Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

В такой же мере существенно использовать положительные и отрицательные числа для обозначения направленных вращений. По определению, в качестве положительного направления вращения избирается то, которое направленную ось x переводит в ось y после поворота на 90◦. При обыкновенном расположении осей (когда ось x направлена вправо, а ось y — вверх) положительное вращение направлено против часовой стрелки. Мы определим теперь угол от направленной прямой l1 к направленной прямой l2 как угол, на который нужно повернуть прямую l1, чтобы она стала параллельной прямой l2. Разумеется, этот угол определен лишь с точностью до величин, кратных 360◦. Так, угол между осью x и осью y равен 90◦ или −270◦ и т. д. Вместо «угол от l1 до l2» мы будем говорить короче: «угол между l1 и l2», учитывая, конечно, что «угол между l1 и l2»

и«угол между l2 и l1» различаются знаком.

18.Пусть a обозначает угол между направленной осью x и направлен-

ной прямой l. Пусть P1, P2 — две точки на l и d — направленное расстояние от P1 до P2. Покажите, что

(x2 − x1) sin a = (y2 − y1) cos a.

Если прямая l не перпендикулярна к оси x, то наклон l определяется

формулой

m = tg a = y2 − y1 . x2 − x1

Значение m не зависит от того, как направлена прямая l, так как tg a = = tg(a + 180◦), или, что равносильно,

19. Докажите: наклон прямой равен нулю, положителен или отрицателен, смотря по тому, пойдет ли прямая, параллельная данной и проходящая через начало, по оси x или через первый и третий квадранты, или через второй и четвертый квадранты.

Мы условимся различать две «стороны» направленной прямой — положительную и отрицательную (менее удобно было бы говорить о положительной и отрицательной полуплоскостях). Пусть P — какая-нибудь точка, не лежащая на прямой l, и Q — основание перпендикуляра к l, проведенного через P. Тогда P лежит с положительной или с отрицательной стороны l, смотря по тому, будет ли угол между l и направленной прямой QP равен 90◦ или −90◦.

Затем мы определим уравнение направленной прямой l. Через начало O проведем прямую m, перпендикулярную к l, и направим ее так, чтобы угол между m и l был равен 90◦. Обозначим через b угол между направленной осью x и прямой m. Тогда a = 90◦ + b, sin a = cos b, cos a = − sin b.

Пусть R(x1, y1) есть точка пересечения l и m. Обозначим через d направленное расстояние OR на направленной прямой m.

20. Покажите, что d положительно в том и только том случае, если начало O находится с отрицательной стороны l.

Мы имеем x1 = d cos b, y1 = d sin b (см. упражнение 18). Отсюда следует (x − x1) sin a = (y − y1) cos a или

(x − d cos b) cos b = −(y − d sin b) sin b, что приводит окончательно к уравнению

x cos b + y sin b − d = 0.

Это — нормальная форма уравнения прямой l. Следует заметить, что это уравнение не зависит от направления прямой l, так как изменение ее направления повлекло бы за собой изменение знаков у всех членов в левой части, причем уравнение осталось бы тем же самым.

Умножая нормальное уравнение на произвольный множитель, мы получаем общую форму уравнения прямой линии

ax + by + c = 0.

Чтобы получить, обратно, из этой общей формы геометрически содержательную нормальную форму, придется умножить обе части уравнения на такой множитель, чтобы коэффициенты при x и y свелись к величинам вида cos b и sin b, квадраты которых в сумме составляют 1. Таким множи-

21. Докажите, что: а) кроме √a2 + b2 и −√a2 + b2 , не существует иных

множителей, приводящих общее уравнение к нормальной форме; б) выбор того или иного множителя фиксирует направление прямой; в) после того как выбор того или иного множителя сделан, можно сказать, что начало O находится с положительной или с отрицательной стороны прямой или находится на самой прямой, смотря по тому, будет ли d отрицательным, положительным или нулем.

