Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

элементов другого конечного множества B, если A содержит больше элементов, чем B. Но если мы заменим понятие «множеств, имеющих одно и то же конечное число элементов» более общим понятием «эквивалентных множеств», то — в случае бесконечных множеств — предыдущее утверждение уже не будет справедливо: множество всех целых чисел содержит «больше» элементов, чем множество всех четных чисел, а множество всех рациональных чисел — «больше» элементов, чем множество всех целых чисел; и, однако, как мы видели, все эти множества эквивалентны. Можно было бы заподозрить, что все бесконечные множества между собой эквивалентны, но Кантор опроверг это предположение: существует множество — континуум действительных чисел, — которое не эквивалентно никакому счетному множеству.

Итак, существует по меньшей мере два различных «типа бесконечности»: счетная бесконечность натуральных чисел и несчетная бесконечность континуума. Если два множества A и B, конечные или бесконечные, эквивалентны, мы скажем, что им соответствует одно и то же кардинальное число (или мощность). В случае конечных множеств кардинальное число сводится к обыкновенному натуральному числу, но понятие кардинального числа носит более общий характер. Далее, если случится, что множество A эквивалентно некоторому подмножеству (части) множества B, но само B неэквивалентно ни множеству A, ни какой бы то ни было его части, то говорят, следуя Кантору, что множеству B соответствует большее кардинальное число, чем множеству A. Это употребление термина «число» также согласуется с обычным употреблением в случае конечных множеств. Множество целых чисел есть подмножество множества всех действительных чисел, тогда как множество действительных чисел не эквивалентно ни множеству целых чисел, ни какому бы то ни было его подмножеству (оно ни счетное, ни конечное). Значит, по данному определению, континууму действительных чисел соответствует большее кардинальное число, чем множеству натуральных чисел.

* Кантор показал фактически, как можно построить бесконечную последовательность бесконечных множеств, которым соответствуют все большие´ и большие´ кардинальные числа. Так как можно исходить из множества натуральных чисел, то достаточно показать, что, каково бы ни было данное множество A, можно построить другое множество B, у которого кардинальное число будет больше, чем у A. Вследствие большой общности этой теоремы доказательство ее по неизбежности несколько абстрактно. Множество B мы определяем как множество, элементами которого являются все возможные подмножества множества A. Говоря о «подмножествах» A, мы в данном случае имеем в виду не только «правильные подмножества» A, но не исключаем и самого множества A, а также «пустого» множества , не содержащего никаких элементов. (Так, если A состоит из трех целых чисел 1, 2, 3, то B содержит 8 различных элементов {1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},

{1}, {2}, {3} и .) Каждый элемент множества B сам есть множество, состоящее из каких-то элементов множества A. Допустим теперь, что B эквивалентно A или некоторому подмножеству A, т. е. что существует некоторое правило, приводящее во взаимно однозначное соответствие элементы A или некоторого подмножества A со всеми элементами B, т. е. всеми подмножествами A:

где через Sa обозначено то подмножество A, которому соответствует элемент a множества A. Мы придем к противоречию, если укажем некоторый элемент B, т. е. некоторое подмножество T множества A, которому не может соответствовать никакой элемент a. Чтобы построить подмножество T, заметим прежде всего, что для всякого элемента x из A существуют две возможности: либо множество Sx, сопоставляемое зависимостью (2) элементу x, содержит элемент x, либо не содержит. Мы определим T как подмножество A, состоящее из всех таких элементов x,

что Sx не содержит x. Определенное таким образом множество T отличается от всякого Sa по крайней мере элементом a, так как если Sa содержит a, то T не содержит a, а если Sa не содержит a, то T содержит a. Итак, T не включено в соответствие (2). Это и показывает, что невозможно установить взаимно однозначное соответствие между элементами A (или некоторого подмножества A) и

элементами B. Но соотношение

a ↔ {a}

устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми элементами A и подмножеством B, состоящим из одноэлементных подмножеств A. Значит, по данному выше определению, множеству B соответствует большее кардинальное число, чем множеству A.

* Упражнение. Если множество A содержит n элементов, то определенное выше множество B содержит 2n элементов. Если A есть множество натуральных чисел, то B эквивалентно континууму действительных чисел, заключенных между 0 и 1. (Указание: сопоставьте каждому подмножеству A символ, состоящий из последовательности — конечной в первом примере, бесконечной во втором —

a1a2a3 . . . ,

где an = 1 или 0, смотря по тому, принадлежит или не принадлежит n-й элемент A рассматриваемому подмножеству.)

Могло бы показаться легкой задачей построить множество точек, обладающее большим´ кардинальным числом, чем множество точек единичного отрезка. Казалось бы, что квадрат со стороной 1, как «двумерная» фигура, должен содержать «больше» точек, чем «одномерный» отрезок. Но, как это ни странно, дело обстоит иначе: кардинальное число точек квадрата в точности равно кардинальному числу точек отрезка. Для доказательства достаточно установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и точками отрезка. Постараемся это сделать.

