Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

построения гиперболоида с помощью вращающейся плоскости, и читатель может убедиться в его справедливости и качестве упражнения.

Отметим еще одно замечательное свойство гиперболоида: хотя он содержит два семейства прямых линий, но существование этих прямых не препятствует изгибанию поверхности — не делает ее жесткой. Если устроить модель гиперболоида из стержней, способных свободно вращаться около точек взаимных пересечений, то поверхность в целом может быть непрерывно деформируема, пробегая бесконечное множество различных состояний.

§9. Аксиоматика и нееклидова геометрия

1.Аксиоматический метод. Аксиоматический метод в математике берет свое начало по меньшей мере от Евклида. Было бы совершенно ошибочно полагать, что античная математика развивалась или излагалась исключительно в строго постулативной форме, свойственной «Началам». Но впечатление, произведенное этим сочинением на последующие поколения, было столь велико, что в нем стали искать образцов для всякого строгого доказательства в математике. Иной раз даже философы (например, С п и -

но з а в его «Ethica, more geometrico demonstrata») пытались излагать свои рассуждения в форме теорем, выводимых из определений и аксиом. В современной математике, после периода отхода от евклидовой традиции, продолжавшегося на протяжении XVII и XVIII вв., снова обнаружилось все усиливающееся проникновение аксиоматического метода в различные области. Одним из самых недавних продуктов подобного рода устремления мысли явилось возникновение новой дисциплины — математической логики.

В общих чертах аксиоматическая точка зрения может быть охарактеризована следующим образом. Доказать теорему в некоторой дедуктивной системе — значит установить, что эта теорема есть необходимое логическое следствие из тех или иных ранее доказанных предложений; последние в свою очередь должны быть доказаны и т. д. Процесс математического обоснования сводился бы, таким образом, к невыполнимой задаче «бесконечного спуска», если только в каком-нибудь месте нельзя было бы остановиться. Но в таком случае должно существовать некоторое число утверждений — постулатов, или аксиом, которые принимаются в качестве истинных и доказательство которых не требуется. Из них можно пытаться вывести все другие теоремы путем чисто логической аргументации. Если все факты некоторой научной области приведены в подобного рода логический порядок, а именно такой, что любой из них «выводится» из нескольких отобранных предложений (предпочтительно, чтобы таковые были немногочисленны, просты и легко усваивались), то

тогда есть основание сказать, что область представима в «аксиоматической форме» или «допускает аксиоматизацию». Выбор предложенийаксиом в широкой степени произволен. Однако мало пользы, если наши постулаты недостаточно просты или если их слишком много. Далее, система постулатов должна быть совместимой (непротиворечивой) в том смысле, что никакие две теоремы, которые из них могут быть выведены, не должны содержать взаимных противоречий, и полной в том смысле, что всякая теорема, имеющая место в рассматриваемой области, из них может быть выведена. Желательно также, чтобы система постулатов была независимой, т. е. чтобы ни один из них не был логическим следствием остальных. Вопрос о непротиворечивости и полноте системы аксиом был предметом больших дискуссий. Различные философские взгляды на источники человеческого знания обусловили различные, подчас несовместимые точки зрения на основания математики. Если математические понятия рассматриваются как субстанциальные объекты в сфере «чистой интуиции», независимые от определений и отдельных актов мыслительной деятельности человека, тогда, конечно, в математических результатах не может быть никаких противоречий, поскольку они представляют собой объективно истинные предложения, описывающие реальный мир. Если исходить из такой «кантианской» точки зрения, то никакой проблемы непротиворечивости вообще нет. Но, к сожалению, действительное содержание математики не удается уложить в столь простые философские рамки. Представители современного математического интуиционизма не полагаются на чистую интуицию в ее полном кантовском понимании. Они признают счетную бесконечность в качестве законного детища интуиции, но допускают использование лишь конструктивных свойств. Такие же фундаментальные понятия, как числовой континуум, следует, с их точки зрения, исключить из употребления, пожертвовав при этом важными разделами существующей математики (а то, что после этого остается, оказывается чрезвычайно сложным, причем без особой надежды на упрощение).