22. Докажите непосредственно, что прямая с наклоном m, проходящая через данную точку P0(x0, y0), представляется уравнением

y − y0 = m(x − x0), или y = mx + (y0 − mx0).

и P2(x2, y2), имеет уравнение

(y2 − y1)(x − x1) = (x2 − x1)(y − y1).

Условимся: координата x точки пересечения прямой с осью x называется «отрезком на оси x»; аналогично относительно «отрезка на оси y».

23. Докажите, что, деля общее уравнение, полученное в упражнении 20, на надлежащим образом подобранное число, получим уравнение прямой

«в отрезках на осях»

ax + yb = 1,

причем a и b — отрезки, которые прямая образует соответственно на оси x

иоси y. Могут ли быть исключительные случаи?

24.Покажите, что в результате подобной же процедуры уравнение всякой прямой, не параллельной оси y, может быть «решено относительно y»:

y = mx + b.

(Если же прямая параллельна оси y, то ее уравнению можно придать вид x = a.)

25. Предположим, что ax + by + c = 0 и a′x + b′y + c′ = 0 — уравнения двух данных прямых l и l′; пусть m и m′ — соответственно их наклоны. Докажите, что l и l′ параллельны или перпендикулярны, смотря потому, будет ли: ф) m = m′ или mm′ = −1, б) ab′ − a′b = 0 или aa′ + bb′ = 0. (Обратите внимание, что формулировка б) пригодна и для того случая, когда у прямой «нет никакого наклона», т. е. она параллельна оси y.)

26. Установите, что уравнение прямой, проходящей через точку P0(x0, y0) и параллельной данной прямой l с уравнением ax + by + c = 0, имеет вид ax + by = ax0 + by0. Установите, что если условие параллельности заменить условием перпендикулярности, то соответствующее уравнение примет вид bx − ay = bx0 − ay0. (Интересно заметить, что если уравнение l написано в нормальной форме, то в такой же форме получается

иновое уравнение.)

27.Пусть уравнения x cos b + y sin b − d = 0 и ax + by + c = 0 представляют в нормальной форме и в общей форме одну и ту же прямую l. Докажите, что направленное расстояние h от l до некоторой точки Q(u, v)

дается формулой

h = u cos b + v sin b − d,

или же au + bv + c , h = ±√a2 + b2

и что h — положительное или отрицательное число, смотря по тому, лежит ли Q с положительной или с отрицательной стороны направленной прямой l (причем направление l фиксируется или углом b, или выбором

знака при √a2 + b2). (Указание: напишите в нормальной форме уравнение прямой m, проходящей через Q и параллельной m, и затем определите расстояние между и m.)

28. Предположим, что l(x, y) = 0 есть сокращенная запись уравнения ax + by + c = 0 некоторой прямой l; аналогично для l′(x, y) = 0. Пусть l и l′ — постоянные числа, причем l + l′ = 1. Докажите, что если прямые l и l′ пересекаются в точке P0(x0, y0), то всякая прямая, проходящая через P0, имеетl уравнение вида

l(x, y) + l′l′(x, y) = 0,

инаоборот, что всякая такая прямая однозначно определяется выбором

пары значений l и l′. (Указание: в том и только том случае P0 лежит на l, если l(x0, y0) = ax0 + by0 + c = 0.) Что представляет уравнение в случае, если l и l′ параллельны? (Заметьте, что в условии l + l′ = 1 нет никакой необходимости: оно служит только для того, чтобы каждой прямой, проходящей через P0, соответствовало одно определенное уравнение.)

29.Воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения для того,

чтобы написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения P0 прямых l и l′ и еще через другую точку P1(x1, y1), не находя при этом координат P0. (Указание: определите l и l′ из условий ll(x1, y1) + l′l′(x1, y1) = = 0, l + l′ = 1. Сделайте проверку, определяя координаты P0 (см. стр. 104)

иустанавливая затем, что P0 лежит на прямой, уравнение которой вы нашли.)

