Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Так как все выражения 102 − 1, 103 + 1, . . . сравнимы с нулем по модулю 11, то z − t также сравнимо с нулем, и потому z при делении на 11 дает тот же остаток, что и t. В частности, число делится на 11, т. е. дает остаток 0 при делении, в том и только том случае, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11. Например, число z = 3162819 делится на 11, так как 3 − 1 + 6 − 2 + 8 − 1 + 9 = 22 делится на 11. Найти таким же образом правило делимости на 3 или на 9 еще проще, так как 10 ≡ 1 (mod 3 и 9), и потому 10n ≡ 1 (mod 3 и 9) при любом n. Отсюда следует, что число z делится на 3 и на 9 в том и только том случае, если сумма его цифр

s = a0 + a1 + a2 + . . . + an

делится соответственно на 3 и на 9.

Если в качестве модуля возьмем 7, то получим 10 ≡ 3, 102 ≡ 2, 103 ≡ −1, 104 ≡ −3, 105 ≡ −2, 106 ≡ 1.

Далее остатки повторяются. Таким образом, z делится на 7 в том и только том случае, если выражение

r = a0 + 3a1 + 2a2 − a3 − 3a4 − 2a5 + a6 + 3a7 + . . .

делится на 7.

Упражнение. Найдите подобный же признак делимости на 13.

Складывая и умножая сравнения по определенному модулю, скажем d = 5, можно всегда обеспечить то, чтобы входящие числа не становились слишком большими, заменяя всякий раз встречающееся число одним из чисел

а именно тем, с которым оно сравнимо. Так, вычисляя суммы и произведения различных чисел по модулю 5, нужно только пользоваться следующими таблицами сложения и умножения:

Из второй таблицы видно, что произведение ab сравнимо с нулем по модулю 5 только в том случае, если a или b ≡ 0 (mod 5). Это наводит на мысль о существовании следующего общего закона:

7) ab ≡ 0 (mod d) только в том случае, если a ≡ 0 или b ≡ 0 (mod d), что является распространением хорошо известного свойства обыкновенного умножения:

ab = 0 только в том случае, если a = 0 или b = 0.

Но закон 7) действителен только при том условии, что модуль d есть простое число. Действительно, сравнение

ab ≡ 0 (mod d)

означает, что ab делится на d, а мы уже видели, что произведение ab делится на простое d в том и только том случае, если один из множителей a или b делится на d, т. е. если

a ≡ 0 (mod d) или b ≡ 0 (mod d).

С другой стороны, закон теряет силу при d составном: можно тогда написать d = r · s, где оба множителя r и s меньше чем d, так что

Например, 2 6≡0 (mod 6) и 3 6≡0 (mod 6), но 2 · 3 = 6 ≡ 0 (mod 6).

Упражнения. 1) Покажите, что для сравнений по простому модулю имеет место следующее правило сокращения: если ab ≡ ac и a 6≡0, то b ≡ c.

2)С каким числом в пределах от 0 до 6 включительно сравнимо число 11 · 18 ×

×2322 · 13 · 19 по модулю 7?

3)С каким числом в пределах от 0 до 12 включительно сравнимо число 3 · 7 ×

×11 · 17 · 19 · 23 · 29 · 113 по модулю 13?

4)С каким числом в пределах от 0 до 4 включительно сравнима сумма 1 + 2 + + 22 + . . . + 219 по модулю 5?

2. Теорема Ферма. В XVII столетии Ферма, основатель современной теории чисел, открыл чрезвычайно важную теорему. Если p — простое число, не делящее целого числа a, то

ap−1 ≡ 1 (mod p).

Другими словами, (p − 1)-я степень a при делении на p дает остаток 1. Некоторые из ранее произведенных нами вычислений подтверждают

эту теорему: так, мы видим, что 106 ≡ 1 (mod 7), 102 ≡ 1 (mod 3) и 1010 ≡ 1 (mod 11). Таким же образом легко проверить, что 212 ≡ 1 (mod 13) и 510 ≡ ≡ 1 (mod 11). Для этой цели нет необходимости на самом деле вычислять

столь высокие степени данных чисел; достаточно использовать мультипликативное свойство сравнений:

Обращаясь к доказательству теоремы Ферма, рассмотрим числа, кратные a:

m1 = a, m2 = 2a, m3 = 3a, . . . , mp−1 = (p − 1)a.