Если (x, y) есть какая-нибудь точка единичного квадрата, то ее координаты x и y могут быть представлены в виде десятичных разложений

причем пусть будет условлено (ради избежания всяких сомнений), что, например, число 14 будет записываться в виде 0,25000 . . ., а не в виде 0,24999 . . . Названной точке квадрата (x, y) мы сопоставим точку единичного отрезка

z = 0,a1b1a2b2a3b3a4b4 . . . .

Очевидно, различным точкам квадрата (x, y) и (x′, y′) сопоставляются различные же точки отрезка z и z′; это и значит, что кардинальное число множества точек квадрата не превышает кардинального числа множества точек отрезка.

(Собственно говоря, в данном случае построено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и некоторым подмножеством точек отрезка: никакая точка квадрата не будет соответствовать, например, точке отрезка 0,2140909090 . . ., так как мы условились писать 0,25000 . . ., а не 0,24999 . . .

Но можно слегка видоизменить построение таким образом, чтобы действительно осуществлялось взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек квадрата и множеством всех точек отрезка.)

Аналогичнее рассуждение показывает, что кардинальнее число точек куба не превышает кардинального числа точек отрезка.

Все эти результаты, казалось бы, стоят в противоречии с интуитивным представлением о «размерности». Но нужно обратить внимание на то, что вводимые нами соответствия не являются «непрерывными»; когда мы перемещаемся по отрезку от 0 к 1 непрерывно, соответствующие точки в квадрате не образуют непрерывной кривой, а будут появляться в порядке совершенно «хаотическом». Размерность множества точек зависит не только от кардинального числа точек, но и от того, как они расположены в пространстве. Мы вернемся к этому вопросу в главе V.

4. Косвенный метод доказательства. Теория кардинальных чисел представляет собой лишь один из аспектов общей теории множеств, созданной Кантором несмотря на суровую критику со стороны наиболее выдающихся математиков того времени. Многие из критиков, например Пуанкаре и Кронекер, возражали против неопределенности общего понятия «множества» и против неконструктивного характера рассуждений, применявшихся при определении некоторых множеств.

Возражения против неконструктивных рассуждений относятся к тем доказательствам, которые можно было бы назвать «существенно косвенными». Сами по себе «косвенные» доказательства есть самый обыкновенный элемент математического мышления: желая установить истинность предложения A, мы вначале допускаем, что справедливо иное предложение A′, противоположное A; затем некоторая цепь рассуждений приводит нас к утверждению, противоречащему A′, и тем самым обнаруживается несостоятельность предложения A′. Тогда на базе основного логического принципа «исключенного третьего» из ложности A′ следует истинность A.

В разных местах этой книги читатель найдет ряд таких примеров, для которых косвенное доказательство легко может быть превращено в прямое, но «косвенная» форма создает преимущества краткости и

освобождает от рассмотрения подробностей, имеющих второстепенный интерес с точки зрения поставленной ближайшей цели. Но попадаются и такие теоремы, для которых до настоящего времени не удалось дать иных доказательств, кроме косвенных. О некоторых из этих теорем можно даже сказать, что, по-видимому, по самой их природе прямые, конструктивные их доказательства принципиально невозможны. Сюда относится, например, теорема, приведенная на стр. 108. Не раз бывали случаи в истории математики, когда все усилия математиков были направлены в сторону построения («конструкции») решения тех или иных проблем, разрешимость которых предполагалось установить, а затем кто-нибудь приходил, если так можно выразиться, со стороны и ликвидировал все трудности с помощью «косвенного» неконструктивного рассуждения.

Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то имеется существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта, и тем, чтобы доказать, что из несуществования объекта можно вывести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором — ничего, кроме противоречия. Не так давно некоторые математики (весьма заслуженные) провозгласили более или менее полное устранение из математики всех неконструктивных доказательств. Даже если бы выполнение этой программы признать желательным, необходимо указать, что это повлекло бы за собой в настоящую эпоху чрезвычайные усложнения, и можно было бы даже опасаться, что в процессе совершающихся потрясений подверглись бы разрушению существенные части организма математики. Поэтому нечего удивляться, что школа «интуиционистов», принявшая упомянутую программу, встретила упорное сопротивление, и что даже наиболее ортодоксальные интуиционисты не всегда в состоянии жить согласно своим убеждениям. 1

5. Парадоксы бесконечного. Хотя бескомпромиссная позиция, занятая интуиционистами, с точки зрения большинства математиков является слишком экстремистской, волей-неволей приходится согласиться, что для внешне прекрасной теории бесконечных множеств возникла серьезная угроза, когда в пределах самой этой теории обнаружились совершенно явные логические парадоксы. Очень скоро было замечено, что неограниченная свобода в пользовании понятием «множество» неизбежно ведет к противоречиям. Мы приведем здесь один из парадоксов, обнаруженный Бертраном Расселом. Вот в чем он заключается.

1Об интуиционизме и выросшем из него конструктивном направлении в математике и логике, на исчерпывающую характеристику которых никак не претендуют эти строки, см., например, [11] и [15] в списке литературы в конце книги (номера по которому всюду указываются в квадратных скобках). — Прим. ред.