Совершенно другую позицию заняли «формалисты». Они не приписывают математическим понятиям никакой интуитивной реальности и не утверждают, что аксиомы выражают какие-то объективные истины, относящиеся к объектам чистой интуиции; они (формалисты) заботятся лишь о формальной логической правильности процесса рассуждений, базирующихся на постулатах. Позиция эта обладает безусловными преимуществами по сравнению с интуиционистской, так как она предоставляет математике полную свободу действий, нужную как для теории, так и для приложений. Но она вместе с тем вынуждает формалистов доказывать, что принятые ими аксиомы, выступающие теперь в качестве продукта свободного творчества человеческого интеллекта, не могут привести к

тика привносит в математику недедуктивные и иррациональные моменты, уподобляющие ее музыке или живописи.

Со времен Евклида геометрия неизменно была прототипом аксиоматизированной дисциплины. На протяжении столетий система евклидовых постулатов была предметом напряженного изучения. Но только сравнительно недавно стало совершенно ясно, что эти постулаты должны быть изменены и дополнены, для того чтобы из них могла быть выведена дедуктивно совокупность предложений элементарной геометрии. Например, в конце прошлого столетия П а ш обнаружил, что при рассмотрении порядка расположения точек на прямой, т. е. соотношений, характеризуемых словом «между», требуется особый постулат. Паш выдвинул в качестве постулата следующее предложение: если прямая пересекает сторону треугольника в точке, не являющейся вершиной, то она пересекается и еще с одной стороной треугольника. (Невнимательное отношение к этой детали приводит к ряду явных парадоксов: абсурдные следствия — например, общеизвестное «доказательство» того, что все треугольники равнобедренные — как будто бы строго «выводятся» из евклидовых аксиом. Этот «вывод» основывается на неточном выполнении чертежа, причем некоторые прямые пересекаются вне треугольника или круга, тогда как на самом деле должны пересечься внутри.)

Всвоей знаменитой книге «Grundlagen der Geometrie» (первое издание

еепоявилось в 1899 г.) Ги л ь б е р т дал вполне удовлетворительно построенную систему аксиом геометрии и вместе с тем произвел исчерпывающий анализ их взаимной независимости, их непротиворечивости и полноты.

Во всякую систему аксиом неизбежно входят некоторые неопределимые понятия, например, «точка» или «прямая» в геометрии. Их «значение» (или связь с объектами реального мира) для математики несущественно. Эти понятия должны быть принимаемы чисто абстрактно, и их математические свойства в пределах дедуктивной системы всецело вытекают из тех соотношений между ними, которые утверждаются в аксиомах. Так, в проективной геометрии естественно начать с основных понятий «точка» и «прямая» и отношения «инцидентности» и сформулировать две двойственные аксиомы: «каждые две различные точки инцидентны с одной и только одной прямой» и «каждые две различные прямые инцидентны с одной и только одной точкой». В аксиоматической системе проективной геометрии двойственность в формулировке аксиом обусловливает двойственность в самом построении. Всякой теореме, содержащей в своей формулировке и в доказательстве только двойственные элементы, непременно соответствует двойственная теорема. В самом деле, доказательство исходной теоремы заключается в последовательном применении некоторых аксиом, и применение в том же порядке двойственных аксиом составит доказательство двойственной теоремы.

Совокупность аксиом геометрии составляет неявное определение всех «неопределяемых» геометрических понятий: «точка», «прямая», «инцидентность» и т. д. Для применений геометрии важно, чтобы основные понятия и аксиомы геометрии находились в хорошем соответствии с доступными физической проверке утверждениями, касающимися «реальных», осязаемых предметов. Физическая реальность, стоящая за понятием «точки», есть какой-то очень маленький объект, вроде небольшого пятнышка, получаемого на бумаге при прикосновении карандаша, и таким же образом «прямая» представляет собой абстракцию туго натянутой нити или светового луча. Свойства этих физических точек и прямых, как можно установить путем проверки, более или менее соответствуют формальным аксиомам геометрии. Легко себе представить, что более точно поставленные эксперименты могут вызвать необходимость в изменении аксиом, если мы хотим, чтобы они давали адекватное описание физических явлений. Напротив, если бы существовало заметное отклонение формальных аксиом от физических свойств предметов, то геометрия, построенная на этих аксиомах, представляла бы ограниченный интерес. Таким образом, даже с точки зрения формалиста, есть нечто, что оказывает большее влияние на направления математической мысли, нежели человеческий разум.

