Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015
.pdf
230 |
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА |
гл. IV |
|
|
|
точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии. Полученная теорема подводит фундамент под следующее чисто проективное определение конических сечений: коническим сечением называется геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии 1. Как ни соблазнительно проникнуть в глубь теории конических сечений, строящейся на таком определении, однако мы вынуждены ограничиться немногими замечаниями по этому поводу.
Пары пучков, находящихся в проективном соответствии, можно получить следующим образом. Спроектируем все точки P прямой линии l из двух разных центров O и O′′ и установим между проектирующими пучками взаимно однозначное соответствие, сопоставляя друг другу те прямые, которые пересекаются на прямой l. Этого достаточно, чтобы полученные пучки находились в проективном соответствии. Затем возьмем пучок O′′ и перенесем его «как нечто твердое» в произвольное положение O′. Что новый пучок O′ будет находиться в проективном соответствии с пучком O, это совершенно очевидно. Но замечательно то, что любое проективное
O′
|
O |
|
|
|
a′ |
|
d |
b′ |
a |
c′ |
|
b c |
|
d′
Рис. 98. К построению проективных пучков прямых
соответствие между двумя пучками можно получить именно таким образом. (Это обстоятельство двойственно по отношению к упражнению 1 на стр. 205.) Если пучки O и O′ конгруэнтны, получается окружность. Если углы между соответствующими лучами в двух пучках равны, но отсчитываются в противоположных направлениях, то получается равносторонняя гипербола (рис. 99).
Следует еще заметить, что указанное определение конического сечения может, в частности, дать и прямую линию, как это показано на рис. 98.
1Это геометрическое место, при известных обстоятельствах, может вырождаться в прямую линию; см. рис. 98.
§ 8 |
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ |
231 |
|
|
|
В этом случае прямая OO′′ соответствует сама себе, и все ее точки должны быть рассматриваемы как принадлежащие искомому геометрическому месту. Таким образом, коническое сечение вырождается в пару прямых: это обстоятельство вполне согласуется с тем фактом, что существуют сечения конуса, состоящие из двух прямых (если секущая плоскость проходит через вершину конуса).
98 O 7
10 |
6 |
11 |
5 |
|
|
12 |
4 |
|
|
13 |
3 |
14 |
2 |
|
|
|
1 |
15 |
|
16 |
24 |
17 |
23 |
|
|
18 |
22 |
19 O′ 20 |
21 |
Рис. 99. Образование окружности и равносторонней гиперболы с помощью проективных пучков
Упражнения. 1) Вычертите эллипсы, гиперболы и параболы с помощью проективных пучков. (Читателю настойчиво рекомендуется экспериментировать с подобного рода построениями. Это в высшей степени способствует пониманию сути дела.)
2) Дано пять точек O, O′, A, B, C некоторого конического сечения K. Найдите точки пересечения D произвольной прямой d пучка O с кривой K. (Указание: через O проведите прямые OA, OB, OC и назовите их a, b, c. Через O′ проведите прямые O′A, O′B, O′C и назовите их a′, b′, c′. Проведите через O прямую d и постройте такую прямую d′ пучка O′, что (abcd) = (a′b′c′d′). Тогда точка пересечения d и d′ принадлежит кривой K.)
3. Конические сечения как «линейчатые кривые». Понятие касательной к коническому сечению принадлежит проективной геометрии, так как касательная к коническому сечению есть прямая, имеющая с самой кривой только одну общую точку, а это — свойство, сохраняющееся при проектировании. Проективные свойства касательных к коническим сечениям основываются на следующей теореме:
232 |
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА |
гл. IV |
|
|
|
Двойное отношение точек пересечения четырех фиксированных касательных к коническому сечению с произвольной пятой касательной не зависит от выбора этой пятой касательной.
Доказательство этой теоремы весьма просто. Так как любое коническое сечение есть проекция окружности и так как в теореме идет речь только о таких свойствах, которые инвариантны относительно проектирования, то, чтобы доказать теорему в общем случае, достаточно доказать ее для частного случая окружности.
Для этого же частного случая теорема доказывается средствами элементарной геометрии. Пусть P, Q, R, S — четыре точки на окружности K; a, b, c, d — касательные в этих точках; T — еще какая-нибудь точка на окружности, o — касательная в ней; пусть, далее, A, B, C, D — точки пе-
ресечения касательной o с касательными a, b, c, d. Если M — центр окружности, то, очевидно, TMA = 21 TMP, и последнее выражение
представляет угол, вписанный в K, опирающийся на дугу TP. Таким же образом TMB представляет угол, вписанный в K и опирающийся на дугу TQ. Следовательно,
AMB = 12 PQ,
где 12 PQ обозначает угол, вписанный в K и опирающийся на дугу PQ.
