Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

140 АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ гл. II

В терминах алгебры множеств силлогизм «Barbara», обозначающий, что «если всякое A есть B и всякое B есть C, то всякое A есть C», принимает простой вид:

3) Если A B и B C, то A C.

Аналогично «закон противоречия», утверждающий, что «объект не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством», записывается в виде:

20)AA′ = ,

а«закон исключенного третьего», говорящий, что «объект должен или обладать, или не обладать некоторым свойством», записывается:

19)A + A′ = I.

Таким образом, та часть логики, которая выразима в терминах символов , +, · и ′, может трактоваться как формальная алгебраическая система, подчиненная законам 1)–26). На основе слияния логического анализа математики и математического анализа логики создалась новая дисциплина — математическая логика, которая в настоящее время находится в процессе бурного развития.

С аксиоматической точки зрения заслуживает внимания тот замечательный факт, что утверждения 1)–26), вместе со всеми прочими теоремами алгебры множеств, могут быть логически выведены из следующих трех равенств:

27)A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A′ + B′)′ + (A′ + B)′ = A.

Отсюда следует, что алгебра множеств может быть построена как чисто дедуктивная теория, вроде евклидовой геометрии, на базе этих трех положений, принимаемых в качестве аксиом. Если эти аксиомы приняты, то операция AB и отношение A B определяются в терминах A + B и A′:

AB обозначает множество (A′ + B′)′,

A B обозначает, что A + B = B.

Совершенно иного рода пример математической системы, в которой выполняются все формальные законы алгебры множеств, дается системой восьми чисел 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: здесь a + b обозначает, по определению, общее наименьшее кратное a и b, ab — общий наибольший делитель a

и b, a b — утверждение «b делится на a» и a′ — число 30a . Существование

таких примеров повлекло за собой изучение общих алгебраических систем, удовлетворяющих законам 27). Такие системы называются «булевыми алгебрами» — в честь Джорджа Б у л я (1815–1864), английского математика и логика, книга которого «An investigation of the laws of thought» (Исследование законов мышления) появилась в 1854 г.

3. Одно из применений к теории вероятностей. Алгебра множеств имеет ближайшее отношение к теории вероятностей и позволяет взглянуть на нее в новом свете. Рассмотрим простейший пример: представим себе эксперимент с конечным числом возможных исходов, которые все мыслятся как «равновозможные». Эксперимент может, например, заключаться в том, что мы вытягиваем наугад карту из хорошо перетасованной полной колоды. Если множество всех исходов эксперимента обозначим через I, а A обозначает какое-нибудь подмножество I, то вероятность того, что исход эксперимента окажется принадлежащим к подмножеству A, определяется как отношение

Если условимся число элементов в каком-нибудь множестве A обозначать через n(A), то последнему равенству можно придать вид

В нашем примере, допуская, что A есть подмножество треф, мы получим n(A) = 13,

n(I) = 52 и p(A) = 1352 = 14 .

Идеи алгебры множеств обнаруживаются при вычислении вероятностей тогда, когда приходится, зная вероятности одних множеств, вычислять вероятности других. Например, зная вероятности p(A), p(B) и p(AB), можно вычислить вероятность p(A + B):

Доказать это не составит труда. Мы имеем

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

так как элементы, содержащиеся одновременно в A и в B, т. е. элементы AB, считаются дважды при вычислении суммы n(A) + n(B), и, значит, нужно вычесть n(AB) из этой суммы, чтобы подсчет n(A + B) был произведен правильно. Деля затем обе части равенства на n(I), мы получаем соотношение (2).

