Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

круг, равна радиусу круга, то сам шестиугольник строится без затруднений, если мы отложим шесть раз по окружности отрезок, равный радиусу.

Имея правильный n-угольник, можно сейчас же получить и правильный 2n-угольник, деля пополам дуги между соседними вершинами n-угольника. Начиная с диаметра круга (правильного вписанного «двуугольника»), мы построим последовательно 4, 8, 16, . . . , 2n-уголь- ники. Таким же образом, начиная с шестиугольника, мы получим 12, 24, 48, . . .-угольники, а начиная с десятиугольника, — 20, 40, . . .-угольники.

D

Если sn обозначает длину стороны правильного n-угольника, вписанного в единичный круг (т. е. круг с радиусом 1), то сторона правильного вписанного 2n-уголь-

r

q

p √

s32 = 2 − 2 + 2 + 2 и т. д.

В качестве общей формулы мы получаем (при n > 2)

s

r

q √ s2n = 2 − 2 + 2 + . . . + 2,

причем в правой части должно быть всего n − 1 радикалов. Периметр 2n-угольни- ка, вписанного в круг радиуса 1, равен 2ns2n . Когда n стремится к бесконечности, этот периметр в пределе переходит в длину окружности, по определению равную 2 :

2ns2n → 2p при n → ∞.

Деля на два и подставляя m вместо n − 1, мы получаем следующую формулу для p:

Упражнение. Пользуясь тем, что 2m → ∞, докажите, как следствие, что

r

q√

Резюмируем полученные здесь результаты таким образом: стороны вписанных в единичный круг правильных 2n-угольников, 5 · 2n-уголь- ников и 3 · 2n-угольников вычисляются посредством рациональных операций — сложения, вычитания, умножения, деления — и операции извлечения квадратного корня; следовательно, они могут быть построены с помощью только циркуля и линейки.

3. Проблема Аполлония. Другая конструктивная проблема, решающаяся весьма просто, если подойти к ней с алгебраической точки зрения, — это знаменитая и уже упомянутая выше проблема Аполлония о проведении окружности, касательной к трем данным окружностям. В настоящем контексте нам не представляется необходимым искать ее особенно элегантное решение. Нам существенно лишь установить принципиально важное положение: проблема Аполлония решается с помощью циркуля и линейки. Мы вкратце приведем соответствующее доказательство; вопрос же о наиболее элегантном построении будет разобран ниже (см. стр. 187).

Пусть центры трех данных окружностей имеют соответственно коорди-

наты (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3), а радиусы равны r1, r2 и r3. Обозначим координаты центра искомой окружности через (x, y), а радиус через r. Легко

написать условие касания двух окружностей, если учесть, что расстояние между центрами должно равняться сумме или разности радиусов, смотря по тому, имеет ли место внешнее или внутреннее касание. Записывая в

Рис. 35. Окружности Аполлония

алгебраической форме три условия задачи, мы получаем три уравнения

ит. п.

Вкаждом из уравнений нужно брать знак плюс или минус, в зависимости от того, каково касание — внешнее или внутреннее (рис. 35). Все уравнения (1), (2), (3) — второй степени относительно неизвестных x, y, r, но они обладают тем свойством, что члены второй степени входят в одинаковой комбинации, как видно из развернутой формы (1a). Таким образом, вычитая (2) из (1), мы получаем уравнение, линейное относительно x, y, r:

где a = 2(x2 − x1) и т. д. Точно так же, вычитая (3) из (1), будем иметь другое линейное уравнение

Решая уравнения (4) и (5) относительно неизвестных x и y, которые, таким образом, выразятся линейно через r, и затем подставляя в (1), придем к

уравнению, квадратному относительно r, каковое может быть решено с помощью рациональных операций и извлечения корня (см. стр. 149). Это уравнение, вообще говоря, будет иметь два решения, из которых лишь одно будет положительным. Определив r, найдем дальше значения x и y, подставляя r в ранее полученные формулы. Окружность с центром (x, y) и радиусом r должна быть касательной к трем данным окружностям. Во всей процедуре решения участвуют только рациональные операции и извлечение квадратного корня. Отсюда следует, что построение x, y и r может быть выполнено с помощью только циркуля и линейки.

