- •Содержание
- •Глава 1. Линейная алгебра
- •§ 1. Определители
- •§ 2. Правило крамера
- •§ 3. Матрицы
- •§ 4. Матричная форма системы линейных уравнений
- •§ 5. Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы
- •§ 6. Решение системы линейных уравнений методом гаусса
- •§ 7. Исследование системы m линейных уравнений с п неизвестными
- •§ 8. Понятие вектора
- •§ 9. Двумерные векторы (векторы на плоскости)
- •§ 10. Трехмерные векторы (векторы в пространстве)
- •§ 11. Понятие п – мерного вектора. Линейное пространство
- •§ 12. Скалярное произведение векторов
- •§ 13. Векторное произведение векторов
- •§ 14. Смешанное произведение векторов
- •§ 15. Линейный оператор
- •§ 16. Евклидово пространство
- •§ 17. Квадратические формы
- •Принято говорить, что квадратичная форма приведена к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования в.
- •Определяем собственные векторы. Если то получаем систему уравнений
- •При получаем систему
- •Из семейства собственных векторов выделим два каких-нибудь ортогональных вектора. Полагая, например, ,
- •Подберем параметры и b так, чтобы выполнялось равенство
- •Глава 2. Элементы высшей алгебры
- •§ 1. Комплексные числа
- •§ 2. Многочлены
- •Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 1. Уравнение линии
- •§ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •§ 3. Общее уравнение прямой
- •§ 4. Кривые второго порядка
- •§ 5. Классификация кривых второго порядка
- •§ 6. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Глава 4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 1. Уравнение поверхности
- •§ 2. Плоскость
- •§ 3. Прямая в пространстве
- •§ 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •§ 5. Поверхности второго порядка
- •§ 6. Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
- •При получаем систему
- •При получаем систему
- •При получаем систему
- •§ 7. Метод сечений
- •Литература
§ 3. Прямая в пространстве
1). Прямую в пространстве можно задать, как линию пересечения двух плоскостей
(1)
где А1, В1, С1 и А2, В2, С2 не пропорциональны.
2).
Рассмотрим в пространстве произвольную прямую L, проходящую через точку М0(х0; у0; z0). Пусть = (х0; у0; z0) − радиус-вектор точки М0; = (т; п; р) − направляющий вектор; М(х; у; z) − текущая точка прямой; = (х; у; z) − радиус-вектор точки М.
Тогда можно записать
− = t ,
где t − скаляр (число).
Если действительная переменная t пробегает интервал (−∞, +∞), то конец вектора = + t пробегает всю прямую L.
Поэтому, уравнение
− = t , (−∞ < t < +∞) (2)
называют векторным уравнением прямой, проходящей через точку М0(х0; у0; z0). и направленной в сторону вектора = (т; п; р).
3). Запишем (2) в координатной форме
или (3)
(3) − параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) ( t − параметр).
4). Исключая из (3) параметр t, получим
= = . (4)
(4) − канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) параллельно направляющему вектору = (т; п; р).
5). Угол между прямыми.
Пусть даны две прямые
= = ,
= = .
Угол между этими прямыми равен углу между их направляющими векторами = (т1; п1; р1) и = (т2; п2; р2):
= . (5)
Условие перпендикулярности прямых:
В этом случае ∙ = 0. Значит,
т1т2 + п1п2 + р1р2= 0. (6)
Условие параллельности прямых:
В этом случае векторы и коллинеарны. Значит,
= = . (7)
6). Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2):
= = . (8)
Пример. Записать канонические уравнения прямой
□ Для записи канонических уравнений прямой
= =
необходимо найти координаты направляющего вектора = (т; п; р) и координаты точки М0(х0; у0; z0), лежащей на этой прямой.
За направляющий вектор можно принять векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей: = (1; 2; 3) и = (3; 1; 4). Тогда
= × = =5 +5 −5 = (5; 5; −5).
Координаты точки М0 на прямой найдем, задав z = 0 и решив систему уравнений относительно х и у:
Имеем М0(3; 5; 0).
Подставив полученные данные в канонические уравнения прямой, получим
= =
или
= = . ■