§ 16. Евклидово пространство

Линейное пространство R называется евклидовым, если имеется правило, которое позволяет для каждых двух векторов и из R построить действительное число, называемое скалярным произведением векторов и и обозначаемое ( , ), причем это правило удовлетворяет условиям:

1⁰ ( , ) = ( , );

2⁰ ( , + ) = ( , ) + ( , );

3⁰ (λ , ) = λ ( , ) для любого действительного числа ;

4⁰ ( , ) > 0, если .

Из условий 1⁰ – 4⁰ следует, что:

а) ( + , ) = ( , ) + ( , );

б) ( , λ ) = λ( , )

в) ( , ) = 0 для любого вектора .

Скалярное произведение любого вектора R на себя называется скалярным квадратом.

Длиной (нормой) вектора в евклидовом пространстве называется квадратный корень из скалярного квадрата этого вектора, т. е.

.

Если λ − любое действительное число, а − любой вектор евклидова пространства, то

.

Вектор, длина которого равна единице, называется нормированным. Если R − ненулевой вектор, то

является нормированным вектором.

Для любых двух векторов и в евклидовом пространстве выполняется неравенство

(или )

− неравенство Коши-Буняковского.

Равенство

имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы.

Угол φ между векторами и определяется равенством:

, где 0 π

Если и − ненулевые векторы, а , то ( , ) = 0. В этом случае говорят, что векторы и ортогональны, т.е. .

Для произвольных векторов и евклидова пространства имеют место важные соотношения:

1. ( неравенство треугольника ).

2. Пусть φ − угол между векторами и , тогда

(теорема косинусов).

Если , то .

Заменяя в последнем равенстве на − , получим

(теорема Пифагора).

Пример. Пусть множество всевозможных систем действительных чисел , , , … является линейным пространством.

Можно ли скалярное произведение двух произвольных векторов и определить равенством ( для того, чтобы это пространство стало евклидовым)?

□ Для этого необходимо проверить выполнение условий 1⁰ − 4⁰.

1⁰ Так как ( , )= , то .

2⁰ Пусть . Тогда

и

3⁰

.

4⁰ , если хотя бы одно из чисел

х_1, х₂ , …, х_n отлично от нуля.

Значит, в заданном пространстве с помощью указанного равенства можно определить скалярное произведение. ■

Ортогональный базис

Базис , ,…, евклидова пространства называется ортогональным, если

при .

Теорема. Во всяком евклидовом пространстве имеется ортогональный базис.

Если ортогональный базис состоит из нормированных векторов, то этот базис называется ортонормированным. Для ортонормированного базиса , ,…, справедливо

Если в n - мерном евклидовом пространстве известен какой-нибудь базис , ,…, , то в этом пространстве всегда можно найти и ортонормированный базис , ,…, .

Любой вектор евклидова пространства, заданный в ортонормированном базисе, определяется равенством:

.

Длина вектора находится по формуле

.

Два вектора

и

линейно зависимы ( коллинеарны, пропорциональны) тогда и только тогда, когда

.

Ортогональность двух векторов и :

.

Угол между двумя векторами и :

.

Пример. Нормировать вектор

.

□ Согласно формуле , имеем

■

Пример. Дана матрица А =

перехода от ортонормированного базиса , , к базису ^*, ^*, ^*. Доказать, что базис ^*, ^*, ^* ортонормированный.

□ Вспоминая переход к новому базису, можем записать

или

Для ортонормированного базиса , , должны выполняться равенства

Проверим эти равенства для базиса ^*, ^*, ^*:

Так как указанные равенства выполняются, то базис ^*, ^*, ^* − ортонормированный. ■

Пример. При каком значении λ базис, образованный векторами

, ,

,

является ортогональным? Нормировать этот базис.

□ Базис будет ортогональным, если при . В нашем случае, если при . Пусть, например, . Тогда Отсюда

λ = −1. Следовательно,

, ,

и

Пронормируем векторы полученного ортогонального базиса по формуле

, где i = 1,2,3,4.

Длина равна: .

Таким образом, векторы

,

,

,

образуют ортонормированный базис. ■

Ортогональные преобразования

Линейное преобразование (линейный оператор) А евклидова пространства называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение любых двух векторов и этого пространства, т.е.

.

Длина вектора при этом не изменяется, т.е. .

Таким образом, .

Из последнего равенства следует, что ортогональное преобразование А не изменяет угла между любыми двумя векторами и .

Ортогональное преобразование переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный. Наоборот, если линейное преобразование переводит какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированный, то оно является ортогональным.

Пример. При каком значении λ преобразование А, определяемое равенством , является ортогональным?

□ Пусть

, ,

, .

Преобразование будет ортогональным, если

и , .

Тогда имеем

.

Это равенство будет выполняться при , т.е. при . При таких значениях λ не изменяются длины векторов и :

.

Если , то .

Аналогично,

. ■

Пример. Является ли ортогональным преобразование А, определяемое в каком-нибудь ортонормированном базисе матрицей

,

если , ,

, ,

, ?

□ Составим векторы :

,

,

.

Если , , то преобразование А будет ортогональным. Проверим это условие:

− по условию;

− по условию;

− по условию.

Значит, преобразование А − ортогональное.

Более того, т. к.

− по условию,

− по условию,

− по условию,

то векторы образуют ортонормированный базис. Это означает, что преобразование А − ортонормированное. ■