В общем случае будет иметься 8 решений проблемы Аполлония в соответствии с возможными 2 · 2 · 2 = 8 комбинациями в выборе знаков + и − в уравнениях (1), (2) и (3); выбор же знаков надлежит делать в зависимости от того, какого рода касание — внешнее или внутреннее — желательно иметь по отношению к каждой из данных окружностей. Вполне возможно, что наша алгебраическая процедура не приведет к действительным значениям x, y и r. Таков будет, например, случай, когда все три данные окружности — концентрические; тогда, очевидно, наша геометрическая задача не будет иметь ни одного решения. Следует также предвидеть возможность и случаев «вырождения»; например, если все три окружности «вырождаются» в точки, лежащие на одной прямой, тогда аполлониева окружность тоже «вырождается» в эту самую прямую. Мы не видим необходимости рассматривать вопрос во всех подробностях: это сделает сам читатель, если обладает некоторыми алгебраическими навыками.

§2. Числа, допускающие построение, и числовые поля

1.Общая теория. В предыдущем изложении мы постарались охарактеризовать общий, так сказать, алгебраический фон геометрических построений. Каждое геометрическое построение представляет ряд последовательных этапов из числа следующих: 1) проведение прямой линии через две точки, 2) нахождение точки пересечения двух прямых, 3) проведение окружности с данным центром и радиусом, 4) нахождение точки пересечения окружности с другой окружностью или прямой линией. Элемент (точка, прямая, окружность) считается известным в том случае, если он задается условием задачи или если он построен на предыдущей стадии задачи. Проводя теоретический анализ задачи, мы относим всю рассматриваемую конструкцию к некоторой координатной системе x, y (см. стр. 99). Тогда заданные элементы изображаются в виде точек или отрезков в плоскости x, y. Если задан только один отрезок, его можно принять в качестве единичного,

врезультате чего фиксируется точка x = 1, y = 0. Иногда в процессе построения возникают произвольные элементы: проводятся произвольные прямые, строятся произвольные точки или круги. (Пример произвольного

элемента мы имеем при нахождении середины отрезка: мы проводим два круга с центрами в концах отрезка и с одинаковыми, но произвольными радиусами, затем соединяем точки их пересечения.) В подобных случаях всегда можно считать произвольный элемент рациональным: произвольную точку можно выбрать так, чтобы у нее были рациональные координаты, произвольную прямую ax + by + c = 0 так, чтобы у нее были рациональные коэффициенты a, b, c, произвольный круг — так, чтобы рациональными были координаты центра и радиус. Мы условимся, что если в построении участвуют произвольные элементы, мы будем выбирать их рациональными: раз эти элементы в самом деле произвольны, такой выбор не повлияет на результат построения.

Ради простоты допустим в ближайшем рассуждении, что в условии задачи задается только один элемент — отрезок длины 1. Тогда в соответствии с результатами § 1 мы можем построить с помощью циркуля и линейки все числа, получающиеся из единицы посредством рациональных

операций, т. е. рациональные числа sr , где r и s — целые числа. Система

рациональных чисел «замкнута» по отношению к рациональным операциям: сумма, разность, произведение, частное (исключая, как всегда, деление на 0) двух рациональных чисел снова являются рациональными числами. Всякое множество чисел, обладающее таким свойством замкнутости по отношению к четырем рациональным операциям, мы назвали числовым полем (стр. 81).

Упражнение. Покажите, что каждое числовое поле во всяком случае содержит все рациональные числа. (Указание: если a есть какое-нибудь не равное нулю

число из поля F, то aa = 1 также принадлежит к F, а из 1 можно получить все рациональные числа посредством рациональных операций.)

Отправляясь от единицы, можно построить все рациональное числовое поле и, следовательно, все рациональные точки (т. е. точки, у которых обе координаты рациональны) в плоскости x, y. Дальше, с помощью циркуля можно построить новые, иррациональные числа вроде числа √2, которое, как мы знаем из главы II, § 2, находится уже за пределами рационального поля. Но построив √2, можно еще дальше с помощью «рациональных» построений (§ 1) получить все числа вида

где a и b рациональные и, следовательно, сами допускают построение. Можно также построить и числа вида

единичный. Предположим, что второй отрезок выражается через первый в виде числа a. Тогда можно построить поле G, состоящее из всех чисел вида

amam + m−1am−1 + . . . + a1a + a0 , bnan + bn−1an−1 + . . . + b1a + b0

где a0, . . . , am и b0, . . . , bn — рациональные, m и n — произвольные целые положительные числа.