Более интересная формула получается, если речь идет о трех множествах A, B, C из I. Пользуясь соотношением (2), мы имеем

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Закон (12) из предыдущего пункта дает нам (A + B)C = AC + BC. Отсюда следует: p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Подставляя в полученное раньше соотношение значение p[(A + B)C] и значение p(A + B), взятое из (2), мы приходим к нужной нам формуле:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

В качестве примера рассмотрим следующий эксперимент. Три цифры 1, 2, 3 пишутся в каком попало порядке. Какова вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем (в смысле нумерации) месте? Пусть A есть множество перестановок, в которых цифра 1 стоит на первом месте, B —

множество перестановок, в которых цифра 2 стоит на втором месте, C — множество перестановок, в которых цифра 3 стоит на третьем месте. Нам нужно вычислить p(A + B + C). Ясно, что

p(A) = p(B) = p(C) = 26 = 13 ;

действительно, если какая-нибудь цифра стоит на надлежащем месте, то имеются две возможности переставить остальные две цифры из общего числа 3 · 2 · 1 = 6 возможных перестановок трех цифр. Далее,

так как в каждом из этих случаев возникает только одна возможность. И тогда формула (3) дает нам

p(A + B + C) = 3 · 16 − 3 · 16 + 16 = 1 − 12 + 16 = 0,6666 . . .

Упражнение. Выведите соответствующую формулу для p(A + B + C + D) и примените ее к эксперименту, в котором будут участвовать 4 цифры. Соответству-

ющая вероятность равна 58 = 0,6250.

Общая формула для объединения n множеств имеет вид

где символы P, P, P, . . . , P обозначают суммирование по всем возможным

комбинациям, содержащим одну, две, три, . . . , (n − 1) букв из числа A1, A2, . . . , An. Эта формула может быть установлена посредством математической индукции — точно так же, как формула (3) была выведена из формулы (2).

Из формулы (4) можно заключить, что если n цифр 1, 2, 3, . . . , n написаны в каком угодно порядке, то вероятность того, что по крайней мере одна из цифр окажется на надлежащем месте, равна

причем перед последним членом стоит знак + или −, смотря по тому, является ли n четным или нечетным. В частности, при n = 5 эта вероятность равна

p5 = 1 − 2!1 + 3!1 − 4!1 + 5!1 = 1930 = 0,6333 . . .

В главе VIII мы увидим, что, когда n стремится к бесконечности, выражение

Sn = 2!1 − 3!1 + 4!1 − . . . ± n1!

стремится к пределу 1e , значение которого, с пятью знаками после запятой, рав-

но 0,36788. Так как из формулы (5) видно, что pn = 1 − Sn, то отсюда следует, что при n → ∞

Г Л А В А III

Геометрические построения. Алгебра числовых полей

Введение

Задачи на построение всегда были одним из самых любимых предметов геометрических занятий. С помощью только циркуля и линейки, как читатель знает из школьного курса, можно выполнить очень много разнообразных построений: разделить пополам отрезок или угол, провести через точку перпендикуляр к данной прямой, вписать в данный круг правильный шестиугольник и т. д. Во всех этих построениях линейка служит только для того, чтобы проводить прямую линию, но не для того, чтобы измерять или откладывать расстояния. Традиционное ограничение — пользоваться только циркулем и линейкой — восходит к глубокой древности, хотя на практике сами греки без колебания прибегали и к другим инструментам.

Одной из самых знаменитых, классических задач на построение является задача А п о л л о н и я (около 220 года до нашей эры): даны три круга, требуется провести четвертый, касательный к трем данным. В частности, не исключено, что один или большее число из данных кругов «вырождаются» в точку или прямую («круг» с «нулевым» или с «бесконечным» радиусом). Например, может идти речь о проведении круга, касательного к двум данным прямым и проходящего через данную точку. Если такого рода специальные случаи не связаны с затруднениями, то в общей постановке задача принадлежит к числу весьма трудных.

Из всех задач на построение задача построения (с помощью циркуля и линейки) правильного n-угольника представляет, может быть, наибольший интерес. Для ряда значений n, например, n = 3, 4, 5, 6, решение было известно уже в древности и излагается в школьной геометрии. Но в случае правильного семиугольника (n = 7) построение, как было доказано, невозможно. Вот еще три классические проблемы, решение которых разыскивалось долго и безрезультатно: разделить на три равные части данный произвольный угол, удвоить данный куб (т. е. построить сторону куба, объем которого вдвое больше, чем объем куба, сторона которого задана) и выполнить «квадратуру» круга (т. е. построить квадрат, имеющий такую

же площадь, как и данный круг). И в этих проблемах предполагается, что, кроме циркуля и линейки, другие инструменты не применяются.