30.Докажите, что уравнения биссектрис углов, образованных пересекающимися прямыми l и l′, имеют вид

√a′2 + b′2 l(x, y) = ±√a2 + b2 l′(x, y).

(Указание: см. упражнение 27.) Что представляют эти уравнения, если прямые l и l′ параллельны?

31.Двумя способами выведите уравнение прямой, проходящей через

середину отрезка P1P2 и к нему перпендикулярной: а) напишите уравнение P1P2; найдите координаты середины P0 отрезка P1P2; напишите уравнение прямой, проходящей через P0 и перпендикулярной к P1P2; б) выразите

ввиде уравнения то условие, что расстояние (стр. 100) между P1 и какойнибудь точкой P(x, y) искомой прямой равно расстоянию между P2 и P; возведите обе части равенства в квадрат и сделайте упрощения.

32.Двумя способами выведите уравнение окружности, проходящей че-

рез три точки P1, P2, P3, не лежащие на одной прямой: а) напишите уравнение перпендикуляров, проведенных к отрезкам P1P2 и P2P3 через их середины; найдите координаты центра как точки пересечения этих пер-

пендикуляров, определите радиус как расстояние между центром и P1; б) искомое уравнение должно иметь вид x2 + y2 − 2ax − 2by = k (см.

стр. 100). Так как каждая из данных точек лежит на окружности, то мы

должны иметь

x21 + y21 − 2ax1 − 2by1 = k, x22 + y22 − 2ax2 − 2by2 = k, x23 + y23 − 2ax3 − 2by3 = k,

так как точки лежат на кривой в том и только том случае, если ее координаты удовлетворяют уравнению кривой. Затем решите систему относительно a, b, k.

33.Напишем уравнение эллипса с большей осью 2p, малой осью 2q

ис фокусами F(−e, 0) и F′(e, 0), причем e2 = p2 − q2. Воспользуемся расстояниями r и r′ произвольной точки P(x, y) кривой от F и F′. По определению эллипса r + r′ = 2p. С помощью формулы для расстояния между точками (стр. 100) установите, что

r′2 − r2 = (x + e)2 − (x − e)2 = 4ex.

Так как

r′2 − r2 = (r′ + r)(r′ − r) = 2p(r′ − r),

то отсюда выведите соотношение r′ − r = 2pex . Решая последнее уравнение

совместно с уравнением r + r′ = 2p, вы получите важные формулы r = − pe x + p, r′ = pe x + p.

Раскройте скобки, соберите члены, подставьте p2 − q2 вместо e2 и сделайте упрощения. Приведите окончательно к виду

Сделайте аналогичные вычисления для гиперболы, определяя ее как геометрическое место точек P, для которых абсолютная величина разности r − r′ равна данному числу 2p. Но в этом случае e2 = p2 + q2.

34. Парабола определяется как геометрическое место точек, расстояние которых от данной прямой (директрисы) равно расстоянию от данной точки (фокуса). Выбрав в качестве директрисы прямую x = −a, а в качестве фокуса точку F(a, 0), покажите, что уравнение параболы может быть

написано в виде

y2 = 4ax.

Геометрические построения

35. Докажите невозможность построения с помощью только циркуля и линейки чисел √3 3, √3 4, √3 5. Докажите, что построение числа √3 a возможно только в том случае, если a есть куб рационального числа (см. стр. 161 и далее).

36. Найдите стороны правильных 3 · 2n-угольников и 5 · 2n-угольников. Дайте характеристику последовательно вводимых полей расширения.

37. Докажите невозможность трисекции с помощью только циркуля и линейки углов в 120◦ или 30◦. (Указание для случая угла в 30◦: мы

приходим к уравнению 4z3 − 3z = cos 30◦ = 1 √3. Введя новую перемен-

√ 2

ную u = z 3, вы получите уравнение, с которым рассуждайте так же, как на стр. 164.)

