Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

образом. Напишем подряд все натуральные числа от 2 до N, затем вычеркнем все числа, являющиеся кратными 2 (не считая самого числа 2), все числа, являющиеся кратными 3 (не считая 3), и т. д., пока не будут вычеркнуты все составные числа. Эта процедура, известная под названием «решета Эратосфена», позволит выловить все простые числа в пределах от 2 до N. Усовершенствования этого метода мало-помалу привели к тому, что в настоящее время составлены вполне надежные таблицы простых чисел примерно до 10000000. Они предоставляют в наше распоряжение обширнейший эмпирический материал, позволяющий судить о распределении и свойствах простых чисел. Основываясь на этих таблицах, мы можем высказать ряд в высшей степени правдоподобных гипотез — совершенно так, как будто бы теория чисел была экспериментальной наукой. Часто доказательство этих гипотез оказывается необычайно затруднительным.

а. Формулы, дающие простые числа

Были сделаны попытки найти элементарные арифметические формулы, которые давали бы только простые числа, хотя бы без требования, чтобы они давали все простые числа. Ферма высказал предположение (не выставляя его в качестве положительного утверждения), что все числа вида

F(n) = 22n + 1

являются простыми. В самом деле, при n = 1, 2, 3, 4 мы получаем F(1) = 22 + 1 = 5,

F(2) = 222 + 1 = 24 + 1 = 17,

F(3) = 223 + 1 = 28 + 1 = 257, F(4) = 224 + 1 = 216 + 1 = 65537

— всё простые числа. Но в 1732 г. Эйлер разложил на множители число 225 + 1 = 641 · 6700417; таким образом, число F(5) — уже не простое. Позднее среди этих «чисел Ферма» удалось обнаружить другие составные числа, причем ввиду непреодолимых трудностей, с которыми были связаны непосредственные пробы, в каждом случае были выработаны более глубокие теоретико-числовые методы. В настоящее время остается неизвестным даже то, дает ли формула Ферма бесконечное множество простых чисел.

Вот другое простое и замечательное выражение, дающее много простых

чисел:

f(n) = n2 − n + 41.

При n = 1, 2, 3, . . . , 40 f(n) есть простое число; но уже при n = 41 про-

стого числа не получается:

f(41) = 412.

Выражение

n2 − 79n + 1601

дает простые числа до n = 79 включительно; при n = 80 получается составное число.

В итоге можно сказать, что поиски элементарных формул, дающих только простые числа, оказались тщетными. Еще менее обнадеживающей следует считать задачу нахождения такой формулы, которая давала бы только простые числа и притом все простые числа.

б. Простые числа в арифметических прогрессиях

Если доказательство того, что в последовательности всех натуральных чисел n = 1, 2, 3, 4, . . . содержится бесконечное множество простых чисел, носит вполне элементарный характер, то следующий шаг в сторону таких последовательностей, как, например, 1, 4, 7, 10, 13, . . . или 3, 7, 11, 15, 19, . . ., или, вообще говоря, в сторону произвольной арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . . (где a и d не имеют общих множителей), оказался связанным с гораздо большими´ трудностями. Все наблюдения только подтверждали тот факт, что в каждой такой прогрессии содержится бесконечное число простых чисел, как и в простейшей из них 1, 2, 3, . . . Но понадобились величайшие усилия для того, чтобы доказать эту общую теорему. Успех был достигнут Лежёном Д и р и х л е (1805–1859), одним из ведущих математиков прошлого столетия, который применил при доказательстве самые усовершенствованные средства математического анализа из известных в то время. Его замечательные работы в этой области даже для настоящего времени остаются непревзойденными; прошло около ста лет, но доказательства Дирихле все еще не упрощены настолько, чтобы они могли быть поняты теми, кто не овладел полностью техникой математического анализа и теорией функций.

Мы не будем здесь пытаться привести доказательство общей теоремы Дирихле, а ограничимся рассмотрением более легкой задачи: обобщим евклидово доказательство о существовании бесконечного множества простых чисел таким образом, чтобы оно охватило некоторые специальные прогрессии, например 4n + 3 или 6n + 5. Рассмотрим первую из этих прогрессий. Заметим прежде всего, что всякое простое число, большее 2, — непременно нечетное (иначе оно делилось бы на 2) и, следовательно, имеет вид 4n + 1 или 4n + 3 (при целом n). Далее, произведение двух чисел вида 4n + 1 также есть число того же вида, так как

(4a + 1)(4b + 1) = 16ab + 4a + 4b + 1 = 4(4ab + a + b) + 1.

Допустим теперь, что существует лишь конечное число простых чисел вида 4n + 3; обозначим их p1, p2, . . . , pn и рассмотрим число

N = 4(p1p2 . . . pn) − 1 = 4(p1 . . . pn − 1) + 3.

