§ 2. Правило крамера

Систему уравнений вида

называют системой т линейных уравнений с п неизвестными.

Рассмотрим систему п линейных уравнений с п неизвестными (т = п):

(1)

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

Δ =

называется определителем системы (главным определителем).

Теорема Крамера. Если определитель системы (1)

Δ 0,

то система (1) имеет единственное решение, вычисляемое по формулам (Крамера)

х_j = , j = 1, 2, …, п

где Δ_j – определитель (вспомогательный определитель), получаемый из определителя Δ, если в нем заменить j-ый столбец на столбец свободных членов.

Замечание 1. Если Δ = 0 и Δ_j = 0, то система имеет бесчисленное множество решений;

Если Δ = 0, а хотя бы из определителей Δ_j 0, то система не имеет решения.

Замечание 2. Если система однородная, т.е. все свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_n = 0), то

1). при Δ 0 система имеет тривиальное решение

х₁ = х₂ = … = х_n = 0;

2). при Δ = 0 система имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему уравнением по правилу Крамера

□ Решения системы ищутся по формулам

х_j = , j =1, 2.

Построим и вычислим главный определитель системы:

Δ = = 5∙11−(−3)∙1 = 55+3 = 58 0.

Следовательно, заданная система имеет единственное решение.

Построим вспомогательный определитель Δ₁ и вычислим его:

Δ₁ = = 1∙11− (−3)∙6 = 11+18 = 29.

Построим и вычислим вспомогательный определитель Δ₂:

Δ₂ = = 5∙6 − 1∙1 = 30 − 1 = 29.

Следовательно,

х₁ = = = ; х₂ = = = .

Таким образом,

■

§ 3. Матрицы

Прямоугольная таблица из т∙п чисел, содержащая т строк и п столбцов,

= = = (1)

(i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n)

называется матрицей размера т × п.

Числа а_ij − члены (элементы) матрицы.

Если т = п, то матрица называется квадратной

= ,

п – порядок квадратной матрицы.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, называется определителем матрицы А:

Δ(А) = |A| = .

Все ранее сказанное об определителях справедливо и для определителей матриц.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы :

А = , = .

Квадратная матрица А называется симметричной (симметрической) относительно главной диагонали, если а_ij = а_ji.

Например,

− симметричная матрица.

Симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Если элементы диагональной матрицы равны единице, то матрица называется единичной:

Е = .

Матрица Х = − столбцевая, матрица-столбец, вектор.

Матрица Y = − строчная, матрица-строка, вектор.

Две матрицы А и В считаются равными, если они одинакового размера и соответствующие их элементы равны, т.е.

А = В

или

=

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n),

если

а_ij = b_ij.

Действия над матрицами

1. Суммой двух матриц А и В одинакового размера является матрица

С = А + В,

элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

с_ij = a_ij + b_ij

(i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Пример.

□ + = . ■

Аналогично определяется разность матриц.

2. Умножение матрицы на число.

Чтобы умножить матрицу на число λ, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы, т.е.

λ = .

3. Произведение двух матриц.

Если число столбцов 1-ой матрицы равно числу строк 2-ой матрицы, то произведение таких матриц имеет место, т.е.

× = .

Элемент с_ij матрицы С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

При умножении матриц, в общем случае, не выполняется коммутативный закон, т.е.

А × В ≠ В × А.

Справедливы следующие соотношения (k – число; А, В, С – матрицы; п – порядок матрицы):

а) (kA)∙B = A∙(kB);

б) (А + В)∙С = АС + ВС;

в) С∙(А + В) = СА + СВ;

г) А(ВС) = (АВ)С;

д) |kA| = kⁿ|A|;

e) |AB| = |A|∙|B|.

4. Умножение на единичную матрицу.

При умножении единичной матрицы Е слева или справа на матрицу А получается матрица А:

ЕА = АЕ = А.

Пример. Найти произведение матриц АВ, если

А = ; В = .

□ Так как число столбцов в матрице А равно числу строк в матрице В, то произведение этих матриц в указанном порядке существует. При этом

× = ,

т.е. искомая матрица С будет иметь размер 2 × 3.

С = АВ = ∙ = =

= = . ■

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице А, если ∙А =

= А∙ = Е.

Матрица А называется невырожденной (неособой), если |A| ≠ 0. Если же |A| = 0, то матрица называется вырожденной (особой).

Всякая невырожденная квадратная матрица А имеет обратную матрицу.

Пусть дана невырожденная матрица

А = , т.е. |A| ≠ 0.

Тогда обратная матрица находится по формуле

= ,

где А_ij – алгебраическое дополнение элемента а_ij.

Матрица

= называется матрицей, присоединенной к

матрице А. Тогда можно записать

= ∙ .

Для невырожденных матриц другого порядка можно записать аналогичные формулы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице

А = .

□ Построим и вычислим определитель заданной матрицы:

|А| = = 6+0+0−0−1−0 = 5 ≠ 0,

т.е. заданная матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица. Обратная находится по формуле

= .

Вычислим алгебраические дополнения:

А₁₁ = (−1)¹⁺¹ = 6 − 1 = 5; А₁₂ = (−1)¹⁺² = 0;

А₁₃ = (−1)¹⁺³ = 0; А₂₁ = (−1)²⁺¹ = −(4 − 0) = −4;

А₂₂ = (−1)²⁺² = 2 − 0 = 2; А₂₃ = (−1)²⁺³ = −(1 − 0) = −1;

А₃₁ = (−1)³⁺¹ = 2 − 0 = 2; А₃₂ = (−1)³⁺² = −(1 − 0) = −1;

А₃₃ = (−1)³⁺³ = 3 − 0 = 3.

Подставляем А_ij и |А| в указанную формулу:

= = .

Можно показать, что выполняется условие

∙А = А∙ = Е. ■