Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

третий; если x положительно, а y отрицательно, то в четвертый, и, наконец, если x отрицательно, а y положительно, то во второй.

Ox

Расстояние между точкой P1 с координатами x1, y1 и точкой P2 с координатами x2, y2 дается формулой

чек P, находящихся от точки C на данном расстоянии r, есть окружность с центром C и радиусом r. Из формулы для расстояния между двумя

где k = r2 − a2 − b2. Обратно, если задано уравнение вида (3), причем a, b и k — произвольные постоянные и сумма k + a2 + b2 положительна, то с

помощью алгебраической процедуры «дополнения до квадрата» мы можем написать то же уравнение в форме

(x − a)2 + (y − b)2 = r2,

где r2 = k + a2 + b2. И тогда ясно, что уравнение (3) определяет окружность радиуса r, центр которой — в точке C с координатами a, b.

Уравнение прямой линий еще проще по своей форме. Так, например, уравнение оси x имеет вид y = 0, так как координата y равна нулю для всех точек этой оси и ни для каких иных точек. Точно так же ось y имеет уравнение x = 0. Прямые, проходящие через начало и делящие пополам углы между осями, имеют уравнения x = y и x = −y. Легко показать, что всякая прямая линия имеет уравнение вида

где a, b, c — постоянные, характеризующие эту прямую. Как и в других случаях, смысл уравнения (4) тот, что пары действительных чисел x и y, удовлетворяющих этому уравнению, являются координатами некоторой точки на прямой, и обратно.

y

B

B′

Рис. 16. Эллипс с фокусами

Может быть, читатель учил в школе, что уравнение вида

представляет эллипс (рис. 16). Эта кривая пересекает ось x в точках A(p, 0) и A′(−p, 0) и ось y в точках B(0, q) и B′(0, −q). (Обозначение P(x, y) или, еще короче, (x, y), вводится ради краткости и должно

представляет гиперболу. Эта кривая состоит из двух ветвей, пересекающих ось x соответственно в точках A(p, 0) и A′(−p, 0) (рис. 17). Отрезок AA′ длины 2p называется «действительной» осью гиперболы. Гипербола, удаляясь в бесконечность, приближается к двум прямым qx ± py = 0, но так с ними и не пересекается; эти прямые называются асимптотами гиперболы. Гипербола есть геометрическое место точек P, разность расстояний которых до двух точек F(pp2 + q2, 0) и F′(−pp2 + q2, 0) по абсолютной величине равна 2p. Эти точки в случае гиперболы тоже называются фокусами; под эксцентриситетом гиперболы понимают отношение e =

= pp2 + q2 . p

также определяет гиперболу, но такую, для которой асимптотами являются две оси (рис. 18). Уравнение этой «равносторонней» гиперболы геометрически означает, что площадь прямоугольника OP′PQ′ (см. рис. 12), связанного с точкой P, для всякой точки P кривой равна 1. Равносторонняя гипербола несколько более общего вида

где c — постоянная, представляет собой частный случай гиперболы в том же смысле, в каком окружность представляет собой частный случай эллипса. Отличительная характеристика равносторонней гиперболы заключается в том, что ее две асимптоты (в нашем случае — две оси) взаимно перпендикулярны.

y

P

x

Рис. 18. Равносторонняя гипербола. Площадь прямоугольника, определенного точкой P(x, y), равна 1

Во всем этом для нас самым интересным является руководящая идея: геометрические объекты могут полностью описываться в арифметической или алгебраической форме. То же справедливо и относительно геометрических операций. Например, если нам требуется найти точки пересечения

двух прямых, то мы рассматриваем два их уравнения

ax + by = c,

(8)

a′x + b′y = c′,

и для нахождения общей точки этих двух прямых достаточно решить систему (8); решение дает нам координаты искомой точки. Таким же образом точки пересечения двух произвольных кривых (скажем, окружности x2 + + y2 − 2ax − 2by = k и прямой ax + by = c) находятся посредством совместного решения их уравнений.

§4. Математический анализ бесконечного

1.Основные понятия. Последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, . . .

представляет собой первый и самый важный пример бесконечного множества. Не нужно видеть ничего таинственного в том, что она — бесконечная, что у нее «нет конца»: как бы велико ни было натуральное число n, можно построить другое, следующее за ним число, еще большее — n + 1. Но при переходе от прилагательного «бесконечный», означающего просто-напросто «не имеющий конца», к существительному «бесконечность» никоим образом не следует привносить допущения, что «бесконечность», обыкновенно изображаемая особым символом ∞, может быть рассматриваема как обыкновенное число. Нельзя включить символ ∞ в числовую систему действительных чисел, не нарушая при этом основных законов арифметики. И тем не менее идея бесконечности пронизывает всю математику, так как математические объекты изучаются обыкновенно не как индивидуумы — каждый в отдельности, а как члены классов или совокупностей, содержащих бесчисленное множество элементов одного