Одно из двух: либо число N — простое, либо оно разлагается в произведение простых чисел, среди которых, однако, не может быть ни одного из чисел p1, p2, . . . , pn, так как эти числа делят N с остатком −1.

Заметим далее, что все множители, входящие в N, не могут быть вида 4n + 1, так как само N не этого вида, а мы видели, что произведение чисел вида 4n + 1 является числом того же вида. Итак, хоть один из множителей, входящих в N, должен быть вида 4n + 3, а это невозможно, так как ни одно из чисел p не входит множителем в N, а числами p все простые числа вида 4n + 3 по предположению исчерпываются. Таким образом, допуская, что существует лишь конечное число простых чисел вида 4n + 3, мы приходим к противоречию, и значит, таких чисел бесконечно много.

Упражнение. Докажите соответствующую теорему для прогрессии 6n + 5.

в.Теорема о распределении простых чисел

Висследованиях, связанных с законом распределения простых чисел, решительный шаг был сделан тогда, когда математики отказались от тщетных попыток найти элементарную математическую формулу, которая давала бы все простые числа или же точное число простых чисел, содержащихся среди n первых натуральных чисел, и сосредоточили вместо того внимание на распределении в среднем простых чисел среди всех натуральных.

При всяком целом n обозначим через An число простых чисел среди чисел 1, 2, 3, . . . , n. Если мы выделим среди первых чисел натурального ряда

те, которые являются простыми, то не составит труда подсчитать ряд значений An:

A1 = 0, A2 = 1, A3 = A4 = 2, A5 = A6 = 3,

Возьмем теперь какую-нибудь неограниченно возрастающую последовательность значений n, например

n = 10, 102, 103, 104, . . . ; тогда соответствующие значения An

A10, A102 , A103 , A104 , . . .

также будут возрастать безгранично (хотя и более медленно). Действительно, множество простых чисел, как мы уже знаем, бесконечно, и потому значения An рано или поздно станут больше любого назначенного числа.

приближения, по-видимому, улучшается при возрастании n. Насколько удовлетворительно приближение, можно судить по отношению Ann : ln1n ,

значения которого при n = 1000, 1000000, 1000000000 показаны в следующей табличке:

Основываясь на такого рода эмпирической очевидности, Гаусс высказал в качестве предположения, что отношение Ann «асимптотически равно» ln1n .

Смысл этого утверждения заключается в следующем: если возьмем последовательность значений n, становящихся все больше и больше, например,

10, 102, 103, 104, . . .

(как мы делали и раньше), то отношение

Ann : ln1n ,

вычисляемое для этих последовательно рассматриваемых значений n, будет становиться все более и более близким к числу 1, а именно, разность между указанным отношением и единицей будет делаться столь малой, сколь будет назначено, лишь бы только мы рассматривали достаточно большие значения n. Такого рода соотношение символически выражается

знаком : Ann ln1n означает, что Ann : ln1n при возрастании n стремится

к 1. Что знак не может быть заменен знаком обыкновенного равенст-

ва (=), ясно хотя бы из того факта, что An — непременно целое число, n

ln n

То обстоятельство, что распределение простых чисел хорошо описывается с помощью логарифмической функции, нельзя не признать поистине поразительным, так как здесь вступают в тесное соприкосновение два математических понятия, казалось бы не имеющие друг к другу никакого отношения.

Хотя схватить содержание высказанного Гауссом предположения не представляет особой трудности, однако его строгое математическое доказательство во времена Гаусса было за пределами возможностей математической науки. Для того чтобы доказать теорему о распределении

простых чисел, говорящую лишь о самых элементарных математических понятиях, неизбежно нужно прибегнуть к самым мощным методам современной математики. Пришлось ждать почти сто лет, пока анализ получил достаточное развитие для того, чтобы А д а м а р (1896) в Париже и В а л л е - П у с с е н (1896) в Лувэне смогли дать исчерпывающее доказательство теоремы о распределении простых чисел. Упрощения и важные дополнения были затем внесены М а н г о л ь д т о м и Э. Л а н д а у. Задолго до Адамара значительное продвижение в этой области было сделано Р и м а н о м (1826–1866) в его знаменитой работе, намечающей основные стратегические линии предстоящей атаки. Совсем недавно американский математик Норберт В и н е р сумел видоизменить доказательство таким образом, чтобы избежать применения комплексных чисел в узловых моментах проводимых рассуждений. Но все же доказательство теоремы о распределении простых чисел остается слишком сложным для того, чтобы его можно было предложить начинающему. Мы вернемся к этому вопросу на стр. 511 и следующих.

г. Две еще не решенные задачи о простых числах

Если проблема распределения простых чисел («в среднем») была разрешена удовлетворительно, то справедливость ряда других гипотез, эмпирически совершенно несомненная, все еще не доказана.