Никакие два из этих чисел не могут быть между собой сравнимы по модулю p. В противном случае p должно было бы делить разность mr − ms = = (r − s)a, где r, s была бы пара целых чисел, подчиненных ограничению 1 6 r < s 6 (p − 1). Но из закона 7) следует, что этого не может случиться: так как s − r меньше чем p, то p не делит s − r; с другой стороны, по предположению, p не делит и a. Таким же образом мы убеждаемся, что ни одно из чисел m не сравнимо с нулем. Отсюда следует, что числа m1, m2, . . . , mp−1 соответственно сравнимы с числами 1, 2, . . . , p − 1, взятыми в некоторой их перестановке. Дальше заключаем:

m1m2 . . . mp−1 = 1 · 2 · 3 . . . (p − 1)ap−1 ≡ 1 · 2 · 3 . . . (p − 1) (mod p), или же, полагая ради краткости K = 1 · 2 · 3 . . . (p − 1),

K(ap−1 − 1) ≡ 0 (mod p).

Число K не делится на p, так как ни один из входящих в него множителей не делится на p; значит, согласно закону 7) (ap−1 − 1) должно делиться

на p, т. е.

ap−1 − 1 ≡ 0 (mod p).

Это и есть теорема Ферма.

Проверим эту теорему еще раз. Возьмем p = 23 и a = 5; тогда получаем по модулю 23

52 ≡ 2, 54 ≡ 4, 58 ≡ 16 = −7, 516 ≡ 49 ≡ 3, 520 ≡ 12, 522 ≡ 24 ≡ 1. Если возьмем a = 4 вместо 5, то будем иметь, опять-таки по модулю 23, 42 ≡ −7, 43 ≡ −28 ≡ −5, 44 ≡ −20 = 3, 48 ≡ 9, 411 ≡ −45 ≡ 1, 422 ≡ 1.

В примере, где было взято a = 4, p = 23 (как и во многих иных), можно заметить, что не только (p − 1)-я степень, но и более низкая степень a уже оказывается сравнимой с единицей. Наименьшая такая степень — в нашем примере степень 11 — непременно есть делитель числа p − 1 (см. ниже, упражнение 3).

2)Проверьте теорему Ферма, взяв p = 5, 7, 11, 17 и 23 и придавая числу a различные значения.

3)Докажите общую теорему: наименьшее число e, для которого ae ≡ 1 (mod p), должно быть делителем p − 1. [Указание: произведите деление p − 1

на e, получая

p − 1 = ke + r,

где 0 6 r < e, и дальше воспользуйтесь тем обстоятельством, что ap−1 ≡ ae ≡ 1 (mod p).]

3. Квадратические вычеты. Обращаясь снова к примерам, иллюстрирующим теорему Ферма, мы можем подметить, что не только всегда справедливо сравнение ap−1 ≡ 1 (mod p), но (предположим, что p есть простое число, отличное от 2, значит, — нечетное, p = 2p′ + 1) при неко-

Это обстоятельство вызывает ряд заслуживающих внимания соображений. Теорему Ферма можно записать в следующем виде:

ap−1 − 1 = a2p′ − 1 = (ap′ − 1)(ap′ + 1) ≡ 0 (mod p).

