§ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
1). у = kx + b, (1)
где k = tgα.
(1) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k.
Частные случаи:
а) если b = 0, то у = kx и прямая проходит через начало координат;
б) если α = 0, то у = b. Прямая параллельна оси OX , у = 0 – уравнение оси ОХ;
в) если α = , то прямая (у принимает любые значения) параллельна оси OY,
х = 0 – уравнение оси OY.
2). Пусть прямая проходит через точку М0(х0; у0) и образует с осью ОХ угол α ≠
Так как точка М0(х0; у0) лежит на прямой, то ее координаты удовлетворяют уравнению (1), т.е.
у0 = kx0 + b. (2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим
у − у0 = k (х − x0). (3)
(3) − уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0(х0; у0) (уравнение пучка прямых, проходящих через точку М0(х0; у0))
3). Пусть прямая проходит через две точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2)
Уравнение прямой, проходящей через точку М1(х1; у1) имеет вид
у − у1 = k (х − x1). (4)
Так как точка М2(х2; у2) лежит на этой прямой, то она удовлетворяет этому же уравнению, т.е.
у2 − у1 = k (х2 − x1). (5)
Поделив (4) на (5), получим
=
.
(6)
(6)
− уравнение
прямой,
проходящей через две заданные точки
М1(х1;
у1)
и
М2(х2;
у2)
(угловой
коэффициент этой прямой k
=
).
4). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки В(0; b) и A(a; 0)
Используя уравнение (6), получим
=
;
=
;
=
;
+
=
1. (7)
(7) − уравнение прямой в отрезках (а и b − отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях).
5). Угол между двумя прямыми
Пусть заданы две прямые
у = k1x + b1, (а)
у = k2x + b2. (b)
Найдем угол между прямыми φ. Так как φ = α2 − α1, k1 = tg α1,
k2 = tg α2, α1 ≠ , α2 ≠ , то
tg
φ
= tg(α2
−
α1)
=
или
tg
φ
=
.
(8)
Формула (8) позволяет найти как острый угол, так и тупой угол.
Формула
tg
φ
=
позволяет находить только острый угол между прямыми.
Условие параллельности прямых:
Если прямые параллельны, то φ = 0. Значит, tg φ = 0. В этом случае из (8) следует k2 − k1 = 0 или
k2 = k1. (9)
Условие перпендикулярности прямых:
Если прямые перпендикулярны, то φ = , tg − не существует; tg φ не существует, если в (8) знаменатель равен нулю, т.е. 1 + k1k2 = 0 или
k2
= −
.
(10)