Сюда относится прежде всего знаменитая гипотеза Г о л ь д б а х а. Гольдбах (1690–1764) сам по себе не оставил никакого следа в истории математики: он прославился только проблемой, которую предложил Эйлеру в письме, относящемся к 1742 г. Он обратил внимание на тот факт, что ему всегда удавалось представить любое четное число (кроме 2, которое само есть простое число) в виде суммы двух простых. Например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 13 + 3, 18 = 11 + 7, 20 = 13 + 7, . . . , 48 = 29 + 19, . . . , 100 = 97 + 3 и т. д.

Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли тот доказать, что такого рода представление возможно для всякого четного числа, или же, напротив, сможет указать пример, опровергающий такое предположение. Эйлер так

ине дал ответа; не дал его никто и в дальнейшем. Эмпирическая очевидность гипотезы Гольдбаха, как легко проверить, вполне убедительна. Источник же возникающих затруднений — в том, что понятие простого числа определяется в терминах умножения, тогда как сама проблема касается сложения. Вообще, находить связи между мультипликативными

иаддитивными свойствами чисел очень трудно.

До недавнего времени доказательство гипотезы Гольдбаха казалось задачей совершенно неприступной. Сегодня дело обстоит уже не так. Очень значительный успех, оказавшийся неожиданным и поразительным для всех специалистов по данному вопросу, был достигнут в 1931 г. неизвестным в то

время молодым русским математиком Ш н и р е л ь м а н о м (1905–1938), который доказал, что всякое целое положительное число может быть представлено в виде суммы не более чем 800 000 простых. Хотя этот результат и производит несколько комическое впечатление (по сравнению с первоначально поставленной целью доказать гипотезу Гольдбаха), тем не менее он стал первым шагом в должном направлении. Доказательство Шнирельмана — прямое и носит конструктивный характер, хотя и не обеспечивает практического метода для представления произвольного целого числа в виде суммы простых. Еще позднее русский же математик В и н о г р а д о в, пользуясь методами Харди, Литтлвуда и их поистине великого сотрудника по работе индуса Р а м а н у д ж а н а, сумел понизить число слагаемых в формулировке Шнирельмана с 800000 до 4. Это уже гораздо ближе к решению проблемы Гольдбаха. Но между результатами Шнирельмана и Виноградова имеется очень резкое различие более резкое, чем различие между числами 800000 и 4. Теорема Виноградова была доказана им лишь для всех «достаточно больших» чисел; точнее говоря, Виноградов установил существование такого числа N, что всякое целое число n > N может быть представлено в виде суммы четырех простых чисел. Метод Виноградова не позволяет никак судить о величине N; в противоположность методу Шнирельмана, он — существенно «косвенный» и неконструктивный. По существу, Виноградов доказал следующее: допуская, что существует бесконечное множество чисел, не представимых в виде суммы четырех (или менее того) простых чисел, можно получить противоречие. Здесь перед нами прекрасный пример, показывающий глубокое различие между двумя типами доказательств — прямым и косвенным (см. общее обсуждение этого вопроса на стр. 46) 1.

1Основной результат И. М. Виноградова (1937) устанавливает существование такого натурального N, что всякое нечетное n > N представимо в виде суммы трех простых

из чего, разумеется, вытекает уже представимость любого натурального n > N + 2 в виде суммы четырех простых чисел. Результат Виноградова о нечетных числах окончателен — число слагаемых (три) в его формулировке уменьшить нельзя. Что же касается четных чисел, то из представимости их в виде ( ) вытекала бы сразу и представимость любого четного n в виде суммы двух простых слагаемых (т. к. в этом случае одно из слагаемых равно 2). Однако при всей правдоподобности гипотезы о представимости в таком виде любого четного n > 3, проблема ее доказательства чрезвычайно трудна и превышает, по-видимому, еще возможности математиков.

Неэффективный характер теоремы Виноградова устранен в 1939 г. К. Г. Бороздиным,

до разумных пределов позволило бы решить гипотезу о представимости в виде ( ) нечетных n, 6 < n < C, — и тем самым любого нечетного n > 6 — посредством прямой вычислительной проверки. — Прим. А. Н. Колмогорова.

Следующая проблема, еще более любопытная, чем проблема Гольдбаха, нисколько не приблизилась к своему разрешению. Было подмечено, что простые числа нередко встречаются парами в виде p и p + 2. Таковы 3 и 5, 11 и 13, 29 и 31 и т. д. Предположение о существовании бесконечного множества таких «близнецов» кажется весьма правдоподобным, но до сих пор не удалось даже приблизиться к его доказательству.

§2. Сравнения

1.Общие понятия. Всякий раз, когда приходится говорить о делимости целых чисел на некоторое определенное целое число d, все рассуждения становятся яснее и проще, если пользоваться отношением сравнения, введенным Гауссом, и соответствующими обозначениями.