2. Гиперболическая неевклидова геометрия. В системе Евклида имеется одна аксиома, относительно которой — на основе сопоставления с эмпирическими данными, с привлечением туго натянутых нитей или световых лучей, — никак нельзя сказать, является ли она «истинной». Это знаменитый постулат о параллельных, утверждающий, что через данную точку, расположенную вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. Своеобразной особенностью этой аксиомы является то, что содержащееся в ней утверждение касается свойств прямой на всем ее протяжении, причем прямая предполагается неограниченно продолженной в обе стороны: сказать, что две прямые параллельны, — значит утверждать, что у них нельзя обнаружить общей точки, как бы далеко их ни продолжать. Вполне очевидно, что в пределах некоторой ограниченной части плоскости, как бы эта часть ни была обширна, напротив, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающихся с данной прямой. Так как максимально возможная длина линейки, нити, даже светового луча, изучаемого с помощью телескопа, непременно конечна, и так как внутри круга конечного радиуса существует много прямых, проходящих через данную точку и в пределах круга не встречающихся с данной прямой, то отсюда следует, что постулат Евклида никогда не может быть проверен экспериментально. Все прочие аксиомы Евклида имеют конечный характер, т. е. касаются конечных отрезков прямых или конечных частей рассматриваемых плоских фигур. Тот

факт, что аксиома параллельности не допускает эмпирической проверки, выдвигает на первый план вопрос о том, является ли она независимой от прочих аксиом. Если бы она была неизбежным логическим следствием других аксиом, то тогда нужно было бы просто вычеркнуть ее из списка аксиом и доказывать как теорему с помощью иных евклидовых аксиом. Много столетий математики пытались найти такое доказательство; этому способствовало широко распространенное среди всех, кто занимался геометрией, смутное сознание того, что аксиома параллельности по своему характеру существенно отличается от остальных, что ей недостает той убеждающей наглядности, которой, казалось бы, должно было обладать всякое геометрическое предложение, возводимое в ранг аксиомы.

Одна из первых попыток в указанном направлении была сделана в IV столетии н. э. комментатором Евклида П р о к л о м, который, чтобы избежать необходимости вводить специальный постулат о параллельных прямых, ввел определение, согласно которому прямая, параллельная данной прямой, есть геометрическое место точек, расположенных от нее на одном и том же заданном расстоянии. При этом Прокл упустил из виду, что таким образом трудность не устраняется, а только перемещается, так как при его ходе мыслей остается недоказанным, что названное геометрическое место действительно есть прямая линия. Так как последнего Прокл доказать не мог, то именно это предложение ему пришлось бы принять в качестве аксиомы параллельности, и ничто не было бы выиграно, так как мы можем легко установить, что обе упомянутые аксиомы эквивалентны между собой. С а к к е р и (1667–1733), а затем Л а м б е р т (1728–1777) делали попытки доказать аксиому параллельности косвенным путем, допуская противоположное утверждение и выводя из него абсурдные следствия. Но выведенные ими следствия оказались далеко не абсурдными: это были теоремы неевклидовой геометрии, получившей позднее дальнейшее развитие. Если бы названные лица рассматривали свои результаты не как нелепости, а как утверждения, свободные от внутренних противоречий, то не кому иному, как им, принадлежала бы заслуга открытия неевклидовой геометрии.

Но в те времена любую геометрическую систему, не находящуюся в абсолютном согласии с евклидовой, непременно стали бы рассматривать как очевидную нелепость. Кант, наиболее влиятельный философ той эпохи, выразил свое отношение к вопросу, утверждая, что аксиомы Евклида — не что иное, как неизбежные формы человеческого мышления, чем, по его мнению, и объясняется их объективная значимость по отношению к «реальному» пространству. Эта вера в аксиомы Евклида, как в незыблемые истины, существующие в сфере чистой интуиции, была одним из главных догматов кантовой философии. Однако с течением времени ни привычные навыки мышления, ни влияние философских авторитетов

не смогли подавить растущего убеждения, что неизменные неудачи в поисках доказательства аксиомы параллельности имели своей причиной не столько недостаток изобретательности со стороны геометров, сколько тот основной факт, что этот постулат на самом деле независим от других. (Подобным же образом неудачи в решении при помощи радикалов общего уравнения пятой степени мало-помалу привели к подозрению, позднее оправдавшемуся, что такое решение невозможно.) Венгерский математик Б о й я и (1802–1860) и русский математик Л о б а ч е в с к и й (1793–1856) положили конец сомнениям, построив во всех деталях геометрическую систему, в которой аксиома параллельности была отвергнута. Когда молодой гениальный энтузиаст Бойяи послал свою работу «королю математики» Гауссу, от которого с нетерпением ждал поддержки, то получил в ответ уведомление, что самим Гауссом открытие было сделано раньше, но он воздержался в свое время от публикации результатов, опасаясь слишком шумных обсуждений.