Будем исходить теперь из более общего предположения, что мы умеем строить все числа некоторого числового поля F. Убедимся, что применение одной линейки не выведет нас за пределы поля F. Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами a1, b1 и a2, b2 из

поля F, имеет вид (b1 − b2)x + (a2 − a1)y + (a1b2 − a2b1) = 0 (см. стр. 522 и далее); коэффициенты в этом уравнении рационально зависят от чисел

из поля F и, следовательно, сами принадлежат полю F. Далее, если у нас имеются две прямые ax + by + g = 0 и a′x + b′y + g′ = 0 с коэффициентами из F, то координаты точки пересечения, получающиеся при решении системы этих уравнений, суть

Так как и они тоже являются числами из F, то ясно, что применение одной только линейки не выведет нас за пределы F.

Упражнение. Прямые x + √2y − 1 = 0, 2x − y + √2 = 0 имеют коэффициенты, принадлежащие полю (1). Вычислите коэффициенты точки их пересечения и проверьте, что они также вида (1); соедините точки (1, √2) и (√2, 1 − √2) прямой линией ax + by + c = 0 и проверьте, что коэффициенты a, b, c имеют вид (1). То же сделйте по отношению к полю (2) для прямых

где a, b — произвольные числа из F. Сумма и разность двух таких чисел

§ 2 ЧИСЛА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОСТРОЕНИЕ 157

Мы убедились, что, отправляясь от некоторого поля F чисел, допускающих построение, и выбрав произвольное число k из этого поля, мы можем с помощью циркуля и линейки построить число √k, а значит, и все числа вида a + b√k, где a, b принадлежат F.

Покажем теперь, обратно, что, пользуясь только циркулем, мы можем получить числа только указанного вида. В самом деле, в результате однократного применения циркуля можно сделать только одно из двух: или найти точку пересечения окружности и прямой, или найти точку пересечения двух окружностей (то и другое равносильно построению координат точки пересечения). Окружность с центром (x, h) и радиусом r имеет уравнение (x − x)2 + (y − h)2 = r2; поэтому, если x, h, r принадлежат F, то уравнение окружности, записанное в виде

x2 + y2 + 2ax + 2by + g = 0,

§ 2 ЧИСЛА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОСТРОЕНИЕ 159

можно положить b = 0. (Предполагается, что √k есть новое число, не принадлежащее F; иначе F′ совпало бы с F.) Мы убедились, что в результате каждого геометрического построения (т. е. проведения прямой через две известные точки; проведения окружности, имеющей известный центр и известный радиус; нахождения пересечения двух известных прямых или окружностей) или получаются величины, принадлежащие первоначальному полю, или же, при построении квадратного корня, открывается новое, расширенное поле величин, допускающих построение.

Мы теперь в состоянии точно охарактеризовать совокупность всех величин, допускающих построение с помощью только циркуля и линейки. Будем исходить из некоторого поля F0, определяемого величинами, входящими в условие задачи; например, это будет поле рациональных чисел,

Повторяя эту процедуру, приходим вообще к полю Fn после «присоединения» n квадратных корней. С помощью только циркуля и линейки допускают построение те и только те числа, которые после конечного числа «присоединений» описанного выше типа включаются в расширенное поле Fn. Число n необходимых «присоединений» не имеет особенно большого значения; но оно до некоторой степени характеризует, насколько сложна рассматриваемая проблема.

Иллюстрируем описанную процедуру следующим примером. Нужно по-

уже в F3, значит, и подавно — в F5.

Упражнение. Отправляясь от рационального поля, проверьте, что сторона правильного 2m-угольника (см. стр. 151) допускает построение (n = m − 1). Проследите за тем, какова последовательность постепенно расширяемых полей.