Проблемы подобного рода, не поддающиеся решению, привели к одному из самых замечательных и оригинальных направлений математической мысли. После нескольких столетий безуспешных поисков математики утвердились в подозрении, что найти решение невозможно. На очередь встал соблазнительный по своей трудности новый вопрос: как можно доказать, что та или иная проблема не может быть разрешена?

В области алгебры тот же вопрос возник в связи с проблемой решения уравнений 5-й и более высоких степеней. В течение XVI столетия было установлено, что алгебраические уравнения степени 3 и 4 решаются посредством той же процедуры, что и квадратные. Эта процедура может быть, вообще говоря, охарактеризована следующим образом: решения, или «корни», уравнения представляются в виде выражений, составленных из коэффициентов уравнения и содержащих операции, из которых каждая есть или рациональная — сложение, вычитание, умножение, деление, — или же извлечение корня — квадратного, кубического или четвертой степени. Говорят короче, что алгебраическое уравнение не выше четвертой степени «решается в радикалах» (radix по-латыни означает «корень»). Казалось как нельзя более естественным пытаться обобщить эту процедуру на уравнения 5-й и более высоких степеней, пользуясь, конечно, и радикалами соответствующих степеней. Но ни одна из попыток не увенчалась успехом. В XVIII столетии были случаи, когда даже выдающиеся математики впадали в заблуждение, предполагая, что решение ими найдено. Но только в начале XIX столетия у итальянца Р у ф ф и н и (1765– 1822) и у гениального норвежского математика Н. Г. А б е л я (1802–1829) возникла поистине революционная для того времени идея — доказать невозможность решения в радикалах общего алгебраического уравнения степени n. Нужно понимать совершенно отчетливо, что речь не идет о существовании решения алгебраического уравнения степени n: существование решений было строго доказано Гауссом в его докторской диссертации в 1799 г. Таким образом, уже не было никаких сомнений в том, что каждое алгебраическое уравнение действительно имеет корни, в особенности после того, как были указаны приближенные методы для их вычисления с какой угодно степенью точности. «Численное» решение алгебраических уравнений, имеющее громадное значение в приложениях, прекрасно разработано. Проблема Абеля и Руффини была поставлена совсем иначе: может ли быть найдено решение с помощью одних только рациональных операций и операций извлечения корней? Именно стремление добиться полной ясности в этом вопросе послужило толчком для великолепного развития современной алгебры и теории групп, начатого работами Руффини, Абеля и Э. Га л у а (1811–1832).

Доказательство невозможности некоторых геометрических построений оказывается примером, иллюстрирующим направление в алгебре, о котором только что было сказано. Именно оперируя алгебраическими понятиями, мы сможем установить в этой главе невозможность и трисекции угла, и построения правильного семиугольника, и удвоения куба с помощью одних только циркуля и линейки. (Проблема квадратуры круга значительно сложнее; см. по этому поводу стр. 167.) Подходя ближе к интересующему нас вопросу, мы сосредоточимся не на его отрицательной стороне — невозможности выполнения тех или иных построений, а придадим ему положительный характер: как могут быть полностью охарактеризованы задачи на построение, допускающие решение? После того как ответ на этот вопрос будет найден, не составит труда установить, что рассматриваемые нами проблемы не входят в эту категорию.

В возрасте 17 лет Гаусс исследовал возможность построения правильных «p-угольников», где p — простое число. В то время были известны построения только для случаев p = 3 и p = 5. Гаусс установил, что построения возможны в том и только том случае, если p есть простое «число

Ферма»:

p = 22n + 1.

Первые числа Ферма суть 3, 5, 17, 257, 65537 (см. стр. 50). Это открытие произвело на Гаусса такое впечатление, что он сразу отказался от филологической карьеры и решил посвятить свою жизнь математике и ее приложениям. Он и позднее смотрел на это первое из своих открытий с особенной гордостью. После смерти Гаусса в Гёттингене была воздвигнута его бронзовая статуя, с пьедесталом в форме правильного 17-угольника. Трудно придумать более достойную почесть.

