Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

как бы стенографирует некоторую точную мысль, выражаемую, по неизбежности, длинным рядом слов:

«1 равна пределу (при n, стремящемся к бесконечности) выражения

Говоря о пределах, рассмотрим еще пример. Пусть перед нами имеется бесконечная последовательность различных степеней числа q:

q, q2, q3, q4, . . . , qn, . . .

Если −1 < q < 1, например, q = 13 или q = − 45 , то qn стремится к нулю

при неограниченном возрастании n. При этом если q — отрицательное число, то знаки qn чередуются: за + следует −, и обратно; таким обра-

Мы утверждаем, что предел qn, когда n стремится к бесконечности,

равен нулю, или, символически,

(Между прочим, если q > 1 или q < −1, то qn уже не стремится к нулю, а неограниченно возрастает по абсолютной величине.)

Приведем строгое доказательство утверждения (7). Мы видели на стр. 40, что при любом целом положительном значении n и при условии p > −1 имеет место неравенство (1 + p)n > 1 + np. Пусть q — какое-то

положительное число, меньшее единицы, например, q = 109 . Тогда можно положить q = 1 +1 p , где p > 0. Отсюда следует

q1n = (1 + p)n > 1 + np > np, или же (см. определение (4) на стр. 80)

0 < qn < p1 · n1 .

Значит, qn заключено между постоянным числом 0 и числом p1 · n1 , которое

стремится к нулю при неограниченном возрастании n (так как p — постоянное). После этого ясно, что qn → 0. Если q — отрицательное число, то мы

92 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

4) Предполагая q по абсолютной величине меньшим чем 1, докажите, что

1 + 2q + 3q2 + 4q3 + . . . = 1 2 . (Указание: воспользуйтесь результатом

(1 − q)

упражнения 3 на стр. 42.)

5)Каков предел бесконечного ряда

1 − 2q + 3q2 − 4q3 + . . . ?

6)Вычислите пределы выражений

(Указание: воспользуйтесь результатами, полученными на стр. 37–39.)

4. Рациональные числа и периодические десятичные дроби. Такие рациональные числа pq , которые не могут быть представлены в виде конеч-

ных десятичных дробей, разлагаются в бесконечные десятичные дроби посредством обыкновенного приема «длинного» деления. На каждой ступени этого процесса возникает остаток, не равный нулю, иначе дробь оказалась бы конечной. Различные возникающие остатки могут быть только целыми числами от 1 до q − 1, так что имеется всего q − 1 возможностей для значений этих остатков. Это значит, что после q делений некоторый остаток k появится во второй раз. Но тогда все следующие остатки также будут повторяться в том же порядке, в каком они уже появлялись после первого возникновения остатка k. Таким образом, десятичное разложение всякого рационального числа обладает свойством периодичности; после некоторого числа десятичных знаков одна и та же группа десятичных знаков начинает повторяться бесконечное число раз. Например,

61 = 0,166666666 . . .; 17 = 0,142857142857142857 . . . ; 111 = 0,09090909 . . .;

1100122 = 0,1109090909 . . . ; 1190 = 0,122222222 . . . и т. д. (Заметим по поводу

тех рациональных чисел, которые представляются в виде конечной десятичной дроби, что у этой конечной дроби можно вообразить после последнего ее десятичного знака бесконечно повторяющуюся цифру 0, и, таким образом, рассматриваемые рациональные числа не исключаются из данной

§ 2 НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ 93

выше общей формулировки.) Из приведенных примеров видно, что у некоторых из десятичных разложений, соответствующих рациональным числам, периодическому «хвосту» предшествует непериодическая «голова».

Обратно, можно показать, что все периодические дроби представляют собой рациональные числа. Рассмотрим, например, бесконечную

периодическую дробь

p = 0,3322222 . . .

Можно написать: p = 10033 + 10−3 · 2(1 + 10−1 + 10−2 + . . .). Выражение в скобках есть бесконечная геометрическая прогрессия:

В общем случае доказательство строится таким же образом, но затруднено необходимостью вводить несколько громоздкие обозначения. Рассмотрим периодическую дробь общего вида

p = 0,a1a2a3 . . . amb1b2b3 . . . bnb1b2b3 . . . bn . . .

Обозначим через B = 0,b1b2b3 . . . bn периодическую часть нашего разложения. Тогда можно написать

p = 0,a1a2a3 . . . am + 10−mB(1 + 10−n + 10−2n + 10−3n + . . .).

Выражение в скобках — бесконечная геометрическая прогрессия, для которой q = 10−n. Сумма этой прогрессии, согласно формуле (10) предыду-

1

щего пункта, равна 1 − 10−n , и потому

p = 0,a1a2a3 . . . am + 10−m · B .

1 − 10−n

Упражнения. 1) Разложите в десятичные дроби следующие рациональные

числа: 111 , 131 , 132 , 133 , 171 , 172 , и определите периоды разложений.