38.Докажите невозможность построения правильного 9-угольника.

39.Установите, что инверсия точки P(x, y) в точку P′(x′, y′) относительно окружности с центром в начале координат и радиусом r дается

Решите эти уравнения относительно x и y.

*40. Основываясь на упражнении 39, установите аналитически, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые. Проверьте, в частности, свойства а)–г) со стр. 169, а также преобразования, указанные на рис. 61.

41.Что станет с двумя семействами прямых x = const и y = const, параллельных координатным осям, при инверсии относительно единичной окружности с центром в начале? Дайте ответ без помощи аналитической геометрии и с помощью аналитической геометрии.

42.Выполните построение Аполлония в простых случаях по вашему собственному выбору. Попробуйте найти решение в аналитической форме, как было указано на стр. 152.

Проективная и неевклидова геометрия

43. Найдите все значения двойного отношения l четырех гармониче-

ских точек, если эти точки подвергаются всевозможным перестановкам.

Ответ: l = −1, 2, 21 .

44. При каких расположениях четырех точек какие-нибудь два из шести значений двойного отношения на стр. 201 совпадают между собой? (Ответ: только при l = −1 или l = 1; имеется только одно мнимое зна-

чение l, при котором l = 1 −1 l : ему соответствует «эквигармоническое» двойное отношение.)

45.Удостоверьтесь, что равенство двойного отношения (ABCD) единице означает совпадение точек C и D.

46.Докажите утверждения, касающиеся двойного отношения плоскостей, приведенные на стр. 203.

47.Докажите: если точки P и P′ взаимно обратны относительно окружности и диаметр AB коллинеарен с точками P и P′, то четверка точек A, B, P, P′ гармоническая.

48.Найдите координату четвертой гармонической точки относительно

данных точек P1, P2, P3. Что случится, если P3 станет приближаться к середине отрезка P1P2? (См. стр. 212.)

*49. Попробуйте развить теорию конических сечений, исходя из сфер Данделена. В частности, докажите, что все они, за исключением окружностей, являются геометрическим местом точек, для которых расстояния от данной точки и от данной прямой находятся в постоянном отношении k. При k > 1 получается гипербола, при k = 1 — парабола, при k < 1 — эллипс. Прямая l получается как пересечение плоскости конического сечения с плоскостью того круга, по которому сфера Данделена соприкасается с конусом. (Именно по той причине, что круг приходится особо оговаривать как предельный случай, не совсем удобно принимать указанное свойство в качестве определения конических сечений, что, впрочем, делается довольно часто.)

50. Обсудите следующее положение: «коническое сечение, рассматриваемое одновременно как множество точек и как множество касательных прямых, само себе двойственно» (см. стр. 234).

*51. Попробуйте доказать теорему Дезарга, выполняя предельный переход от пространственной конфигурации, изображенной на рис. 73 (см. стр. 198).

*52. Сколько можно провести в пространстве прямых, пересекающихся с данными четырьмя прямыми? Как их можно характеризовать? (Указание: через три данные прямые проведите гиперболоид; см. стр. 239.)

*53. Возьмем в качестве круга Пуанкаре единичный круг в комплексной плоскости. Пусть z1 и z2 — какие-то две точки внутри этого круга, а w1 и w2 — точки пересечения с окружностью «прямой линии», проходящей

упражнением 8 на стр. 124, имеет действительное значение; докажите это. По определению, его логарифм есть гиперболическое расстояние между z1 и z2.

*54. С помощью инверсии преобразуйте круг Пуанкаре в верхнюю полуплоскость. Исследуйте эту полуплоскость как модель Пуанкаре и непосредственно, исходя из преобразования инверсии.

Топология

55.Проверьте формулу Эйлера на пяти правильных многогранниках

ина других многогранниках. Сделайте схемы соответствующих разверток.