Чтобы ввести понятие сравнения, рассмотрим остатки, получающиеся при делении различных чисел, например, на 5. Мы получаем:

Заметим, что остатком при делении на 5 может быть только одно из чисел 0, 1, 2, 3, 4. Говорят, что два числа a и b сравнимы по модулю 5, если при делении на 5 они дают один и тот же остаток. Так, все числа 2, 7, 12, 17, 22, . . . , −3, −8, −13, −18, . . . сравнимы по модулю 5, так как при делении на 5 все они дают остаток 2. Вообще, говорят, что два числа a и b сравнимы по модулю d (где d — некоторое целое число), если при делении на d они дают один и тот же остаток; другими словами, если существует такое целое число n (положительное, отрицательное или нуль), что a − b = nd. Например, 27 и 15 сравнимы по модулю 4, так как 27 = 6 · 4 + 3, 15 = 3 · 4 + 3.

Для отношения сравнения введено специальное обозначение — если a и b сравнимы по модулю d, то пишут: a ≡ b (mod d). [Если же a не сравнимо с b по модулю d, то пишут a 6≡b (mod d).] Если ясно, какой модуль имеется в виду, то приписку «mod d» опускают.

Сравнения часто встречаются в повседневной жизни. Например, часовая стрелка указывает время по модулю 12; автомобильный счетчик отмечает пройденные расстояния по модулю 100000 (миль или километров).

Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению сравнений и их свойств, пусть читатель проверит, что следующие утверждения в точности эквивалентны:

1)a сравнимо с b по модулю d.

2)a = b + nd, где n — целое.

3)a − b делится на d.

Введенные Гауссом обозначения для сравнений подчеркивают то обстоятельство, что сравнения обладают многими свойствами обычных равенств. Напомним эти свойства:

1)Всегда a = a.

2)Если a = b, то b = a.

3)Если a = b и b = c, то a = c.

Кроме того, если a = a′ и b = b′, то

4)a + b = a′ + b′.

5)a − b = a′ − b′.

6)ab = a′b′.

Эти же свойства сохраняются, если соотношение равенства a = b заменяется соотношением сравнения a ≡ b (mod d). Именно:

1′) Всегда a ≡ a (mod d).

2′) Если a ≡ b (mod d), то b ≡ a (mod d).

3′) Если a ≡ b (mod d) и b ≡ c (mod d), то a ≡ c (mod d).

(Проверьте! — это нетрудно.)

Точно так же, если a ≡ a′ (mod d) и b ≡ b′ (mod d), то

4′) a + b ≡ a′ + b′ (mod d). 5′) a − b ≡ a′ − b′ (mod d). 6′) ab ≡ a′b′ (mod d).

Таким образом, сравнения по одному и тому же модулю можно складывать, вычитать и умножать. В самом деле, из

a = a′ + rd, b = b′ + sd

вытекает

a + b = a′ + b′ + (r + s)d, a − b = a′ − b′ + (r − s)d, ab = a′b′ + (a′s + b′r + rsd)d,

что и приводит к нужным заключениям.

Сравнения допускают великолепное геометрическое представление. Если хотят дать геометрическое представление целым числам, то обыкновенно выбирают прямолинейный отрезок единичной длины и затем откладывают кратные отрезки в обе стороны. Таким образом, для каждого

§ 2 СРАВНЕНИЯ 59

целого числа получается соответствующая ему точка на прямой — числовой оси (рис. 6). Но если приходится иметь дело с числами по данному

−3 −2 −1 0 1 2 3

Рис. 6. Геометрическое представление целых чисел

модулю d, два сравнимых числа — поскольку речь идет о делимости на d — рассматриваются как нечто неразличимое, так как дают одни и те же остатки. Чтобы изобразить все это геометрически, возьмем окружность, разделенную на d равных частей. Всякое целое число при делении на d дает в качестве остатка одно из чисел 0, 1, 2, . . . , d − 1; эти числа мы и расставим по окружности на равных расстояниях. Каждое число сравнимо с одним из этих чисел по модулю d и, следо-

вательно, представляется соответствующей точкой; два числа сравнимы, если изображаются одной и той же точкой. Рис. 7 сделан для случая d = 6. Циферблат часов может также служить моделью.

ней числа 10. Так как 10 = −1 + 11, то

Отсюда можно заключить, что всякое целое число, запись по десятичной системе которого имеет вид

z = a0 + a1 · 10 + a2 · 102 + . . . + an · 10n,

дает тот же остаток при делении на 11, что и сумма его цифр, взятая с чередующимися знаками:

t = a0 − a1 + a2 − . . .

В самом деле, мы имеем

z − t = a1 · 11 + a2(102 − 1) + a3(103 + 1) + a4(104 − 1) + . . .