Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Существует другое, и очень выразительное, определение понятия предела. Если lim an = a и если мы заключим число a в интервал I, то, независимо от малости интервала I все числа an при n, большем´ некоторого целого числа N, будут лежать в интервале I, так что не больше чем конечное число N − 1 членов из числа следующих:

a1, a2, a3, . . . , aN−1,

могут лежать вне интервала I. Если интервал I очень мал, то число N может быть очень большим, скажем, равным 100 или даже 1000 биллионам, и все же лишь конечное число членов последовательности будет лежать вне интервала I, в то время как бесконечное множество оставшихся членов попадет в интервал I. Можно условиться говорить о членах некоторой бесконечной последовательности, что «почти все» они обладают некоторым свойством, если лишь конечное число их (неважно, как оно будет велико) не обладает этим свойством. Так, например, «почти все» целые положительные числа больше 1 000 000 000 000. Используя эту терминологию, мы

видим, что утверждение

lim an = a

эквивалентно следующему утверждению: если I есть любой интервал с центром в точке a, то почти все числа an лежат в этом интервале.

Не мешает мимоходом отметить, что нет необходимости предполагать, что все члены an последовательности непременно имеют различные значения. В частности, совершенно допустимо, чтобы несколько из них, или бесконечное число, или даже, наконец, все числа an были равны предельному значению a. Например, вполне законно рассматривать последовательность a1 = 0, a2 = 0, . . . , an = 0, . . ., и ее предел есть, конечно, 0.

Как уже указано, последовательность an с пределом a называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Если в последовательности an члены возрастают таким образом, что рано или поздно становятся больше любого наперед назначенного числа K, то принято говорить, что an стремится к бесконечности, и тогда пишут: lim an = ∞ или an → ∞. Например, n2 → ∞ и 2n → ∞. Эта терминология удобна, хотя и не вполне последовательна, так как символ ∞ не принято рассматривать как число. Последовательность, стремящаяся к бесконечности, считается расходящейся.

Начинающие часто впадают в ошибку, думая, что переход к пределу при n → ∞ может быть выполнен совершенно просто путем подста-

новки n = ∞ в выражение общего члена an. Например, n1 → 0 потому, что ∞1 = 0. Но символ ∞ не является числом, и его употребление в выра-

жении ∞1 незаконно. Попытка представить себе предел последовательности как «последний» член последовательности an при n = ∞ не попадает

вцель и затемняет правильное понимание существа дела.

2.Монотонные последовательности. В общем определении сходимости и предела на стр. 319 не содержится требований, так или иначе

стесняющих характер приближения сходящейся последовательности a1, a2, a3, . . . к своему пределу a. Простейший тип приближения осуществляется так называемыми монотонными последовательностями, примером которых может служить следующая:

21 , 23 , 43 , . . . , n +n 1 , . . .

Каждый член этой последовательности больше предыдущего. Действи-

Последовательность такого рода, в которой an+1 > an, называется монотонно возрастающей. Аналогично, последовательность, для которой

an > an+1, например такая, как 1, 12 , 13 , . . . , называется монотонно убы-

вающей. Последовательности этих двух типов могут приближаться к своему пределу лишь с одной стороны: «слева» или «справа». В противоположность этому существуют последовательности колеблющиеся, напри-

мер, −1, 21 , − 13 , 14 , . . . Эта последовательность приближается к своему пределу 0 «с обеих сторон» (см. рис. 11, стр. 95).

Рис. 166. Монотонная ограниченная последовательность

Монотонные последовательности обладают особенно простыми свойствами. Такого рода последовательность может не иметь предела и возрастать неограниченно, подобно последовательности

1, 2, 3, 4, . . . , где an = n, или последовательности

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . ,

для которой an есть n-е простое число pn. В этом случае последовательность стремится к бесконечности. Но если члены монотонно возрастающей последовательности остаются ограниченными, т. е. если каждый член меньше некоторой верхней границы B, заранее известной, то интуитивно ясно, что последовательность должна стремиться к некоторому определенному пределу a, не превышающему числа B. Мы сформулируем это положение как принцип монотонных последовательностей: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, сходится к некоторому пределу. (Аналогичное утверждение имеет место относительно монотонно убывающей последовательности, ограниченной снизу.) Замечательно то, что значение предела a не должно быть известным заранее; теорема утверждает, что при выполнении указанных условий предел существует. Конечно, эта теорема справедлива лишь при условии, что предварительно введены иррациональные числа, и в противном случае не всегда бы оправдывалась: в самом деле, в главе II мы видели, что каждое иррациональное число (например, √2) является пределом монотонно возрастающей и ограниченной последовательности рациональных десятичных дробей, возникающих при обрывании некоторой бесконечной десятичной дроби на n-й цифре.

*Хотя принцип монотонных последовательностей интуитивно вполне очевиден

ивыглядит как абсолютная истина, однако не мешает, и даже весьма полезно, привести его вполне строгое доказательство в современном стиле. Чтобы это сделать, надо показать, что этот принцип есть логический вывод из определения действительного числа и определения предела.

Предположим, что числа a1, a2, a3, . . . образуют монотонно возрастающую, но ограниченную последовательность. Мы можем представить члены этой последовательности как бесконечные десятичные дроби

a1 = A1,p1p2p3 . . .

a2 = A2,q1q2q3 . . .

a3 = A3,r1r2r3 . . .

. . . . . . . . . . . . .

где Ai — целые числа, а pi, qi, ri и т. д. — цифры от 0 до 9. Пробежим теперь вниз по столбцу целых чисел A1, A2, A3, . . . Так как последовательность a1, a2, a3, . . .