56.При доказательстве формулы Эйлера (стр. 262) нам приходится путем последовательного выполнения двух основных операций редуцировать произвольную сетку треугольников к сетке, состоящей только из одного треугольника, и тогда получаем V − E + F = 3 − 3 + 1 = 1. Почему мы можем быть уверены, что в конечном результате не окажется двух треугольников без общих вершин, и тогда было бы V − E + F = 6 − 6 + 2 = 2? (Указание: можно с самого начала исходить из предположения, что сетка треугольников связная, т. е. что по ребрам (сторонам) можно пройти от любой вершины к любой. Докажите, что это свойство не теряется при выполнении каждой из основных операций.)

57.Мы допустили при редукции сетки треугольников только две основные операции. Но не могло ли бы случиться на какой-то стадии редукции, что у нас окажется треугольник, имеющий только одну общую вершину с прочими треугольниками сетки? (Постройте пример.) В таком случае потребовалась бы еще третья операция: удаление двух вершин, трех ребер

иодной грани. Как это отразилось бы на доказательстве?

58.Можно ли вокруг палки обернуть три раза широкую резиновую ленту так, чтобы она всюду лежала плотно, т. е. не делала бы складок? (Конечно, лента должна где-то сама себя пересекать.)

59.Установите, что после удаления центральной точки круговой диск допускает непрерывное преобразование в самого себя без неподвижных точек.

*60. Преобразование, переводящее каждую точку диска на единицу в определенном, одном и том же, направлении, очевидно, не обладает

неподвижными точками. Конечно, это не есть преобразование в с е б я, так как некоторые точки диска после преобразования окажутся вне диска. Почему в этом случае рассуждение, приведенное на стр. 278 (основанное на преобразовании P → P ), уже не годится?

61.Допустим, что внутренняя сторона тора выкрашена в белую краску,

авнешняя — в черную. Можно ли, сделав маленькую дырочку в поверхности, деформировав ее и затем запечатав дырочку опять, вывернуть тор «наизнанку» — так, чтобы внутренняя сторона была черная, а внешняя — белая?

*62. Установите, что в трехмерном пространстве не существует «проблемы четырех красок»: каково бы ни было число n, всегда можно n тел расположить так, чтобы каждое из них имело общую поверхность с каждым.

*63. На торе или на плоскости с граничной идентификацией (рис. 143) сделайте карту из семи областей, из которых каждая имела бы общую границу с каждой (см. стр. 273).

64.Четырехмерный тетраэдр, изображенный на рис. 118, состоит из пяти точек a, b, c, d, e, причем каждая связана отрезком с каждой. Даже если бы было позволено искривлять эти отрезки, всю фигуру нельзя было бы уместить в плоскости таким образом, чтобы соединяющие линии не пересекались. Другая конфигурация, содержащая девять соединяющих линий, которые нельзя провести без пересечения, составляется из шести точек a, b, c, a′, b′, c′, причем каждая из точек a, b, c должна быть соединена с каждой из точек a′, b′, c′. Проверьте эти утверждения экспериментально и затем попробуйте найти доказательство, основанное на теореме Жордана. (Доказано, что любая конфигурация точек и линий, которую нельзя уместить в плоскости без пересечений, непременно содержит как часть одну из двух указанных здесь конфигураций.)

65.Рассмотрите конфигурацию, составленную из 6 ребер трехмерного тетраэдра с добавлением отрезка, связывающего середины двух противоположных ребер. (Два ребра тетраэдра считаются противоположными, если у них нет общей вершины.) Установите, что эта конфигурация эквивалентна одной из описанных в предыдущем упражнении.

*66. Пусть p, q, r обозначают три горизонтальные черты в букве E. Эта буква после перемещения дает другое E с горизонтальными чертами p′, q′, r′. Можно ли связать p с p′, q с q′, r с r′ линиями, которые не пересекались бы взаимно и не пересекали бы ни одного из двух E?