Посмотрим, что же означает независимость аксиомы параллельности. Эту независимость следует понимать в том смысле, что возможно свободное от внутренних противоречий построение «геометрических» предложений о точках, прямых и т. д., исходя из системы аксиом, в которой аксиома параллельности заменена противоположной. Такое построение называется неевклидовой геометрией. Нужно было интеллектуальное бесстрашие Гаусса, Бойяи и Лобачевского, чтобы осознать, что геометрия, основанная не на евклидовой системе аксиом, может быть абсолютно непротиворечивой.

Чтобы убедиться в непротиворечивости новой геометрии, нет надобности развивать во всех подробностях многочисленные теоремы неевклидовой геометрии, как это делали Бойяи и Лобачевский. Мы умеем теперь строить простые «модели» такой геометрии, удовлетворяющие всем аксиомам Евклида, кроме аксиомы параллельности. Простейшая модель была указана Феликсом К л е й н о м, работы которого в этой области стимулировались идеями английского геометра К э л и (1821–1895). В такой модели через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести бесчисленное множество «прямых», «параллельных» данной прямой. Подобного рода геометрия называется геометрией Бойяи—Лобачевского, или «гиперболической» геометрией. (Основание для последнего наименования будет приведено на стр. 252.)

При построении модели Клейна сначала рассматриваются объекты обыкновенной евклидовой геометрии; и затем некоторые из объектов и отношений между ними переименовываются таким образом, что для их описания оказывается пригодной уже неевклидова геометрия. Эта последняя, тем самым, не в меньшей мере непротиворечива, чем первоначальная евклидова геометрия, так как излагается (если посмотреть

§ 9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ 247

с другой точки зрения и описывать другими словами) как совокупность фактов обыкновенной евклидовой геометрии. С этой моделью можно легко освоиться, привлекая кое-какие понятия из проективной геометрии.

При проективном преобразовании одной плоскости на другую или на саму себя (можно после отображения совместить обе плоскости) окружность, вообще говоря, переходит в некоторое коническое сечение. Но можно легко показать (доказательства мы не приводим), что существует бесчисленное множество таких проективных преобразований плоскости на саму себя, при которых данный круг, вместе со всеми заключенными внутри точками, переходит сам в себя. При таких преобразованиях внутренние точки, как и точки контура, меняют, вообще говоря, свои места, но внутренние точки остаются внутренними, а точки контура остаются на контуре. (Центр круга, как легко убедиться, можно перевести в любую наперед заданную внутреннюю точку.) Рассмотрим совокупность всех таких преобразований. Конечно, они не будут оставлять очертания фигур неизменными и потому не являются движениями в обычном смысле. Но мы теперь сделаем решающий шаг и назовем их «неевклидовыми движениями» в той геометрии, которую строим. Посредством этих «движений» можно дальше определить и «равенство»: две фигуры называются равными, если существует «неевклидово движение», переводящее одну фигуру в другую.

Перейдем теперь к описанию упомянутой выше клейновой модели гиперболической геометрии. «Плоскость» состоит только из внутренних точек круга, внешние точки просто отбрасываются. Каждая внутренняя точка называется неевклидовой «точкой», каждая хорда круга называется неевклидовой «прямой»; «движения» и «равенства» уже определены выше; проведение «прямой» через две «точки» и нахождение «точки» пересечения двух

«прямых» совершаются, как в евклидовой геометрии. Легко убедиться, что новая конструкция удовлетворяет всем постулатам евклидовой геометрии, с единственным исключением — постулатом о параллельных прямых. Что этот постулат здесь не выполняется, ясно видно из того, что через «точку», не лежащую на «прямой», можно провести бесчисленное множество

«прямых», не имеющих общей «точки» с данной прямой. Данная «прямая» есть евклидова хорда, тогда как в качестве второй «прямой» может быть взята любая из хорд, проходящих через данную «точку» и не пересекающих первой «прямой» внутри круга. Описанная простая модель совершенно достаточна для того, чтобы покончить с основным вопросом, породившим неевклидову геометрию: она показывает, что аксиома параллельности не

выводится из остальных аксиом евклидовой геометрии. Действительно, если бы она выводилась из них, то тогда была бы верной теоремой и по отношению к модели Клейна, а мы видим, что это не так.