Отсюда видно, что A, B, C, D проектируются из M четырьмя прямыми, углы между которыми имеют величины, зависящие только от положения
A |
o |
B C |
d |
D |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
c |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
b
Q 
M
a
P
Рис. 101. Свойство касательной к окружности
§ 8 |
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ |
233 |
|
|
|
точек P, Q, R, S. Ho тогда двойное отношение (ABCD) зависит только от четырех касательных a, b, c, d, но не от касательной o. Как раз это и нужно было установить.
В предыдущем пункте мы имели случай убедиться, что коническое сечение может быть построено «по точкам», если станем отмечать точки пересечения взаимно соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Только что доказанная теорема дает нам возможность сформулировать двойственную теорему. Возьмем две касательные a и a′ к коническому сечению K. Третья касательная t пусть пересекает a и a′ соответственно в точках A и A′. Если t будет перемещаться вдоль кривой, то установится соответствие
A ←→ A′
между точками a и точками a′. Это соответствие будет проективным, так как по доказанной теореме произвольная четверка точек на a будет непременно иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка
D
C
B
A
a a′
C′ |
D′ |
A′ |
B′ |
Рис. 102. Проективные ряды точек на двух касательных к эллипсу
точек на a′. Отсюда следует, что коническое сечение K, рассматриваемое как «совокупность своих касательных», «состоит» из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки двух точечных рядов 1 на a и на a′, находящихся в проективном соответствии. Указанное обстоятельство позволяет ввести новое определение конических сечений, рассматриваемых на этот раз как «линейчатые кривые». Сравним это определение с
1Совокупность точек на прямой называется точечным рядом. Это понятие двойственно по отношению к пучку прямых.
234 |
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА |
гл. IV |
|
|
|
прежним проективным определением конического сечения, данным в предыдущем пункте:
I
Коническое сечение, рассматриваемое как совокупность точек, состоит из точек пересечения взаимно соответствующих прямых в двух проективных
пучках.
II
Коническое сечение, рассматриваемое как «совокупность прямых», состоит из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки в двух проективных
рядах.
Если мы станем считать касательную к коническому сечению в некоторой его точке двойственным элементом по отношению к самой точке и условимся, кроме того, «линейчатую кривую» (образованную совокупностью касательных) на основе двойственности сопоставлять «точечной кривой» (образованной совокупностью точек), то предыдущие формулировки будут безупречны с точки зрения принципа двойственности. При «переводе» одной формулировки в другую с заменой всех понятий соответствующими двойственными понятиями, «коническое сечение» остается неизменным; но в одном случае оно мыслится как «точечная кривая», определяемая своими точками, в другом — как «линейчатая кривая», определяемая своими касательными.
Из предыдущего вытекает важное следствие: принцип двойственности, первоначально установленный в проективной геометрии плоскости только для точек и прямых, оказывается, может быть распространен и на конические сечения. Если в формулировке любой теоремы, касающейся точек, прямых и конических сечений, заменить каждый элемент ему двойственным (не упуская из виду, что точке конического сечения должна быть сопоставляема касательная к этому коническому сечению),
то в результате также получится справедливая теорема. Пример действия этого принципа мы встретим в пункте 4 настоящего параграфа.
Построение конических сечений, понимаемых как «линейчатые кривые», показано на рис. 103–104. В частности, если в двух проективных точечных рядах бесконечно удаленные точки соответствуют взаимно одна другой (так будет непременно, если точечные ряды конгруэнтны или подобны 1), то коническое сечение будет параболой; справедливо и обратное утверждение.
Упражнение. Докажите обратную теорему: на двух неподвижных касательных к параболе движущаяся касательная к параболе определяет два подобных точечных ряда.
1Что такое «конгруэнтные» и «подобные» точечные ряды, достаточно понятно без объяснений.
§ 8 |
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ |
235 |
|
|
|
Рис. 103. Парабола, определенная конгруэнтными точечными рядами
Рис. 104. Парабола, определенная подобными точечными рядами
236 |
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА |
гл. IV |
|
|
|
4. Теоремы Паскаля и Брианшона для общего случая произвольных конических сечений. Одной из лучших иллюстраций принципа двойственности применительно к коническим сечениям является взаимоотношение между общими теоремами Паскаля и Брианшона. Первая из них была открыта в 1640 г., вторая — в 1806 г. И, однако, каждая из них есть непосредственное следствие другой, так как всякая теорема, формулировка которой упоминает только конические сечения, прямые и точки, непременно остается справедливой при изменении формулировки по принципу двойственности.
Теоремы, доказанные в § 5 под теми же наименованиями, представляют собой «случаи вырождения» следующих более общих теорем.
Теорема Паскаля. Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных точках.
2
1 |
3
4
5 |
6 |
|
Рис. 105. Общая конфигурация Паскаля. Показаны два случая: один для шестиугольника 1, 2, 3, 4, 5, 6, другой для шестиугольника 1, 3, 5, 2, 6, 4
Теорема Брианшона. Три диагонали, соединяющее противоположные вершины шестиугольника, описанного около конического сечения, конкуррентны.