2) Число 142 857 обладает тем свойством, что при умножении его на 2, 3, 4, 5 или 6 в нем совершаются только перестановки цифр. Объясните это свойство,

исходя из разложения числа 17 в десятичную дробь.

3)Разложите числа, приведенные в упражнении 1, в бесконечные дроби с основаниями 5, 7 и 12.

4)Разложите число 13 в двоичную дробь.

5)Напишите разложение 0,11212121 . . . Установите, какое число оно представляет при основаниях 3 или 5.

94 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

5. Общее определение иррациональных чисел посредством стягивающихся отрезков. На стр. 88 мы ввели предварительное определение: «число» есть конечная или бесконечная десятичная дробь. Мы условились вместе с тем десятичные дроби, не представляющие рационального числа, называть иррациональными числами. На основе результатов, полученных в предыдущем пункте, мы можем теперь предложить следующую формулировку: «числовой континуум, или система действительных чисел («действительные» числа противопоставляются здесь «мнимым», или «комплексным», см. § 5), есть совокупность всевозможных бесконечных десятичных дробей». (Приписывая нули, можно, как уже было отмечено, конечную десятичную дробь написать в виде бесконечной, или есть другой способ: последнюю цифру дроби a заменить на a − 1 и к ней приписать бесчисленное множество девяток. Так, мы видели, например, что 0,999 . . . = 1, — см. п. 3.)

Рациональные числа суть периодические дроби; иррациональные числа суть непериодические дроби. Но и такое определение не представляется вполне удовлетворительным: действительно, мы видели в главе I, что самой природой вещей десятичная система ничем особым не выделяется из других возможных; таким же образом можно было бы оперировать, например, двоичной системой. По этой причине является чрезвычайно желательным дать более общее определение числового континуума, независимое от специального выбора основания 10 или любого иного. Вероятно, простейший метод для введения такого обобщения заключается в следующем.

Рассмотрим на числовой оси некоторую последовательность I1, I2, I3, . . . , In, . . . отрезков с рациональными концами; предположим, что каждый следующий отрезок содержится в предыдущем и что длина n-го отрезка In стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Такую последовательность «вложенных» друг в друга отрезков мы будем называть

последовательностью стягивающихся отрезков. В случае десятичных отрезков длина In равна 10−n, но с таким же успехом она могла бы равняться, скажем, 2−n, или можно ограничиться хотя бы тем требованием, чтобы

она была меньше n1 . Дадим теперь следующую формулировку, которую

будем рассматривать как основной геометрический постулат: какова бы ни была последовательность стягивающихся отрезков, существует одна и только одна точка числовой оси, которая одновременно содержится во всех отрезках. (Совершенно ясно, что существует не более одной такой точки, так как длины отрезков стремятся к нулю, а две различные точки не могли бы содержаться в отрезке, длина которого была бы меньше, чем расстояние между точками.) Эта точка, по определению, и называется действительным числом; если она не является рациональ-

§ 2 НЕСОИЗМЕРИМЫЕ ОТРЕЗКИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, ПРЕДЕЛЫ 95

ной, то называется иррациональным числом. С помощью такого определения мы устанавливаем полное соответствие между точками и числами. Здесь не прибавлено ничего существенно нового: всего лишь определению числа как бесконечной десятичной дроби придана более общая форма.

Рис. 11. Стягивающиеся отрезки. Пределы последовательностей

Все же читателя в этом месте могут охватить известные сомнения, которые следует признать вполне обоснованными. Что же на самом деле представляет собой та «точка» на числовой оси, которая, как мы допускаем, содержится одновременно во всех стягивающихся отрезках последовательности в случае, если она не соответствует рациональному числу? Наш ответ таков: существование на числовой оси (рассматриваемой как геометрический образ) точки, содержащейся во всех стягивающихся отрезках с рациональными концами, есть основной геометрический постулат. Нет надобности делать редукцию, приводя его к иным математическим предложениям. Мы принимаем его, как принимаем в математике другие аксиомы или постулаты, основываясь на его интуитивной правдоподобности и на его полезности, обнаруживающейся при построении логически последовательной системы математических предложений. Чисто формально мы могли бы исходить из числовой прямой, которую мыслили бы как совокупность одних только рациональных точек, и затем определили бы иррациональную точку как символ, обозначающий некоторую последовательность стягивающихся отрезков. Иррациональная

точка полностью определяется последовательностью стягивающихся рациональных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Значит, наш основной постулат на самом деле способен служить определением. Принять такое определение, после того как мы были приведены к последовательности стягивающихся отрезков интуитивным ощущением, утверждающим «существование» иррациональной точки, — значит отбросить «костыли интуиции», на которые опиралось наше рассуждение, и осознать, что все математические свойства иррациональных точек могут быть понимаемы и представляемы как свойства последовательностей стягивающихся отрезков.