Строго говоря, предыдущая аргументация построена на допущении, что модель Клейна непротиворечива, т. е. что нельзя доказать вместе с некоторым утверждением также и противоположного утверждения. Но, во всяком случае, геометрия модели Клейна непротиворечива в такой же степени, как и обыкновенная евклидова геометрия, так как теоремы о «точках» и «прямых» и т. д. модели Клейна представляют собой только своеобразно сформулированные теоремы евклидовой геометрии. Удовлетворительного доказательства непротиворечивости аксиом евклидовой геометрии дано не было, если не считать сведения к аналитической геометрии и в конечном счете к числовому континууму; а непротиворечивость концепции континуума — также вопрос открытый 1.

* Мы привлечем внимание читателя еще к одной детали (впрочем, стоящей за пределами непосредственно поставленных нами задач) — именно, к определению неевклидова «расстояния» в модели Клейна. Это «расстояние» должно быть инвариантно относительно неевклидовых «движений», так как обыкновенное движение не изменяет обыкновенного расстояния. Мы знаем, что двойное отношение есть инвариант проектив-

S ного преобразования. Естественно возникает мысль о том, чтобы при определении «рассто-

Qяния» между двумя различными точками P и Q внутри нашего круга воспользоваться двойным

1Подробнее об исследованиях в этой области см. упомянутую на стр. 115 книгу А. Френкеля и И. Бар-Хиллела, содержащую также обширную библиографию. — Прим. ред.

§ 9 АКСИОМАТИКА И НЕЕКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ 249

Свойство (1) позволяет определить «расстояние» PQ как логарифм двойного отношения (а не как само двойное отношение), с таким расчетом, чтобы обеспечить аддитивность расстояния: PQ = неевклидово «расстояние» PQ = log(OSQP). Это «расстояние» есть положительное число, так как (OSQP) > 1 при P 6= Q.

Из основного свойства логарифма (см. стр. 472) следует, в силу (1), что PQ + QR = PR. По какому основанию брать логарифмы — несущественно, так как при изменении основания меняется лишь единица измерения. Между прочим, если одна из точек, скажем Q, приближается к окружности, то неевклидово расстояние PQ неограниченно возрастает. Это означает, что «прямая» нашей неевклидовой модели имеет бесконечную неевклидову «длину», хотя в евклидовом смысле представляет собой конечный отрезок.

3. Геометрия и реальность. Модель Клейна показывает, что гиперболическая геометрия как формально-дедуктивное построение непротиворечива в такой же степени, как и классическая евклидова геометрия. Возникает вопрос: которой же из двух геометрий следует отдать предпочтение, когда речь идет об описании геометрических отношений, существующих в физическом мире? Как мы уже отметили, эксперимент никоим образом не может решить, проходит ли через данную точку только одна прямая, параллельная данной прямой, или бесчисленное множество. Однако в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180◦, тогда как в гиперболической геометрии, как можно показать, она меньше 180◦. Гаусс предпринял опытное исследование вопроса о том, как обстоит дело с суммой углов треугольника с физической точки зрения: он очень тщательно измерил углы в треугольнике, образованном тремя достаточно удаленными друг от друга горными пиками, и в пределах возможных ошибок измерений сумма углов оказалась равной 180◦. Если бы результат был заметно меньше 180◦, то отсюда следовало бы, что гиперболическая геометрия лучше подходит для описания внешнего мира. Но эксперимент не решил ничего, так как для небольших треугольников со сторонами длиной всего в несколько миль отклонение от 180◦, которое предвидит гиперболическая геометрия, могло быть столь ничтожным, что гауссовы инструменты его не обнаружили. Таким образом, не дав решающих результатов, эксперимент все же показал, что евклидова и гиперболическая геометрии, различающиеся только в очень обширных частях пространства, для сравнительно малых фигур оказываются практически одинаково пригодными для употребления. Поэтому если рассматриваются только локальные свойства пространства, то выбор между двумя геометриями остается делать лишь по принципу простоты. Но так как работать с евклидовой геометрией гораздо легче, чем с гиперболической, то мы и пользуемся именно ею, покуда