§ 7. Метод сечений

Исследовать и строить поверхности второго порядка удобно с помощью метода сечений. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример. Используя метод сечений, исследовать и построить поверхность, заданную уравнением

z = 2(1 − − ).

□ Метод сечений состоит в получении линий пересечения исследуемой поверхности с координатными плоскостями и плоскостями, параллельными им. Совокупность линий пересечения образует каркас, по которому определяют форму поверхности и строят ее изображение.

Исследуем предложенную поверхность.

Пересечем поверхность плоскостью z = 0 (т.е. подставим в уравнение поверхности значение z = 0). В сечении получим кривую

+ = 1.

Это уравнение эллипса в плоскости OXY с полуосями а = 4 и b = 5.

Пересечем поверхность плоскостью у = 0. В сечении получим параболу

х² = 8(2 − z) или х² = 2(−4)(z − 2)

в плоскости OXZ с параметром р = −4, вершиной в точке А(0; 0; 2) и ветвями, направленными вниз.

Пересечем поверхность плоскостью х = 0. В сечении получим параболу

у² = 2( )(z − 2)

в плоскости OYZ с параметром р = , вершиной в точке А(0; 0; 2) и ветвями, направленными вниз.

Проанализируем пересечения поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Для этого достаточно рассмотреть пересечения с горизонтальными плоскостями z = h. Подставим в уравнение поверхности вместо z величину h:

h = 2(1 − − ).

После преобразований получим

+ = 1 − .

При h > 2 правая часть уравнения будет отрицательной и не существует таких х и у, которые удовлетворяли бы уравнению. Это означает, что рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскости z = 2.

При h ≤ 2 сечениями являются эллипсы с полуосями

а = и b = ,

вырождающиеся в точку А(0; 0; 2) при z = 2. Заметим, что все эллипсы, получающиеся в сечении поверхности горизонтальными плоскостями

z = h ≤ 2, подобны ( = = const), причем с уменьшением h их полуоси неограниченно возрастают.

Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз заданной поверхности и понять, что заданная поверхность является эллиптическим параболоидом:

■

Литература

1. Бугров Я.М., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1988. – 224 с.

2. Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1.– М.: Наука, 1985. – 452 с.

4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высш. шк., 1989. – 479 с.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987. – 352 с.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в уп- ражнениях и задачах. Ч.1. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.

7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1986. – 224 с.

Электронное пособие

КУРС ЛЕКЦИЙ

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(Линейная алгебра и аналитическая геометрия).

Для студентов дневной и заочной форм обучения

направления подготовки 6.050102

«Компьютерная инженерия»

Составитель:

Александр Евгеньевич Богданов

Редактор А.Е. Богданов

Техн. редактор Л.А. Лыгина

Оригинал – макет Л.А. Лыгина

Підписано до друку ____________

Формат . Папір типограф. Гарнітура Times.

Друк офсетний. Ум. друк. арк.___. Обл.-вид.арк._____.

Тираж ___ прим. Вид. №_______. Замова №______. Ціна договірна.

Видавництво Технологічного інституту

СНУ ім. Володимира Даля(м. Сєвєродонецьк)

Адреса видавництва: 93400, м. Сєвєродонецьк, Луганської обл.,

пр. Радянський, 59-а, головний корпус

Телефон: 8(06452) 4-03-42

E-mail: sti@sti.lg.ua

166