Так как произведение делится на p только в том случае, если один из множителей делится на p, то, значит, одно из чисел ap′ − 1 или ap′ + 1 должно делиться на p; поэтому, каково бы ни было простое число p > 2 и каково бы ни было число a, не делящееся на p, непременно должно иметь место одно из двух сравнений

Начиная с самого возникновения современной теории чисел, математики были заинтересованы выяснением вопроса: для каких чисел a оправдывается первое сравнение, а для каких — второе? Предположим, что a сравнимо по модулю p с квадратом некоторого числа x,

левая части сравнения должны быть сравнимы с 1 по модулю p. Такое число a (не являющееся кратным p), которое по модулю p сравнимо с квадратом некоторого числа, называется квадратическим вычетом p; напротив, число b, не кратное p, которое не сравнимо ни с каким квадратом по модулю p, называется квадратическим невычетом p. Мы только что видели, что всякий квадратический вычет a числа p удовлетворяет сравне-

p−1

нию a 2 ≡ 1 (mod p). Довольно легко установить, что всякий невычет b

покажем (несколько дальше), что среди чисел 1, 2, 3, . . . , p − 1 имеется

Хотя с помощью прямых подсчетов можно было собрать немало эмпирических данных, но открыть сразу общие законы, регулирующие распределение квадратических вычетов, было нелегко. Первое глубоко лежащее свойство этих вычетов было подмечено Л е ж а н д р о м (1752–1833); позднее Гаусс назвал его законом взаимности. Этот закон касается взаимоотношения между двумя различными простыми числами p и q. Он заключается в следующем:

1) Предположим, что произведение p −2 1 · q −2 1 четное. Тогда q есть

вычет p в том и только том случае, если p есть вычет q.

2) Предположим, напротив, что указанное произведение — нечетное. Тогда ситуация резко меняется: q есть вычет p, если p есть невычет q, и наоборот.

Первое строгое доказательство закона взаимности, долгое время остававшегося гипотезой, данное Гауссом еще в молодости, явилось одним из крупных его достижений. Доказательство Гаусса никоим образом нельзя назвать простым, и в наше время провести доказательство закона взаимности стоит известного труда, хотя количество различных опубликованных доказательств очень велико. Истинный смысл закона взаимности вскрылся лишь в недавнее время — в связи с новейшим развитием алгебраической теории чисел.

В качестве примера, иллюстрирующего распределение квадратических вычетов, возьмем p = 7. Так как по модулю 7

02 ≡ 0, 12 ≡ 1, 22 ≡ 4, 32 ≡ 2, 42 ≡ 2, 52 ≡ 4, 62 ≡ 1

и так как дальнейшие квадраты повторяют эту последовательность, то квадратическими вычетами числа 7 являются числа, сравнимые с 1, 2 и 4, а невычетами — числа, сравнимые с 3, 5 и 6. В общем случае квадратические вычеты p составляются из чисел, сравнимых с числами 12, 22, . . . , (p − 1)2. Но эти последние попарно сравнимы, так как

x2 ≡ (p − x)2 (mod p) (например, 22 ≡ 52 (mod 7)).

Действительно, (p − x)2 = p2 − 2px + x2 ≡ x2 (mod p). Значит, половина чисел 1, 2, . . . , p − 1 представляет собою квадратические вычеты числа p, а другая половина — невычеты.

Чтобы дать иллюстрацию также и закону взаимности, положим p = 5,

согласно закону взаимности 5 должно быть также квадратическим вычетом

§ 3 ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА И БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА 65

по модулю 11; и в самом деле, мы видим, что 5 ≡ 42 (mod 11). С другой

Упражнения. 1) 62 = 36 ≡ 13 (mod 23). Является ли 23 квадратическим вычетом по модулю 13?

2) Мы видели, что x2 ≡ (p − x)2 (mod p). Покажите, что иного вида сравнений между числами 12, 22, 32, . . . , (p − 1)2 быть не может.

§ 3. Пифагоровы числа и большая теорема Ферма

Интересный вопрос из области теории чисел связан с теоремой Пифагора. Теорема эта, как известно, алгебраически выражается равенством

где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы. Проблема разыскания всех прямоугольных треугольников, стороны которых выражаются целыми числами, таким образом, эквивалентна проблеме нахождения всех решений (a, b, c) в целых числах уравнения (1). Каждая тройка целых чисел (a, b, c), удовлетворяющих этому уравнению, носит название пифагоровой тройки.