Как правило, множества не содержат себя в качестве элемента. Например, множество A всех целых чисел содержит в качестве элементов только целые числа; так как само A не есть целое число, а есть множество целых чисел, то A себя в качестве элемента не содержит. Условимся называть такие множества «ординарными». Но могут существовать и такие множества, которые содержат себя в качестве элемента. Рассмотрим, например, множество S, определенное следующим образом: «S содержит в качестве элементов все множества, которые можно определить посредством предложения, содержащего меньше двадцати слов». Так как само множество S определяется предложением, содержащим меньше двадцати слов, то выходит, что оно является элементом множества S. Такие множества назовем «экстраординарными». Как бы то ни было, большинство множеств — ординарные; попробуем не иметь дела с дурно ведущими себя экстраординарными множествами и будем рассматривать только множество всех ординарных множеств. Обозначим его буквой C. Каждый элемент C есть множество, притом ординарное множество. Но вот возникает вопрос:

а само множество C — ординарное или экстраординарное? Несомненно, оно должно быть или тем, или другим. 1 Если C — ординарное множество, то оно содержит себя в качестве элемента, так как C определено как множество всех ординарных множеств. Раз дело обстоит так, значит, C — экстраординарное множество, так как экстраординарными, согласно определению, названы множества, содержащие себя в качестве элемента. Получается противоречие. Значит, C должно быть экстраординарным множеством. Но тогда множество C содержит в качестве элемента себя, т. е. оно есть экстраординарное множество, а это противоречит определению C как множества всех ординарных множеств. Итак, мы видим, что уже одно только допущение существования множества C внутренне противоречиво.

6. Основания математики. Парадоксы вроде вышеприведенного побудили Рассела и других подвергнуть систематическому изучению основания математики и логики. Конечная цель этих исследований заключается в создании для математических рассуждений такой логической базы, относительно которой можно было бы доказать, что она свободна от возможных противоречий, и которая вместе с тем была бы достаточно обширной, чтобы из нее можно было путем дедукции вывести все, что в математике признается существенным, или хотя бы многое из того. Поскольку такой самонадеянной цели достигнуть не удавалось (а может быть, ее и нельзя

1Получаемое далее противоречие может быть выведено и без использования так называемого закона исключенного третьего, подразумеваемого в этой фразе. См., например, Ф р е н к е л ь А. и Б а р - Х и л л е л И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966, гл. I, § 2. — Прим. ред.

расширения и нововведения приходят отнюдь не в результате чьих-то индивидуальных усилий. Скорее их можно рассматривать как итог некоторой постепенной и исполненной колебаний эволюции, в которой не следует преувеличивать роль отдельных личностей. Одной из причин, которые обусловили появление и употребление отрицательных и дробных чисел, было стремление к большей свободе в формальных вычислениях. Только к концу средневековья математики стали терять ощущение беспокойства и неуверенности, с которым они оперировали этими понятиями, тогда как ничего подобного не наблюдалось в отношении таких интуитивно ясных и конкретно воспринимаемых понятий, как понятие натурального числа.

Простейшая процедура, требующая применения комплексных чисел, есть решение квадратных уравнений. Напомним, как обстояло дело с линейным уравнением ax = b, когда нужно было определить удовлетворя-

ющее ему значение неизвестной величины x. Решение имеет вид x = ab ,

и введение дробных чисел как раз обусловливается требованием, чтобы всякое линейное уравнение с целыми коэффициентами (при a 6= 0) было разрешимо. Уравнения вроде

не имеют решения в области рациональных чисел, но имеют таковое в расширенном поле всех действительных чисел. Но даже поле действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем можно было построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Например, следующее очень простое уравнение

не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа никак не может быть отрицательным. Нам приходится или удовольствоваться тем положением, что такие простые уравнения неразрешимы, или следовать по уже знакомому пути — расширять числовую область

ивводить новые числа, с помощью которых удастся решить уравнение. Именно это самое и делается, когда вводят новый символ i и принимают, в качестве определения, что i2 = −1. Разумеется, этот объект — «мнимая единица» — не имеет ничего общего с числом как орудием счета. Это — отвлеченный символ, подчиненный основному закону i2 = −1, и ценность его зависит исключительно от того, будет ли достигнуто в результате его введения действительно полезное расширение числовой системы.

Так как мы хотим складывать и умножать с помощью символа i так же, как с обыкновенными числами, то естественно пользоваться символами вроде 2i, 3i, −i, 2 + 5i, вообще, a + bi, где a и b — действительные числа. Раз эти символы должны подчиняться коммутативному, ассоциативному

идистрибутивному законам, то должны быть возможны, например, такие

3) Представьте в форме a + bi следующие выражения:

4) Вычислите √5 + 12i . (Указание: напишите √5 + 12i = x + yi, возведите в квадрат и приравняйте действительные части и мнимые части.)

Вводя символ i, мы расширили поле действительных чисел и получили поле символов a + bi, в котором квадратное уравнение

становится разрешимым. В самом деле, выполняя над равенством (6) ряд преобразований, мы получаем:

x2 + ab x = − ac ,

Заметим теперь, что если b2 − 4ac > 0, то √b2 − 4ac есть обыкновенное действительное число и корни уравнения (6) действительные; если