Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Г Л А В А IV

Проективная геометрия. Аксиоматика. Неевклидовы геометрии

§1. Введение

1.Классификация геометрических свойств. Инвариантность при преобразованиях. В геометрии рассматриваются свойства фигур на плоскости и в пространстве. Эти свойства столь многочисленны и столь разнообразны, что необходим какой-то принцип классификации для того, чтобы внести порядок в обширное собрание накопленных знаний. Можно было бы, например, положить в основу классификации метод, применяемый при выводе получаемых утверждений. С этой точки зрения обыкновенно различаются «синтетические» и «аналитические» процедуры. Синтетические доказательства существенно связаны с классическим аксиоматическим методом, идущим от Евклида: рассуждение строится на чисто геометрической основе, независимо от средств алгебры и концепции числового континуума, и все теоремы выводятся формально логическим путем, исходя из некоторого числа начальных положений, называемых аксиомами или постулатами. Другой метод подразумевает введение числовой координатной системы и использует технический аппарат алгебры. Этот метод произвел глубокие изменения в самой математической науке, слив

водно органическое целое геометрию, анализ и алгебру.

В этой главе, однако, нас будет интересовать не столько классификация методов, сколько классификации содержания, т. е. сами по себе утверждения теорем, а не способы их доказательства. В элементарной геометрии плоскости резко различаются две группы теорем; в одних идет речь о равенстве фигур, об измерении отрезков и углов, в других — о подобии фигур, для которого существенно измерение углов, но не отрезков. Указанное различие не столь уж существенно, так как длины отрезков и величины углов довольно тесно связаны между собой и разделять их — несколько искусственно. (Изучение этой связи составляет главным образом предмет тригонометрии.) Отметим иную сторону дела. В элементарной геометрии мы имеем дело с величинами: отрезками, углами, площадями. Две фигуры там считаются эквивалентными, если они конгруэнтны, т. е. могут

быть переведены одна в другую посредством движения — преобразования, меняющего только положение фигуры, но не числовые значения величин, с ней связанных. Возникает вопрос: является ли значение величин — и вместе с тем конгруэнтность или подобие фигур — чем-то существенно неизменным в геометрии? Или же имеются иные, более глубоко лежащие свойства геометрических фигур, которые сохраняются также и при преобразованиях более общего типа, чем движения? Мы увидим, что такие свойства существуют.

Рис. 69. Сжатие окружности

Представим себе, что на прямоугольной доске, изготовленной из мягкого эластичного материала, нарисован круг с парой взаимно перпендикулярных диаметров (рис. 69). Если мы положим эту доску в тиски и сожмем до половины ее первоначальной ширины, то окружность превратится в эллипс и углы между диаметрами уже не будут прямыми. Окружность обладает тем свойством, что все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от центра, но эллипс таким свойством не обладает. Могло бы показаться, что сжатие уничтожает все геометрические свойства первоначальной конфигурации. Но и это предположение далеко от истины: например, утверждение, что центр делит диаметры пополам, одинаково справедливо и для окружности, и для эллипса; в данном случае мы встречаемся с таким свойством фигуры, которое сохраняется при весьма резком изменении в размерах ее отдельных элементов. Сделанные замечания наводят на мысль о возможности классифицировать теоремы, относящиеся к той или иной геометрической фигуре, в зависимости от того, сохраняют ли они силу или теряют ее при равномерном сжатии (или растяжении). Можно поставить и более общий вопрос, исходя из некоторого данного класса преобразований фигуры (такого рода классы, например, порождаются совокупностью всех движений, или сжатий, или, скажем, круговых инверсий и т. д.); можно поинтересоваться тем, какие свойства фигуры остаются неизменными, когда фигура подвергается различным преобразованиям данного класса.

Система теорем, утверждающих такие свойства, составляет геометрию рассматриваемого класса преобразований. Идея классификации различных отраслей геометрии в соответствии с классами преобразований принадлежит Феликсу К л е й н у (1849–1925); она была высказана им в 1872 г. в его знаменитом выступлении, получившем широкую известность под названием «Эрлангенской программы». С тех пор эта идея оказала решающее влияние на направление многих геометрических исследований.

В главе V нам представится случай установить весьма удивительное обстоятельство, заключающееся в том, что некоторые свойства геометрических фигур заложены настолько глубоко, что не исчезают даже после совершенно произвольных деформаций: так, фигуры, нарисованные на куске резины, не потеряют кое-каких характеристических черт при самых разнообразных и самых резких деформациях. Но в настоящей главе мы займемся теми свойствами, которые сохраняются, «инвариантны» при некотором специальном классе преобразований, более широком, чем весьма ограниченный класс движений, но более узком, чем самый общий класс произвольных деформаций. Мы говорим о классе «проективных преобразований».