Все пифагоровы тройки могут быть найдены довольно просто. Пусть целые числа a, b и c образуют пифагорову тройку, т. е. связаны соот-

ношением a2 + b2 = c2. Положим ради краткости ac = x, bc = y. Тогда x и y — рациональные числа, связанные равенством x2 + y2 = 1. Из по-

двух отношений в полученной пропорции есть число t, которое может быть представлено как отношение двух целых чисел uv . Можно, далее, написать: y = t(1 + x) и (1 − x) = ty, или же

tx − y = −t, x + ty = 1.

Из полученной системы уравнений немедленно следует, что

66 ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ гл. I

где r — некоторый рациональный множитель пропорциональности. Итак, если числа (a, b, c) образуют пифагорову тройку, то они соответственно пропорциональны числам вида v2 − u2, 2uv, u2 + v2. Обратно, легко проверить, что всякие три числа (a, b, c), определенные равенствами вида (2), образуют пифагорову тройку, так как из равенств (2) следует

a2 = (u4 − 2u2v2 + v4)r2, b2 = (4u2v2)r2,

c2 = (u4 + 2u2v2 + v4)r2,

так что a2 + b2 = c2.

Этот результат можно несколько упростить. Из некоторой пифагоровой тройки (a, b, c) легко выводится бесконечное множество других пифагоровых троек (sa, sb, sc), каково бы ни было целое положительное s. Так, из (3, 4, 5) получаются (6, 8, 10), (9, 12, 15) и т. д. Такие тройки не являются существенно различными, так как соответствуют подобным треугольникам. Мы условимся говорить о примитивной пифагоровой тройке, если числа a, b и c не имеют общего множителя. Можно показать, что формулы

a = v2 − u2, b = 2uv,

c = u2 + v2,

где u, v — произвольные целые положительные числа (v > u), не имеющие общих множителей и не являющиеся одновременно нечетными, дают нам все примитивные пифагоровы тройки.

* Упражнение. Докажите последнее утверждение.

Вот примеры примитивных пифагоровых троек:

В связи с рассмотрением пифагоровых чисел более или менее естественно возникает вопрос о возможности следующего обобщения задачи: можно ли найти такие целые положительные числа a, b, c, которые удовлетворяли бы уравнению a3 + b3 = c3, или уравнению a4 + b4 = c4, или, вообще говоря, уравнению

где показатель n — целое число, большее 2? Ответ был дан Ферма, который пришел к нему умозрительным путем. Ферма изучал одно сочинение Диофанта, известного математика древности, занимавшегося теорией чисел, и имел обыкновение делать примечания на полях книги. Хотя он не затруднял себя тем, чтобы приводить тут же доказательства многих высказанных им теорем, но все они постепенно в дальнейшем были доказаны — за одним весьма значительным исключением. По поводу пифагоровых чисел Ферма сделал пометку, что уравнение (3) неразрешимо в целых числах, если n > 2, но что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги, с которой он работал.

Это утверждение Ферма в его общей форме никогда и никем впоследствии не было ни доказано, ни опровергнуто, несмотря на усилия целого ряда крупнейших математиков. 1 Правда, теорема была доказана для очень многих значений n, в частности, для всех n < 619, но не для всех возможных значений n; вместе с тем не было указано и примера, опровергающего теорему. Хотя сама по себе теорема и не имеет очень большого значения в математическом смысле, но попытки доказать ее положили начало многим важнейшим исследованиям в области теории чисел. Проблема вызвала большой интерес и в более широких кругах — отчасти благодаря премии размером в 100000 марок, предназначенной для лица, которое впервые даст решение, причем присуждение премии было поручено Геттингенской Академии. Пока послевоенная инфляция в Германии не свела на нет денежную ценность этой премии, ежегодно представлялось громадное число «решений», содержащих ошибки. Даже специалистыматематики не раз были введены в заблуждение и представляли или публиковали доказательства, которые затем отпадали после обнаружения в них иной раз каких-нибудь поверхностных недосмотров. Со времени падения курса марки ажиотаж вокруг проблемы Ферма несколько приутих; и все же пресса не перестает время от времени осведомлять нас о том, что решение найдено каким-нибудь новоявленным «гением».

