§ 4. Взаимное расположение прямой и плоскости
1). Угол между прямой и плоскостью.
Так
как
=
,
то угол между прямой
= =
и плоскостью
Ах + Ву + Сz + D = 0
определяется по формуле
=
.
(1)
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
В этом случае векторы и коллинеарны. Значит,
=
=
.
(2)
Условие параллельности прямой и плоскости:
В этом случае векторы ∙ = 0. Значит,
Ат + Вп + Ср = 0. (3)
Условия, при которых прямая лежит в плоскости:
(4)
Если в системе (4) условие (а) не выполняется, то прямая пересекает плоскость.
Если в системе (4) условие (а) выполняется, а условие (b) не выполняется, то прямая параллельна плоскости.
Пример. Найти точку пересечения прямой
=
=
с плоскостью
6х + 3у − z − 41 = 0.
□ Заданная прямая проходит через точку М0(1; −3; 2) параллельно направляющему вектору = (6; 3; −1). Перейдем от канонических уравнений к параметрическим: х = 1 + 6t, у = −3 + 3t, z = 2 − t.
Решив систему
найдем координаты точки пересечения: х = 7, у = 0, z = 1, т.е. А(7; 0; 1).
■
§ 5. Поверхности второго порядка
Уравнение
Ах2 + Ву2 + Сz2 + 2Dyz + 2Exz + 2Fxy + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, (1)
где A, B, C, D, E, F, G, H, K, L – заданные действительные числа, называется общим уравнением поверхности второго порядка.
Уравнение (1) может определять различные поверхности (сфера, эллипсоид и т.д.), но оно может также определять совокупность двух плоскостей, точку, прямую или даже не иметь геометрического смысла (определять мнимую поверхность).
1). Сфера.
(х – а)2 + (у – b)2 + (z – c)2 = R2. (2)
Точка С(а; b; с) – ее центр, R – радиус сферы.
Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид
х2 + у2 + z2 = R2.
2). Эллипсоид.
+
+
= 1, (3)
где а, b, c > 0.
Величины а, b, c – полуоси эллипсоида. Точки (± а; 0; 0), (0; ± b; 0), (0; 0; ±c) – вершины эллипсоида.
При пересечении эллипсоида плоскостями z = h (−c ≤ h ≤ c), х = h (−a ≤ h ≤ a), y = h (−b ≤ h ≤ b) в сечениях получим эллипсы.
При а = b = c эллипсоид обращается в сферу.
Если какие-либо две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения.
3). Однополостный гиперболоид.
+ − = 1, (4)
где а, b, c > 0.
Величины а, b, c – полуоси однополостного гиперболоида. Точки (± а; 0; 0), (0; ± b; 0) – вершины однополостного гиперболоида.
При пересечении поверхности плоскостью z = h (−∞ ≤ h ≤ +∞) в сечении получим эллипс. Если теперь пересечь поверхность (4) плоскостью х = h (у = h), то в сечении получим гиперболу. При h = ± а (h = ± b) гипербола распадается на две прямые.
Если а = b, то поверхность является однополостным гиперболоидом вращения.
4). Двуполостный гиперболоид.
− − = 1, (5)
где а, b, c > 0.
Точки (± а; 0; 0) – вершины двуполостного гиперболоида.
При пересечении поверхности плоскостью x = h (|h| ≥ a) в сечении получим эллипс. При пересечении поверхности плоскостью z = h (у = h) в сечении получим гиперболу.
5). Эллиптический параболоид.
+
= 2z,
(6)
где p, q > 0.
Точка (0; 0; 0) – вершина эллиптического параболоида.
При пересечении поверхности плоскостями z = h (h ≥ 0) в сечении получим эллипсы. При пересечении поверхности плоскостями х = h
(у = h) в сечении получим параболы.
Если p = q, то поверхность является параболоидом вращения.
6). Гиперболический параболоид.
− = 2z, (7)
где p, q > 0.
Пересекая поверхность (7) плоскостями z = h, будем получать в сечении гиперболы, причем при h > 0 действительная ось симметрии гиперболы будет параллельна оси ОХ, а при h < 0 − оси OY. При h = 0 в сечении будут две пересекающиеся прямые.
При пересечении поверхности (7) плоскостями х = h или у = h, получим параболы, направленные ветвями вниз или вверх.
7). Конус второго порядка.
+ − = 0, (8)
где а, b, c > 0.
При сечении поверхности (8) плоскостями z = h будем получать эллипсы. Если же пересекать поверхность плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы.
8). Точка.
х2 + у2 + z2 = 0. (9)
Уравнению (9) удовлетворяет только одна точка х = у = z = 0.
Цилиндры второго порядка.
а) Эллиптический цилиндр.
+ = 1, (10)
где а, b > 0.
Уравнение (10) не содержит переменной z, т.е. z может принимать любые значения. На плоскости ОХY уравнение (10) определяет эллипс с полуосями а и b. Если точка (х; у) лежит на этом эллипсе, то при любом z точка (х, у, z) лежит на поверхности (10). Совокупность таких точек есть поверхность, описанная прямой, параллельной оси OZ и пересекающей эллипс
+ = 1
в плоскости OXY.
Эллипс (10) называют направляющей линией данной поверхности, а все возможные положения указанной движущейся прямой – образующими.
Вообще поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию L, называется цилиндрической.
б) Гиперболический и параболический цилиндры.
− = 1, (а, b > 0), (11)
у2 = 2рх, (p > 0). (12)
В данном случае направляющими линиями поверхностей являются гипербола и парабола, а образующими – прямые, параллельные оси OZ и проходящие через гиперболу или параболу в плоскости OXY.
в) Пересекающиеся и параллельные плоскости. Плоскость. Прямая.
а2х2 − b2у2 = 0 (а,b>0), (13)
х2 − а2 = 0 (а > 0), (14)
z2 = 0, (15)
х2 + у2 = 0. (16)
Для поверхности (13) направляющими являются прямые линии
у = х. Поэтому поверхность (13) есть пара пересекающихся плоскостей.
Уравнение (14) в плоскости OXY есть пара прямых х = ± а. Если мы будем брать х = ± а и любые у и z, то точки (± а; у; z) будут удовлетворять уравнению (14), поэтому поверхность (14) есть пара параллельных плоскостей.
Уравнение (15) описывает плоскость OXY, т.к. этому уравнению удовлетворяют любые точки вида (х; у; 0), все множество которых и составляет плоскость OXY.
Уравнению (16) удовлетворяет любая точка с х = у = 0 и любым z. Поэтому (16) изображает прямую, а именно, ось OZ.
Следует отметить, что каждое из уравнений (3) – (16) имеет еще по две формы записи. Так, например, для уравнения (4) запись − + + = 1 означает, что однополостный гиперболоид “ориентирован” вдоль оси OY, а запись уравнения (16) в виде х2 + z2 = 0 определяет ось OY.
Пример. Установить, что плоскость х − 2 = 0 пересекает эллипсоид
+
+
= 1
по эллипсу и найти его полуоси и вершины.
□ Так как плоскость и эллипсоид пересекаются, то необходимо решить систему уравнений
Подставляя х = 2 в первое уравнение, получим
+
+
= 1.
После преобразований будем иметь
+
= 1 или
+
= 1.
Последнее уравнение есть уравнение эллипса. Его большая полуось равна 3, малая полуось равна , а вершинами являются точки (2; ±3; 0) и (2; 0; ± ). ■