Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

соответствует некоторая прямая, проходящая через O и параллельная p; всякая точка Q на такой прямой имеет координаты вида (x, y, 0); таким образом, однородные координаты идеальных точек плоскости p имеют вид (x, y, 0). Нетрудно написать в однородных координатах уравнение прямой линии на плоскости p. Для этого достаточно заметить, что прямые, соединяющие O с точками этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через O. В аналитической геометрии доказывается, что уравнение такой плоскости имеет вид

Это же есть и уравнение данной прямой в однородных координатах. Теперь, когда геометрическая модель, изображающая точки плоско-

сти p в виде прямых, проходящих через O, отслужила свою службу, можно ее отбросить и дать следующее чисто аналитическое определение расширенной плоскости:

Точка есть не что иное, как тройка действительных чисел (x, y, z), из которых не все равны нулю. Две такие тройки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) определяют одну и ту же точку, если существует такое число t 6= 0, что

x2 = tx1, y2 = ty1, z2 = tz1.

Другими словами, можно, не меняя самой точки, умножать ее координаты на произвольный множитель, отличный от нуля. (Потому эти координаты и называются однородными.) Точка (x, y, z) обыкновенная, если z отлично от нуля, и идеальная, если z равно нулю.

Прямая линия в плоскости p состоит из всех точек (x, y, z), удовлетворяющих линейному уравнению вида

где a, b, c — постоянные числа, не все равные нулю. В частности, бесконечно удаленные точки плоскости p удовлетворяют уравнению

согласно определению, это — также уравнение прямой, именно — бесконечно удаленной прямой плоскости p. Так как прямая определяется уравнением вида (1′), то тройка чисел (a, b, c) может быть рассматриваема как однородные координаты прямой (1′). Далее следует, что при произвольном t 6= 0 тройка чисел (ta, tb, tc) представляет собой координаты той же прямой, так как уравнение

удовлетворяется в точности теми же координатными тройками (x, y, z), что

иуравнение (1′).

Вэтих определениях обнаруживается полная симметрия между точкой и прямой: и та и другая определяются тройкой чисел — однородными координатами (u, v, w). Условие того, что точка (x, y, z) лежит на прямой (a, b, c), выражается равенством

ax + by + cz = 0,

и это же есть вместе с тем условие того, что точка с координатами (a, b, c) лежит на прямой с координатами (x, y, z). Например, арифметическое то-

ждество

2 · 3 + 1 · 4 + (−5) · 2 = 0

означает, что точка (3, 4, 2) лежит на прямой (2, 1, −5), и в равной мере, что точка (2, 1, −5) лежит на прямой (3, 4, 2). Эта симметрия и представляет собой основу двойственности между точкой и прямой в проективной геометрии, так как всякое соотношение между точками и прямыми становится некоторым соотношением между прямыми и точками, если координаты точек считать координатами прямых, а координаты прямых —

координатами точек. Толкуя по-новому те же алгебраические операции и результаты, мы получаем теоремы, соответствующие первоначальным в смысле двойственности. Необходимо заметить, с другой стороны, что в обыкновенной плоскости X, Y ни о какой двойственности не может быть речи, так как уравнение прямой в обыкновенных координатах

aX + bY + c = 0

несимметрично относительно X, Y и a, b, c. Только включение в рассмотрение бесконечно удаленных элементов (точек и прямой) обеспечивает применимость принципа двойственности.

Чтобы перейти от однородных координат x, y, z обыкновенной точки P в плоскости p к обыкновенным прямоугольным координатам, мы просто полагаем X = xz , Y = yz . Тогда X, Y обозначают расстояния точки P от двух перпендикулярных осей

в плоскости p, параллельной x- и y-осям, как показано на рис. 93. Мы знаем, что

уравнение

aX + bY + c = 0

представляет прямую в плоскости p. Полагая X = xz , Y = yz и умножая на z, мы найдем, что уравнение той же прямой в однородных координатах будет

ax + by + cz = 0,

как это уже было указано на стр. 220. Так, уравнение прямой 2x − 3y + z = 0 в обыкновенных прямоугольных координатах X, Y примет вид 2X − 3Y + 1 = 0. Разумеется, последнему уравнению бесконечно удаленная точка рассматриваемой прямой с однородными координатами (3, 2, 0) уже не отвечает.