§4. Алгоритм Евклида

1.Общая теория. Читатель прекрасно знаком с обыкновенной процедурой «длинного» деления одного целого числа a на другое число b и знает, что эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока остаток не

станет меньше, чем делитель. Так, если a = 648 и b = 7, то мы получаем

1Теорема Ферма была доказана в 1995 г. Подробную историю доказательства этой теоремы можно найти в книге: С и н г х С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000. —

Прим. ред. наст. изд.

частное q = 92 и остаток r = 4.

18

14

4

По этому поводу можно сформулировать следующую общую теорему: если a и b — целые числа, причем b отлично от нуля, то можно всегда найти такое целое число q, что

где r есть целое число, удовлетворяющее неравенству 0 6 r < b.

Докажем эту теорему независимо от процедуры длинного деления. Достаточно заметить, что число a или само есть кратное числа b, или же лежит между двумя последовательными кратными b,

bq < a < b(q + 1) = bq + b.

В первом случае равенство (1) оправдывается, причем r = 0. Во втором случае из первого неравенства вытекает, что

a − bq = r > 0,

а из второго — что

a − bq = r < b,

так что число r в этом случае удовлетворяет условию 0 < r < b.

Из указанного обстоятельства можно вывести большое число различных важных следствий. Первое из них — это метод для нахождения общего наибольшего делителя двух целых чисел.

Пусть a и b — два каких-то целых числа, не равных одновременно нулю; рассмотрим совокупность всех чисел, на которые делятся и a и b. Эта совокупность, несомненно, конечная, так как если, например, a 6= 0, то никакое число, большее чем a, не может быть делителем a. Отсюда следует, что число общих делителей a и b конечно; пусть через d обозначен наибольший из них. Число d называется общим наибольшим делителем a и b, и мы условимся обозначать его d = (a, b). Так, если a = 8, b = 12, то непосредственная проверка показывает, что (8, 12) = 4; если a = 5, b = 9, то мы точно так же получаем (5, 9) = 1. Если a и b — достаточно большие числа, например a = 1804, b = 328, то попытки найти общий наибольший делитель с помощью непосредственных проб довольно утомительны. Короткий и вполне надежный метод вытекает из алгоритма Евклида. (Алгоритмом называют всякий систематизированный прием вычисления.) Он основан на том обстоятельстве, что из соотношения вида

необходимо следует, что

(a, b) = (b, r). (3) В самом деле, всякое число u, которое одновременно делит и a и b,

делит также и r, так как r = a − bq = su − qtu = (s − qt)u; и обратно, всякое число v, которое одновременно делит b и r,

b = s′v, r = t′v,

делит также и a, так как a = bq + r = s′vq + t′v = (s′q + t′)v. Значит, каждый общий делитель a и b есть вместе с тем общий делитель b и r,

иобратно. Но раз совокупность всех общих делителей a и b совпадает с совокупностью всех общих делителей b и r, то ясно, что общий наибольший делитель a и b должен совпадать с общим наибольшим делителем b

иr. А это и выражено равенством (3). Мы сейчас убедимся в полезности установленного обстоятельства.

Для этого вернемся к примеру нахождения общего наибольшего делителя чисел 1804 и 328. Обыкновенное «длинное» деление

1804 328

1640 5

164

приводит нас к заключению, что 1804 = 5 · 328 + 164.

Отсюда в силу (3) следует, что (1804, 328) = (328, 164).

Заметим, что задача вычисления общего наибольшего делителя (1804, 328) заменена теперь аналогичной задачей, но для меньших чисел. Можно продолжать эту процедуру. Так как

328 164

328 2

0

то мы получаем дальше 328 = 2 · 164 + 0, так что (328, 164) = (164, 0) = = 164. Значит, (1804, 328) = (328, 164) = (164, 0) = 164, и общий наибольший делитель найден.

Эта самая процедура нахождения общего наибольшего делителя двух чисел в геометрической форме описана в «Началах» Евклида. Мы дадим ее общее описание в арифметической форме, исходя из произвольных целых чисел a и b, которые оба одновременно не равны нулю.