Обе теоремы имеют очевидное проективное содержание. Их двойственность бросается в глаза, если сформулировать их следующим образом:
Теорема Паскаля. Дано шесть точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 на коническом сечении. Соединим последовательные точки прямыми (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Отметим точки пересечения прямых (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три точки лежат на одной прямой.
§ 8 |
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ |
237 |
|
|
|
Теорема Брианшона. Дано шесть касательных 1, 2, 3, 4, 5, 6 к коническому сечению. Последовательные касательные пересекаются в точках (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Проведем прямые, соединяющие точки (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три прямые проходят через одну точку.
|
|
2 |
|
|
3 |
1 |
Y |
|
|
||
|
|
C |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
F |
5 |
6 |
|
X
A
B
D E
Рис. 106. Общая конфигурация Брианшона. |
Рис. 107. Доказательство теоремы |
Показаны только два случая |
Паскаля |
Доказательства проводятся с помощью специализации такого же рода, как и в рассмотренных раньше случаях вырождения. Докажем теорему Паскаля. Пусть A, B, C, D, E, F — вершины шестиугольника, вписанного в коническое сечение K. Посредством проектирования можно сделать параллельными прямые AB и ED, FA и CD (и тогда получится конфигурация, изображенная на рис. 107; ради удобства шестиугольник на чертеже взят самопересекающимся, хотя в этом нет никакой необходимости.) Нам нужно теперь доказать только одно: что прямая CB параллельна прямой FE; другими словами, что противоположные стороны пересекаются на бесконечно удаленной прямой. Для доказательства рассмотрим четверку точек F, A, B, D, которая, как мы знаем, при проектировании из любой точки K сохраняет одно и то же двойное отношение, скажем, k. Станем проектировать из точки C на прямую AF; получим четверку точек F, A, Y,
∞, причем
k = (F, A, Y, ∞) = YFYA
(см. стр. 211).
238 |
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА |
гл. IV |
|
|
|
l3 |
m |
p l1 |
l2 |
|
Рис. 108. Построение прямых, пересекающих три данные прямые общего положения
Станем теперь проектировать из точки E на прямую BA; получим четверку точек X, A, B, ∞, причем
k = (X, A, B, ∞) = BABX .
Итак,
BX YF ,
BA = YA
что как раз и означает, что YB k FX. Доказательство теоремы Паскаля закончено.
Теорема Брианшона, как было указано, следует из теоремы Паскаля по принципу двойственности. Но ее можно доказать и непосредственно — путем рассуждения, двойственного относительно только что приведенного. Провести это рассуждение во всех деталях будет прекрасным упражнением для читателя.
5. Гиперболоид. В трехмерном пространстве мы встречаемся с так называемыми квадриками (поверхностями второго порядка), которые в данном случае играют ту же роль, что «конические сечения» (кривые второго порядка) на плоскости.
Простейшими из них являются сфера и эллипсоид. Квадрики более разнообразны, чем конические сечения, и изучение их связано с большими´ трудностями. Мы рассмотрим бегло и без доказательств одну из самых интересных поверхностей этого типа: так называемый связный (или однополостный) гиперболоид.
§ 8 |
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ |
239 |
|
|
|
Эта поверхность может быть получена следующим образом. Возьмем в пространстве три прямые l1, l2, l3, находящиеся в общем положении. Последнее означает, что никакие две из них не параллельны и все три не являются параллельными одной и той же плоскости. Может показаться удивительным, что существует бесконечное множество прямых в пространстве, из которых каждая пересекается со всеми тремя данными прямыми. Убедимся в этом.
Пусть p — произвольная плоскость, содержащая прямую l1; эта плоскость пересекает прямые l2 и l3 в двух точках, и прямая m, проведенная через эти две точки, очевидно, пересекается со всеми прямыми l1, l2
иl3. Когда плоскость p вращается около прямой l1, прямая m будет изменять свое положение, однако все время продолжая пересекаться с тремя данными прямыми. При движении m возникает поверхность, неограниченно уходящая в бесконечность, которая и называется однополостным гиперболоидом. Она содержит бесконечное множество прямых типа m. Любые три такие прямые, ска-
жем m1, m2 и m3, также будут находиться в общем положении,
ите прямые в пространстве, ко-
торые будут пересекаться с тремя прямыми m1, m2 и m3 одновременно, также будут лежать
на рассматриваемой поверхности. Отсюда следует основное свойство гиперболоида: он составляется из двух различных семейств прямых линий; каждые три линии одного и того же семейства находятся в общем положении и каждая прямая одного семейства пересекается со всеми прямыми другого.
Важное проективное свойство гиперболоида заключается в том, что двойное отношение тех четырех точек, в которых данная четверка прямых одного семейства пересекается с некоторой прямой второго семейства, не зависит от выбора этой последней. Это утверждение вытекает из метода