Остается сказать еще одно. Нам удалось получить чисто аналитическое определение точки и прямой; но что можно сказать о важном понятии проективного преобразования? Можно установить, что проективное преобразование, понимаемое в том смысле, как это было разъяснено на стр. 203, задается аналитически

связывающих однородные координаты x′, y′, z′ точек в плоскости p′ с однородными координатами x, y, z точек в плоскости p. С аналогичной точки зрения можно определить проективное преобразование как такое, которое задается системой уравнений вида (4). Теоремы проективной геометрии тогда становятся теоремами, говорящими о поведении числовых троек (x, y, z) при таких преобразованиях. Например, доказательство инвариантности двойного отношения при проективных преобразованиях превращается в легкое упражнение из области алгебры линейных преобразований. Не будем вникать в детали этой аналитической процедуры и вернемся вместо того назад — к проективной геометрии в ее более наглядном аспекте.

§7. Задачи на построение с помощью одной линейки

Вследующих построениях предполагается, что единственным инструментом служит линейка.

Задачи 1–18 заимствованы из одной работы Я. Штейнера, в которой он доказывает, что при геометрических построениях можно обойтись без циркуля, если задан фиксированный круг с центром (см. главу III, стр. 179). Читателю рекомендуется проделать эти задачи в указанном порядке.

Четверка прямых a, b, c, d, проходящих через точку P, называется гармонической, если двойное отношение (abcd) равно −1. В этом случае говорят, что c, d

гармонически сопряжены с a, b и обратно.

1)Докажите, что если в гармонической четверке a, b, c, d прямая a делит пополам угол между c и d, то прямая b перпендикулярна к прямой a.

2)Постройте четвертую гармоническую к трем данным прямым, проходящим через одну точку. (Указание: воспользуйтесь теоремой о полном четырехстороннике.)

3)Постройте четвертую гармоническую к трем данным точкам на одной пря-

мой.

4)Даны прямой угол и произвольный угол с общей вершиной и одной общей стороной. Удвойте данный произвольный угол.

5)Дан угол и его биссектриса b. Постройте перпендикуляр к b в вершине данного угла.

6)Докажите, что если проходящие через точку P прямые l1, l2, . . . , ln пересекают прямую a в точках A1, A2, . . . , An и прямую b в точках B1, B2, . . . , Bn, то все точки пересечения пар прямых AiBk и AkBi (i 6= k; k = 1, 2, . . . , n) лежат на одной

прямой.

7)Докажите, что если в треугольнике ABC прямая, параллельная стороне BC, пересекает AB в точке B′ и AC в точке C′, то прямая, соединяющая точку A с точкой D пересечения прямых B′C и C′B, делит пополам BC.

7а) Сформулируйте и докажите теорему, обратную 7.

8)На прямой l даны три такие точки P, Q, R, что Q есть середина отрезка PR. Постройте прямую, параллельную l и проходящую через данную точку S.

9)Даны две параллельные прямые l1 и l2; разделите пополам данный отрезок AB на прямой l1.

10)Через данную точку P провести прямую, параллельную двум данным параллельным между собой прямым l1 и l2. (Указание: используйте 7.)

11)Штейнер предлагает следующее решение задачи об удвоении данного отрезка AB при условии, что задана прямая l, параллельная AB: через точку C, не лежащую ни на прямой l, ни на прямой AB, провести прямые CA и CB; пусть A1

иB1 — соответственно точки их пересечения с прямой l. Затем (см. 10) провести через C прямую, параллельную l; пусть D — точка ее пересечения с BA1. Если E — точка пересечения AB и DB1, то AE = 2 · AB.