2. Проективные преобразования. Изучение относящихся сюда геометрических свойств было выдвинуто перед математиками в давнее время проблемами перспективы, которые изучались художниками, в том числе Леонардо д а В и н ч и и Альбрехтом Д ю р е р о м. Изображение, создаваемое художником, следует рассматривать как проекцию оригинала на плоскость картины, причем центр проекции помещается в глазу художника. При проектировании — в зависимости от относительных положений различных изображаемых объектов — длины отрезков и углы неизбежно подвергаются искажениям. И тем не менее на картине обычно не представляет труда распознать геометрическую структуру оригинала. Как объяснить это обстоятельство? Нельзя объяснить иначе, как указав на наличие геометрических свойств, «инвариантных относительно проектирования»,— свойств, сохраняющихся на картине и делающих возможным узнавание нарисованного оригинала. Отыскание и анализ этих свойств составляют предмет проективной геометрии.

Совершенно ясно, что в этой отрасли геометрии не содержится положительных утверждений, относящихся к длинам отдельных отрезков или к величинам отдельных углов; не идет речь и о равенстве фигур. Некоторые изолированные факты, касающиеся проективных свойств, были известны уже в XVII в., а иногда, как в случае «теоремы Менелая», даже в древности. Но систематические исследования в области проективной геометрии развернулись впервые лишь к концу XVIII столетия, когда знаменитая Ecole´ Polytechnique в Париже открыла новую страницу в истории

математики, в частности геометрии. Эта школа, созданная Французской революцией, подготовила большое число офицеров, оказавших на военной службе выдающиеся услуги своей республике. В числе ее питомцев был Жан-Виктор П о н с е л е (1788–1867), написавший свой «Трактат о проективных свойствах фигур» в 1813 г., будучи в плену в России.

В XIX в. под влиянием Ш т е й н е р а, Ш т а у д т а, Ш а л я и других проективная геометрия стала одним из излюбленных предметов математических исследований. Своей популярностью она обязана отчасти присущей ей особенной эстетической привлекательности, отчасти же способности проливать свет на геометрическую науку в целом, а также глубокой внутренней связи с неевклидовой геометрией и с алгеброй.

§2. Основные понятия

1.Группа проективных преобразований. Прежде всего определим класс, или «группу» 1, проективных преобразований. Пусть в пространстве заданы две плоскости p и p′, параллельные или непараллельные между собой. Мы выполняем центральную проекцию p на p′ с данным центром O, не лежащим ни на p, ни на p′, сопоставляя каждой точке P плоскости p такую точку P′ плоскости p′, что P и P′ лежат на одной и той же прямой, проходящей через O. Аналогично мы выполняем подобным же образом параллельную проекцию, предполагая, что проектирующие прямые параллельны между собой. Точно так же определяется проекция прямой или кривой линии l в плоскости p на некоторую линию l′ в плоскости p′, причем

ив этом случае проекция может быть центральной или параллельной. Всякое отображение одной фигуры на другую, получающееся посредст-

вом проектирования (центрального или параллельного) или же посредством конечной последовательности таких проектирований, называется проективным преобразованием 2. Проективная геометрия плоскости или прямой составляется из системы геометрических теорем, сохраняющихся при произвольных проективных преобразованиях соответствующих фигур. Проективной геометрии противопоставляется метрическая геометрия,

1Термин «группа» в применении к классу преобразований подразумевает, что последовательное выполнение двух преобразований из рассматриваемого класса есть также преобразование этого класса и что преобразование, «обратное» по отношению к преобразованию из рассматриваемого класса, также принадлежит этому классу. Групповые свойства математических операций играли и продолжают играть очень большую роль во многих областях, однако по отношению к геометрии значение понятия «группы» в свое время, возможно, было несколько преувеличено.

2Если две фигуры связаны только одним проектированием, то говорят обычно, что они перспективны. Таким образом, если сказано, что фигура F в результате проективного преобразования переходит в фигуру F′, то это значит, что или фигуры F и F′ перспек-

тивны, или же можно указать последовательность таких фигур F, F1, F2, . . . , Fn, F′, что любые две рядом стоящие в ней фигуры перспективны.

196 ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА гл. IV

которая понимается как система теорем, устанавливающих связи между величинами в рассматриваемых фигурах, инвариантные только относительно класса движений.