Когда речь идет о геометрических построениях, никак не следует упускать из виду, что проблема заключается не в практическом вычерчивании фигур с известной степенью аккуратности, а в том, может ли построение быть выполнено теоретически, предполагая, что наши инструменты дают абсолютную точность. Гаусс доказал именно принципиальную возможность рассмотренных им построений. Его теория не касается того, как выполнить построение на самом деле, какие следует использовать приемы, чтобы упростить процедуру или даже уменьшить число необходимых конструктивных операций. Все это — вопросы не столь высокого теоретического значения. С практической точки зрения, такие построения не дают столь удовлетворительного результата, какой может быть достигнут посредством хорошего транспортира. Вероятно, именно непониманием теоретического характера вопроса о геометрических построениях, с одной стороны, а с другой — упорным нежеланием считаться с прекрасно установленными научными фактами нужно объяснять то обстоятельство, что еще продолжают существовать нескончаемые вереницы «трисекторов» и

«квадратурщиков». Тем из них, которые способны понимать элементарную математику, можно порекомендовать заняться изучением этой главы.

В заключение отметим, что в известном отношении наша постановка вопроса о геометрических построениях представляется искусственной. Циркуль и линейка, конечно, простейшие из геометрических инструментов, но требование ограничиваться именно этими инструментами при построениях не вытекает из существа самой геометрии. Как уже давным-давно установили греческие математики, некоторые проблемы — скажем, удвоение куба — могут быть решены, например, с привлечением угольника (с прямым углом); можно изобрести всякие другие инструменты, помимо циркуля, которые позволили бы чертить эллипсы, гиперболы и более сложные кривые: тем самым область фигур, допускающих построение, была бы значительно расширена. Однако мы будем придерживаться прочно установившегося понимания выполнимости геометрических построений, подразумевая, что разрешено пользоваться только циркулем и линейкой.

ЧАСТЬ 1

Доказательства невозможности и алгебра

§1. Основные геометрические построения

1.Построение полей и извлечение квадратных корней. В порядке развития общих идей мы начнем с рассмотрения небольшого числа классических построений. Более углубленное изучение возможности геометрических построений неизбежно связано с переводом геометрической задачи на язык алгебры. Всякая проблема геометрического построения может быть схематизирована следующим образом: дано некоторое число отрезков, скажем, a, b, c, . . .; требуется построить один или несколько отрезков x, y, . . . Даже если на первый взгляд проблема имеет совсем иной вид, ее всегда можно переформулировать таким образом, чтобы она включилась в указанную схему. Искомые отрезки фигурируют или в виде сторон треугольника, который требуется построить, или в виде радиусов кругов, или как прямоугольные координаты каких-то искомых точек (см., например, стр. 151). Предположим для простоты, что требуется построить какой-то отрезок x. В таком случае геометрическое построение приводит к решению алгебраической задачи: установить соотношение (в форме уравнения) между искомой величиной x и данными величинами a, b, c, . . .; затем, решая это уравнение, найти формулу для величины x и, наконец, выяснить, можно ли свести вычисление x к таким алгебраическим процедурам, которые соответствуют построениям, выполнимым с помощью

отрезок OD = 1. Через D проводим прямую, параллельную AB; пусть она пересекает OA в точке C. Тогда будем иметь: OC = ab . Построение ab

показано на рис. 30; здесь AD — прямая, проходящая через A и параллельная BC.

Вместо того чтобы строить √5 тем методом, который указан на рис. 31, мы можем построить гипотенузу прямоугольного треугольника со сторонами 1 и 2. Затем нужно отнять единичный отрезок и то, что получится, разделить пополам.

Отношение OBAB в рассмотренной задаче было названо «золотым», так

как, по мнению греческих математиков, прямоугольник, стороны которого находятся в этом отношении, эстетически особенно приятен для глаза. Значение отношения приблизительно равно 1,62.

Из всех правильных многоугольников легче всего построить шестиугольник. Так как длина стороны такого шестиугольника, вписанного в