Докажите последнее утверждение.

12)Разделите отрезок AB на n равных частей, если задана прямая l, параллельная AB. (Указание: пользуясь 11, отложите сначала n раз данный отрезок на прямой l.)

13)Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку P проведите прямую, параллельную данной прямой l. (Указание: примените 10 к центру параллелограмма

ивоспользуйтесь 8.)

14)Дан параллелограмм; увеличьте данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13 и 11.)

15)Дан параллелограмм; разделите данный отрезок на n равных частей.

16)Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой. (Указание: примените 13.)

17)Дан неподвижный круг с центром. Увеличьте и уменьшите данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13.)

18)Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Указание: воспользуйтесь прямоугольником, вписанным в данный круг, с двумя сторонами, параллельными данной прямой, и сведите к предшествующим задачам.)

19)Пересмотрев задачи 1–18, перечислите, какие основные задачи на построение можно выполнить с помощью двусторонней линейки (с двумя параллельными сторонами).

20)Две данные прямые l1 и l2 пересекаются в точке P, находящейся за пределами чертежа. Постройте прямую, соединяющую данную точку Q с точкой P. (Указание: дополните заданные элементы таким образом, чтобы получилась конфигурация плоскостной теоремы Дезарга, причем P и Q стали бы точками пересечения взаимно соответствующих сторон двух треугольников.)

21)Проведите прямую через две точки, между которыми расстояние больше, чем длина линейки. (Указание: примените 20.)

22)Прямые l1 и l2 пересекаются в точке P; прямые m1 и m2 — в точке Q; обе точки P и Q — за пределами чертежа. Постройте ту часть прямой PQ, которая находится в пределах чертежа. (Указание: чтобы получить точку прямой PQ, постройте конфигурацию Дезарга таким образом, чтобы две стороны одного треугольника

лежали соответственно на l1 и m1, две стороны другого — соответственно на l2

иm2).

23)Решите 20 с помощью теоремы Паскаля (стр. 215). (Указание: достройте

конфигурацию Паскаля, рассматривая l1 и l2 как пару противоположных сторон шестиугольника, а Q — как точку пересечения другой пары противоположных сторон.)

*24) Каждая из двух прямых, целиком лежащих за пределами чертежа, задана двумя парами прямых линий, пересекающихся за пределами чертежа в точках соответствующей прямой. Определите точку их пересечения с помощью двух прямых, пересекающихся за пределами чертежа.

§8. Конические сечения и квадрики

1.Элементарная метрическая геометрия конических сечений. До сих пор мы занимались только точками, прямыми, плоскостями и фигурами, составленными из конечного числа этих элементов. Если бы проективная геометрия ограничивалась рассмотрением таких «линейных» фигур,

она была бы сравнительно малоинтересна. Но фактом первостепенного значения является то обстоятельство, что проективная геометрия этим не ограничивается, а включает также обширную область конических сечений и их многомерных обобщений. Аполлониева метрическая трактовка конических сечений — эллипсов, гипербол и парабол — была одним из выдающихся успехов античной математики. Едва ли можно переоценить значение конических сечений как для чистой, так и для прикладной математики (например, орбиты планет и орбиты электронов в атоме водорода являются коническими сечениями). Не приходится удивляться тому, что классическая, возникшая в Древней Греции, теория конических сечений и в наши дни составляет необходимую часть математического образования. Но греческая геометрия никоим образом не сказала последнего слова. Через две тысячи лет были открыты замечательные проективные свойства конических сечений. Несмотря на простоту и изящество этих свойств, академическая инерция до настоящего времени служит препятствием их проникновению в школьное преподавание.

Начнем с того, что напомним метрические определения конических течений. Таких определений несколько, и их эквивалентность доказывается в элементарной геометрии. Наиболее распространенные определения связаны с фокусами кривых. Эллипс определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что сумма их расстояний r1 и r2 от двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, имеет постоянное значение. (Если фокусы совпадают, кривая превращается в окружность.) Гипербола определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что абсолютная величина разности r1 − r2 равно одной и той же постоянной величине. Парабола определяется как геометрическое место точек P, расстояние которых r от данной точки F равно расстоянию от данной прямой l.