С чисто математической точки зрения в данном случае важно то обстоятельство, что, приняв определение иррационального числа как последовательности стягивающихся отрезков, мы приобретаем возможность дать определения сложения, умножения и т. д., а также отношений неравенства, являющихся непосредственным обобщением соответствующих определений в поле рациональных чисел, и притом с сохранением всех основных законов, действующих в поле рациональных чисел. Так, например, чтобы определить сумму двух иррациональных чисел a и b исходя из двух последовательностей стягивающихся отрезков, определяющих числа a и , построим новую последовательность стягивающихся отрезков, складывая соответственно начальные и конечные точки отрезков, входящих в состав данных последовательностей. То же можно сделать с произведением ab, разностью a − b и частным a/b. И можно показать на основе этих определений, что арифметические законы, рассмотренные в § 1 этой главы, при переходе к иррациональным числам не нарушаются. Подробности, сюда относящиеся, мы опускаем.

Проверка всех этих законов проста и производится непосредственно без особых затруднений, но могла бы показаться несколько скучноватой начинающему читателю, который, естественно, интересуется скорее тем, что можно сделать с помощью математики, чем анализом ее логических основ. Нередко случается, что новейшие учебники математики отталкивают читателя именно тем, что с первых же страниц дают педантическое обоснование системы действительных чисел. Читатель, спокойно игнорирующий эти страницы, пусть успокоит свою совесть сознанием того факта, что вплоть до конца XIX столетия все великие математики делали свои открытия на основе «наивной» концепции числового континуума, доставляемой непосредственно интуицией.

Наконец, с физической точки зрения, определение иррационального числа посредством последовательности стягивающихся отрезков естественно уподобляется определению числового значения некоторой доступной наблюдению величины — путем ряда измерений, производимых последовательно со все возрастающей точностью. Всякая операция, со-

чем 2. Классами A и B исчерпываются все рациональные числа, так как было показано, что такого рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

Такой случай, когда в классе A есть наибольший элемент a и вместе с тем в классе B — наименьший элемент b , логически немыслим, так как

было бы больше, чем наибольший элемент в A, и меньше, чем наименьший элемент в B, и, значит, не могло бы принадлежать ни к A, ни к B.

Втретьем случае, когда нет ни наибольшего рационального числа в классе A, ни наименьшего в классе B, тогда, по Дедекинду, сечение определяет, или, лучше, представляет собой, некоторое иррациональное число. Не составит труда проверить, что определение Дедекинда согласуется с определением, в основе которого находятся вложенные отрезки: из всякой

последовательности вложенных отрезков I1, I2, I3, . . . мы получаем сечение, если отнесем к классу A все те рациональные числа, которые меньше,

чем левый конец хотя бы одного интервала In, к классу B — все прочие рациональные числа.

Вфилософском отношении определение иррациональных чисел по Дедекинду находится на более высоком уровне абстракции, так как оно не ограничивает ни в чем того математического закона, который определяет классы A и B. Другой, более конкретный метод для определения континуума действительных чисел принадлежит Георгу К а н т о р у (1845–1918). На первый взгляд резко

отличный как от метода вложенных отрезков, так и от метода сечений, он, однако, эквивалентен любому из них в том смысле, что числовой континуум, получающийся на основе всех трех методов, обладает одними и теми же свойствами. Идея Кантора базируется на тех обстоятельствах, что 1) действительные числа можно трактовать как бесконечные десятичные дроби, 2) бесконечные десятичные дроби можно рассматривать как пределы конечных десятичных дробей. Чтобы не связывать себя зависимостью от десятичных дробей, мы, следуя Кантору, принимаем, что всякая «сходящаяся» последовательность рациональных чисел a1, a2, a3, . . . определяет действительное число. При этом «сходимость» понимается в том смысле, что разность (am − an) между двумя членами последовательности стремится к нулю, если m и n одновременно и независимо друг от друга неограниченно возрастают. (Как раз последовательные десятичные приближения обладают этим свойством: любые два из них после n-го отличаются меньше чем на 10−n.) Так как одно и то же действительное число по методу Кантора может быть определяемо самыми разнообразными последовательностями рациональных чисел, то приходится добавить, что две последовательности a1, a2, a3, . . . и b1, b2, b3, . . . определяют одно и то же действительное число, если разность an − bn стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Идя по пути, намеченному Кантором, нетрудно определить сложение и т. д.

§3. Замечания из области аналитической геометрии 1

1.Основной принцип. Уже начиная с XVII в. числовой континуум, принимаемый как нечто само собой разумеющееся или же подвергаемый более или менее поверхностному критическому анализу, стал основой математики, в частности, аналитической геометрии и дифференциального и интегрального исчислений.

Введение числового континуума дает возможность сопоставить каждому отрезку прямой в качестве его «длины» некоторое определенное действительное число. Но можно пойти и дальше. Не только длина, но и

1Читателю, не вполне освоившемуся с предметом этого параграфа, рекомендуется обратиться к упражнениям, которые помещены в приложении в конце книги, стр. 519 и дальше.