ограниченна, то эти целые числа не могут возрастать бесконечно, а поскольку она монотонно возрастает, то целые числа последовательности A1, A2, A3, . . .

после достижения некоторого максимального значения должны стать постоянными. Обозначим это максимальное значение символом A и предположим, что оно достигнуто в N0-й строке. Станем теперь пробегать второй столбец p1, q1, r1, . . ., сосредоточивая свое внимание на членах N0-й и последующих строк. Если x1 есть наибольшая из цифр, появившаяся в этом столбце после N0-й строки, то эта цифра будет появляться всегда после своего первого появления, которое, предположим, произошло в N1-й строке, где N1 > N0. (Если бы цифра в этом столбце уменьшилась когда-либо впоследствии, то последовательность a0, a1, a2, . . . не была бы монотонно возрастающей.) Затем мы рассмотрим цифры p2, q2, r2, . . . третьего столбца. Рассуждение, подобное предыдущему, показывает, что начиная с некоторого целого числа N2 > N1 цифры третьего столбца постоянно равны некоторому числу x2. Если мы повторим этот процесс для 4-го, 5-го, . . .

столбцов, то получим цифры x3, x4, x5, . . . и соответствующие целые числа N3, N4, N5, . . . Легко убедиться, что число

a = A1,x1x2x3x4 . . .

есть предел последовательности a1, a2, a3, . . . В самом деле, пусть выбрано e > > 10−m; тогда для всех n > Nm целая часть и первые m цифр после запятой в числах an и a будут совпадать между собой, так что разность |an − a| не может превышать 10−m. Так как это можно сделать для любого e, как бы мало оно ни было, с помощью выбора достаточно большого m, то теорема доказана.

Эту теорему можно также доказать, основываясь на любом из данных в главе II определений действительного числа, например, взяв определение с помощью вложенных интервалов или дедекиндовых сечений. Такие доказательства можно найти в любом курсе анализа.

Принцип монотонных последовательностей мог бы быть применен в главе II при определении суммы и произведения двух положительных бесконечных десятичных дробей:

a = A,a1a2a3 . . .

b = B,b1b2b3 . . .

Два таких выражения не могут быть ни сложены, ни перемножены обычным путем, начиная с правого конца, поскольку нет никакого правого конца. (В качестве примера читатель может попытаться сложить следующие две бесконечные десятичные дроби: 0,333333 . . . и 0,989898 . . ..) Но если символ xn обозначает конечную десятичную дробь, полученную в результате сложения конечных десятичных дробей, возникающих при «обрывании» на n-й цифре десятичных разложений a и b, то последовательность x1, x2, x3, . . . будет монотонно возрастающей и ограниченной (границей может служить, например, число A + B + 2). Отсюда следует, что последовательность x1, x2, x3, . . . имеет предел, и мы можем принять следующее определение:

a + b = lim xn.

Посредством подобного же процесса можно определить и произведение ab. Определения эти можно распространить и на все случаи, когда a и b — какие угодно положительные или отрицательные числа, применяя обычные правила арифметики.

Упражнение. Докажите, что суммой двух вышеуказанных бесконечных десятичных дробей является действительное число

1,323232 . . . = 13199 .

Важность понятия предела в математике заключается в том, что многие числа могут быть определены лишь как пределы (часто как пределы монотонно возрастающих последовательностей). Вот почему поле рациональных чисел, в котором такие пределы могут не существовать, слишком узко для надобностей математики.

3. Число Эйлера e. Число e заняло видное место в математике рядом с архимедовым числом p сразу после опубликования Эйлером в 1748 г. сочинения «Introductio in Analysin Infinitorum». Это число является прекрасной иллюстрацией того, как принцип монотонных последовательностей может служить для определения нового действительного числа. Пользуясь обычной сокращенной записью для произведения n первых целых чисел

n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n, рассмотрим последовательность a1, a2, a3, . . ., где

Члены последовательности an монотонно возрастают, поскольку an+1 получается из an посредством прибавления положительного слагаемо-

причем мы использовали формулу стр. 91 для суммы n первых членов геометрической прогрессии. Но в таком случае в силу принципа монотонных последовательностей an должно стремиться к некоторому пределу при стремлении n к бесконечности; этот предел обозначается буквой e.

326 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ гл. VI

Чтобы выразить тот факт, что e = lim an, мы можем записать e в виде «бесконечного ряда»

Это «тождество» с рядом точек на конце есть просто другой способ для выражения двух следующих утверждений:

Ряд (6) позволяет вычислить e с любой степенью точности. Например,

(Проверьте!) «Ошибка», т. е. разность между этим приближенным и истинным значением e, может быть легко оценена. Для разности e − P мы имеем выражение

Это число так мало, что не может повлиять на девятую цифру, и потому, допуская возможную ошибку в последней цифре вышеприведенного значения, мы получаем для e следующее приближенное равенство с восемью верными цифрами:

e ≈ 2,7182818.

Число e иррационально. Чтобы это доказать, предположим противное: допуская, что e = pq , где p и q — целые числа, и затем, приходя к противоречию, мы

должны будем заключить о нелепости сделанного предположения. Поскольку мы знаем, что 2 < e < 3, e не может быть целым числом, а потому q по меньшей мере должно быть равно 2. Умножим обе части тождества (6) на q! = 1 · 2 · 3 · . . . · q; получим

e · q! = p · 2 · 3 · . . . · (q − 1) =

= [q! + q! + 3 · 4 · . . . · q + 4 · 5 · . . . · q + . . . + (q − 1)q + q + 1] +

В левой части мы, очевидно, имеем целое число. В правой части слагаемое в квадратных скобках также есть целое число. Остаток же в правой части есть поло-

жительное число, меньшее 12 , и значит, не есть целое число. В самом деле, q > 2, а