В аналитической геометрии эти кривые представляются уравнениями второй степени относительно прямоугольных координат x, y. Нетрудно доказать, обратно, что всякая кривая, представляемая уравнением второго порядка

есть или одно из трех названных выше конических сечений, или прямая линия, или пара прямых, или сводится к одной точке, или носит чисто мнимый характер. Как показывается во всяком курсе аналитической геометрии, для доказательства достаточно сделать надлежащим образом подобранную замену координатной системы.

Указанные выше определения конических сечений — существенно метрические, так как пользуются понятием расстояния. Но вот другое определение, устанавливающее место конических сечений в проективной геометрии: конические сечения суть не что иное, как проекции окружности на плоскость. Если мы станем проектировать окружность C

226 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV

из некоторой точки O, то проектирующие прямые образуют бесконечный двойной конус, и пересечение этого конуса с плоскостью p будет проекцией окружности C. Кривая пересечения будет эллипсом или гиперболой, смотря по тому, пересечет ли плоскость только одну «полость» конуса или обе. Возможен и промежуточный случай параболы, если плоскость p параллельна одной из проектирующих прямых, про-

веденных через O (рис. 94). Проектирующий конус не

обязан быть «прямым круговым» с вершиной O, расположенной вертикально над центром окружности C: он может быть и «наклонным». Но во всех случаях (как мы примем здесь, не приводя доказательства) в пересечении конуса с плоскостью получается кривая, уравнение которой — второй степени; и обратно, всякая кривая второго порядка может быть получена из окружности посредством проектирования. По этой именно причине кривые второго порядка иначе называются коническими сечениями.

Мы уже отметили, что если плоскость пересекает только одну «полость» прямого кругового конуса, то пересечение E представляет собой эллипс. Нетрудно установить, что кривая E удовлетворяет обыкновенному фокальному определению эллипса, которое было сформулировано выше. Приведем очень простое и изящное доказательство, данное в 1822 г. бельгийским математиком Д а н д е л е н о м. Представим себе две сферы S1 и S2 (рис. 95), которые касаются плоскости сечения p соответственно в точках F1 и F2 и, кроме того, касаются конуса вдоль параллельных окружностей K1 и K2. Взяв произвольную точку P кривой E, проведем отрезки PF1 и PF2. Затем рассмотрим прямую PO, соединяющий точку P с вершиной конуса O; этот отрезок целиком лежит на поверхности конуса; обозначим через Q1 и Q2 точки ее пересечения с окружностями K1 и K2.

Так как PF1 и PQ1 — две касательные, проведенные из точки P к одной и

той же сфере S1, то

PF1 = PQ1.

Точно так же

PF2 = PQ2.

Складывая эти равенства, мы получаем:

PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2.

Но PQ1 + PQ2 = Q1Q2 есть расстояние между параллельными окружностями K1 и K2 на поверхности конуса: оно не зависит от выбора точки P на кривой E. Отсюда следует, что, какова бы ни была точка P на E, имеет место равенство

PF1 + PF2 = const,

а это и есть фокальное определение эллипса. Итак, E есть эллипс, a F1 и F2 — его фокусы.

Упражнение. Если плоскость пересекает обе «полости» конуса, то кривая пересечения — гипербола. Докажите это утверждение, помещая по одной сфере в каждой из «полостей» конуса.

расстояния. Новое определение тоже не вполне свободно от этого недостатка, поскольку «окружность» —

также метрическое понятие. Но через мгновение мы придем к чисто проективному определению конических сечений.

1Четверка прямых a, b, c, d считается конгруэнтной другой четверке a′, b′, c′, d′, если углы между каждой парой прямых в первой четверке равны как по величине, так и по направлению отсчета углам между соответствующими прямыми второй четверки.