r(А₁) = r = 3; число неизвестных п = 3. Следовательно, заданная система совместная и определенная.

Для решения системы уравнений воспользуемся последним видом расширенной матрицы А₁. Переходя к записи системы с неизвестными, получим

.

Отсюда следует

Следовательно,

■