67.Если мы обходим вокруг квадрата, то меняем направление четыре

раза, всякий раз на 90◦, а всего — на = 360◦. Если обходим вокруг треугольника, то, как известно из элементарной геометрии, и в этом случае общее изменение направления составляет = 360◦.

Докажите, что в случае любого простого замкнутого многоугольника C получается = 360◦. (Указание: разбейте внутренность C на треугольники, затем удаляйте граничные отрезки, как на стр. 264. Обозначим последовательно образующиеся границы через B1, B2, B3, . . . , Bn. Тогда B1 = = C, а Bn есть треугольник. Предполагая, что изменение i соответствует границе Bi, докажите, что i = i−1.)

*68. Пусть C — простой замкнутый контур, обладающий во всех точках касательным вектором с непрерывно меняющимся направлением, и пусть есть общее изменение направления при обходе контура. Докажите, что и в этом случае = 360◦. (Указание: пусть p0, p1, p2, . . . , pn, p0 — точки на контуре C, разбивающие C на маленькие, почти прямолинейные отрезки. Пусть контур C составлен из прямолинейных отрезков p0p1,

p1p2, . . . , pi−1pi и из первоначальных дуг pipi+1, . . . , pnp0. Тогда C0 = C, а Cn есть многоугольник. Докажите, что i = i+1, и воспользуйтесь ре-

зультатом предыдущего упражнения.) Справедливо ли это утверждение для гипоциклоиды, изображенной на рис. 55?

69.Покажите, что если на диаграмме бутылки Клейна (см. стр. 288) все четыре стрелки направить одинаково (по часовой стрелке), то получится поверхность, эквивалентная сфере, у которой односвязный кусок поверхности заменен кросс-кэпом. (Эта поверхность топологически эквивалентна также расширенной проективной плоскости.)

70.Бутылка Клейна, изображенная на рис. 142, может быть разрезана плоскостью на две симметрически расположенные части. Покажите, что каждая из этих частей есть лента Мёбиуса.

*71. В ленте Мёбиуса (см. рис. 139) отождествляются два конца каждого поперечного отрезка. Убедитесь, что результат топологически эквивалентен бутылке Клейна.

Все возможные пары точек на прямолинейном отрезке, взятых в определенном порядке (две точки могут и совпадать), образуют квадрат в следующем смысле. Если точки фиксируются их расстояниями x, y от одного из концов A, то пара чисел (x, y) может быть рассматриваема как прямоугольные координаты некоторой точки квадрата.

Все возможные пары точек на прямолинейном отрезке, взятых независимо от порядка (т. е. пара (x, y) и пара (y, x) рассматриваются как одинаковые), образуют поверхность S, топологически эквивалентную квадрату. Чтобы убедиться в этом, будем считать первой ту точку, которая ближе

кконцу A, если x 6= y. Тогда S состоит из всех пар (x, y), где или x < y или x = y. В плоскости прямоугольных координат получается треугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 1).

*72. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых в определенном порядке: первая — на прямолинейном отрезке, вторая — на окружности? (Ответ: цилиндр).

73.Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых в определенном порядке, причем обе точки берутся на окружности? (Ответ: тор).

*74. Какая поверхность получается из множества пар точек, взятых независимо от порядка на окружности? (Ответ: лента Мёбиуса).

75.Вот правила игры с монетами (одинаковых размеров) на большом круглом столе. A и B кладут монеты на стол по очереди. Монеты не должны касаться друг друга; их можно класть на столе как угодно, лишь бы они не перекрывались и не выступали за край стола. Раз монета положена, двигать ее уже нельзя. Рано или поздно стол покроется монетами таким образом, что для новой монеты места уже не найдется. Выигрывает тот, кто положит монету последним. Докажите, что, как бы ни играл B, если только A начинает игру, он может быть уверен в выигрыше — лишь бы играл правильно.