Некоторые проективные свойства можно формулировать непосредственно. Точка, разумеется, проектируется в точку. Далее, прямая линия проектируется в прямую: в самом деле, если прямая l в плоскости проектируется на плоскость p′, то линия пересечения l′ плоскости p с плоскостью, проходящей через O и l, — обязательно прямая 1. Если точка A и прямая l инцидентны 2, то точка A′ и прямая l′, возникающие из них при проективном преобразовании, также инцидентны. Другими словами, инцидентность точки и прямой есть свойство, инвариантное относительно группы проективных преобразований. Из этого обстоятельства вытекает ряд простых, но весьма важных следствий. Если три точки (или более трех точек) коллинеарны, т. е. инцидентны с одной и той же прямой, то их отображения также коллинеарны. Аналогично, если в плоскости p три прямые (или более трех прямых) конкуррентны, т. е. инцидентны с одной и той же точкой, то их отображения — также конкуррентные прямые. В то время как эти простые свойства — инцидентность, коллинеарность, конкуррентность — являются проективными свойствами (т. е. свойствами, инвариантными относительно проективных преобразований), величины отрезков и углов, а также и отношения этих величин, вообще говоря, изменяются при проектировании. Равнобедренные или равносторонние треугольники могут, например, спроектироваться на треугольники с тремя различными сторонами. Отсюда следует, что хотя понятие «треугольник» принадлежит проективной геометрии, понятие «равносторонний треугольник» ей не принадлежит, а принадлежит только метрической геометрии.

2. Теорема Дезарга. Одним из самых ранних открытий в области проективной геометрии является замечательная теорема Д е з а р г а (1593– 1662): если на плоскости два треугольника ABC и A′B′C′ расположены таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны, то три точки, в которых пересекаются, будучи продолжены, три соответственные стороны, коллинеарны. Эта теорема здесь иллюстрируется чертежом (рис. 72), но пусть читатель проверит ее справедливость, экспериментируя на самостоятельно построенных чертежах. Доказательство теоремы не является тривиальным,

1За исключением того случая, когда прямая OP (или плоскость, проходящая через O и l) оказывается параллельной плоскости p. Такие исключения будут устранены в § 4.

2Точка и прямая называются инцидентными, если прямая проходит через точку или точка лежит на прямой. Этот «нейтральный» термин подчеркивает взаимность рассматриваемого отношения.

несмотря на всю простоту чертежа, состоящего только из прямых линий. Теорема явственно принадлежит проективной геометрии, так как при проектировании рассматриваемый чертеж не теряет свойств, упомянутых в теореме. В дальнейшем мы еще вернемся к этой теореме (стр. 213). В настоящий же момент мы хотели бы привлечь внимание читателя к тому

C

C′

B B′

O

A A′

Рис. 72. Конфигурация Дезарга на плоскости

любопытному обстоятельству, что теорема Дезарга справедлива также и

втом предположении, что рассматриваемые треугольники расположены

вдвух различных (непараллельных) плоскостях и что подобного рода «трехмерная», или «пространственная» теорема Дезарга доказывается без малейших затруднений. По предположению, прямые AA′, BB′ и CC′ пересекаются в одной и той же точке O (рис. 73). В таком случае прямые AB и A′B′ лежат в одной плоскости и, значит, пересекаются в некоторой точке R; пусть, таким же образом, AC и A′C′ пересекаются в точке Q, а BC и B′C′ — в точке P. Так как точки P, Q и R находятся на продолжениях сторон треугольников ABC и A′B′C′, то все они лежат в плоскости каждого из этих треугольников и потому — на прямой пересечения этих двух плоскостей. Значит P, Q и R коллинеарны, что и требовалось доказать.

Это простое доказательство наводит на мысль, что можно попытаться доказать «двумерную» теорему Дезарга, так сказать, с помощью перехода к пределу, постепенно сплющивая всю пространственную конструкцию таким образом, чтобы две плоскости в пределе совпали в одну, и в этой последней, вместе с другими, оказалась и точка O. Выполнить, однако, указанный предельный переход не так просто, так как прямая пересечения PQR при совмещении плоскостей не определяется однозначно.

O

B

C A Q

R

Рис. 73. Конфигурация Дезарга в пространстве

Тем не менее конфигурация, изображенная на рис. 72, может быть истолкована как перспективное изображение пространственной конфигурации рис. 73, и это обстоятельство можно использовать при доказательстве «плоской» теоремы.

Есть существенное различие между теоремой Дезарга на плоскости и в пространстве. Наше доказательство, относящееся к случаю трех измерений, опиралось только на геометрические соображения, относящиеся к инцидентности точек, прямых и плоскостей. Можно показать, что доказательство двумерной теоремы — при дополнительном требовании не выходить из данной плоскости — неизбежно должно опираться на некоторые свойства подобных фигур, принадлежащих уже не проективной, а метрической геометрии.

Теорема, обратная теореме Дезарга, утверждает, что если три точки, в которых пересекаются соответственные стороны, коллинеарны, то прямые, соединяющие соответственные вершины, конкуррентны. Доказательство этой теоремы — в случае, когда треугольники лежат в непараллельных плоскостях, — предоставляется читателю в качестве упражнения.

§3. Двойное отношение

1.Определение и доказательство инвариантности. Если длина отрезка прямой представляет собой своего рода ключ к метрической геометрии, то существует и в проективной геометрии одно основное понятие, с помощью которого могут быть выражены все отличительные проективные свойства фигур.