итого же типа; таковы совокупности натуральных чисел, действительных чисел или же треугольников на плоскости. Именно по этой причине возникает необходимость в точном математическом анализе бесконечного. Современная теория множеств, созданная Георгом Кантором и его школой в конце XIX столетия, приступив к разрешению этой задачи, достигла значительных успехов. Канторова теория множеств глубоко проникла во многие области математики и оказала на них огромное влияние; она стала играть особо выдающуюся роль в исследованиях, связанных с логическим

ифилософским обоснованием математики. Исходным в канторовой теории является общее понятие совокупности или множества. При этом имеется в виду собрание объектов (элементов), которое определяется некоторым правилом, позволяющим с полной определенностью судить о том, входит ли данный объект в число элементов собрания или не входит. Примерами

могут служить множество всех натуральных чисел, множество всех периодических десятичных дробей, множество всех действительных чисел или множество всех прямых в трехмерном пространстве.

Для того чтобы сравнивать множества с точки зрения «количества» содержащихся в них элементов, нужно ввести основное в этой теории понятие «эквивалентности» множеств. Если элементы двух множеств A и B могут быть приведены в попарное соответствие такого рода, что каждому элементу множества A сопоставлен один и только один элемент множества B, а каждому элементу множества B сопоставлен один и только один элемент множества A, то установленное таким образом соответствие называется взаимно однозначным, а о самих множествах A и B тогда говорят, что они между собой эквивалентны. Понятие эквивалентности в случае конечных множеств совпадает с обыкновенным понятием числового равенства, так как два конечных множества в том и только том случае могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие, если содержат одно и то же число элементов. На этом и основывается, нужно заметить, идея счета: когда мы «считаем» элементы множества, то процесс счета как раз и заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между элементами множества и числами 1, 2, . . . , n.

Чтобы установить эквивалентность двух конечных множеств, иногда нет необходимости «считать» элементы. Так, например, не считая, можно утверждать, что конечное множество кругов единичного радиуса эквивалентно множеству их центров.

Перенося понятие эквивалентности на бесконечные множества, Кантор имел в виду создать «арифметику» бесконечного. Множество действительных чисел и множество точек на прямой линии эквивалентны, так как после того, как выбраны начало и единичный отрезок, данная прямая становится «числовой прямой», и каждой ее точке P в качестве координаты взаимно однозначно сопоставляется некоторое совершенно определенное

действительное число x:

P ↔ x.

Четные числа образуют правильное подмножество множества всех натуральных чисел, а все целые числа образуют правильное подмножество множества всех рациональных чисел. (Говоря о «правильном» подмножестве некоторого множества S, мы имеем в виду множество S′, состоящее из элементов множества S, но не из всех его элементов.) Совершенно ясно, что если данное множество конечно, т. е. содержит какое-то число n

элементов и не более того, то оно не может быть эквивалентно никакому своему правильному подмножеству, так как всякое правильное его подмножество содержало бы самое большее n − 1 элемент. Но если данное множество содержит бесконечное число элементов, то, как

106 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА гл. II

это ни парадоксально, оно может быть эквивалентно некоторому своему правильному подмножеству. Например, схема

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством всех четных целых положительных чисел, и эти два множества оказываются эквивалентными, хотя второе есть правильное подмножество первого. Такое противоречие с ходячей истиной «целое больше своей части» показывает, какие сюрпризы нас ждут в области «арифметики бесконечного».

2. Счетность множества рациональных чисел и несчетность континуума. Одно из первых открытий Кантора в области анализа бесконечного заключалось в том, что множество рациональных чисел (содержащее в качестве правильного подмножества бесконечное множество натуральных чисел и потому само бесконечное) эквивалентно множеству натуральных чисел. На первый взгляд кажется странным, что всюду плотное множество рациональных чисел не более богато элементами, чем множество натуральных чисел, элементы которого «рассеяны» редко и стоят на значительном расстоянии один от другого. И в самом деле, с сохранением порядка возрастания нельзя расположить положительные рациональные числа так, как это можно сделать с натуральными: самое маленькое число a будет первым, следующее за ним по величине b вторым, и т. д.; дело в том, что рациональные числа расположены везде плотно, и потому ни для одного из них нельзя указать «следующего по величине». Но Кантор заметил, что если отказаться от требования «располагать по величине», то тогда оказывается возможным расставить все рациональные числа в ряд r1, r2, r3, r4, . . ., подобный ряду натуральных чисел. Такое расположение предметов некоторого множества в виде последовательности часто называют пересчетом («нумерацией») этого множества. Множества, для которых пересчет может быть выполнен, называются счетными или исчислимыми. Указывая один из способов пересчета множества рациональных чисел и устанавливая, таким образом, его счетность, Кантор тем самым показал, что это множество эквивалентно множеству натуральных чисел, так как

создает взаимно однозначное соответствие между двумя множествами. Мы опишем сейчас один из возможных способов пересчета множества рациональных чисел.