Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

360

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

гл. VII

§ 1

361

362

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

гл. VII

мы знаем, что для точек на прямой L непременно p + q > 2a, то сделанное

предположение приходится отбросить. Итак, прямая L — касательная к

эллипсу в точке R. Кроме того, мы знаем, что PR и RQ образуют одинако-

вые углы с L; отсюда в качестве побочного результата наших рассуждений

вытекает важная теорема: касательная к эллипсу образует равные углы с

прямыми, проведенными из фокусов в точку касания.

Следующая задача родственна предыдущей. Дана прямая линия L и

две точки P и Q по разные стороны L (рис. 182); требуется найти такую

точку R на L, чтобы величина |p − q|, т. е. абсолютная величина разности

расстояний точки R от P и Q, бы-

Q

ла как можно больше. (Мы до-

P′

пускаем, что L не является пер-

пендикуляром, восставленным из

середины отрезка PQ: иначе p − q

равнялось бы нулю для всякой

L

точки L, и задача

потеряла бы

смысл.) Приступая к решению за-

R

R′

дачи, построим зеркальное отра-

жение точки P относительно L:

полученная точка P′ расположена

P

по ту же сторону L, что и Q. Ка-

кова бы ни была точка R′ на L, мы

=

Рис. 182. |PR − QR|

maximum

имеем: p = R′P = R′P′, q = R′Q.

Так как разность двух сторон тре-

угольника никогда не превышает третьей стороны, то, рассматривая тре-

угольник R′QP′, можно заключить, что величина |p − q| = |R′P′ − R′Q|

меньше или равна P′Q; и, как видно из чертежа, только при условии,

что R′, P′ и Q расположены на одной прямой, |p − q| может оказаться

равным P′Q. Поэтому искомая точка R есть точка пересечения прямой L

с прямой, проведенной через P′ и Q. Как и в предыдущей задаче, не

представляет труда установить, ссылаясь на конгруэнтность треугольни-

ков RPR′ и RP′R′, что углы, которые отрезки RP и RQ составляют с

прямой L, одинаковы.

Отсюда, как и в прежней задаче, уже ничего не стоит получить свой-

ство касательной к гиперболе. Принимая наибольшее значение разно-

сти |PR − RQ| равным 2a, рассмотрим геометрическое место всех точек

в плоскости, для которых абсолютная величина p − q равна 2a. Это —

гипербола с фокусами P и Q, проходящая через точку R. Легко убедиться,

что абсолютная величина p − q меньше чем 2a в области, заключенной

между двумя ветвями гиперболы, и больше чем 2a по ту сторону каждой из

ветвей, по которую лежит соответствующий фокус. Отсюда — в основном

с помощью такой же аргументации, как и в случае эллипса, — вытекает,

§ 1

363

что прямая L касается гиперболы в точке R. К которой именно из ветвей

прямая L является касательной, — это зависит от того, которая из точек P

и Q ближе к L: если ближе точка P, то касается прямой L та ветвь, которая

окружает P; и аналогично для Q

(рис. 183). Если P и Q находятся

на равных расстояниях от прямой L,

P

то L не касается ни той, ни другой

R

ветви гиперболы, а является одной

из ее асимптот. Об этом результате

позволительно догадываться исходя

L

из того соображения, что описанное

выше построение в рассматриваемом

Q

случае не дает никакой (конечной)

точки R, так как прямая P′Q оказы-

вается параллельной прямой L.

Рис. 183. Свойство касательной к ги-

перболе

ши рассуждения приводят к хорошо

известной теореме: касательная, проведенная в любой точке гиперболы,

делит пополам угол между отрезками, проведенными из фокусов в точку

касания.

Может показаться странным, что приходится решать задачу о миниму-

ме, если точки P и Q лежат по одну сторону L, тогда как если точки лежат

по разные стороны L, мы рассматриваем задачу о максимуме. Но нетрудно

прийти к заключению, что указанное различие совершенно естественно.

В первой задаче при удалении по прямой L в бесконечность — в одну или

в другую сторону — каждое из расстояний p и q, следовательно, и их сумма,

неограниченно возрастает. Таким образом, было бы невозможно найти наи-

большее значение p + q, и единственной возможной является постановка

задачи о минимуме. Дело обстоит совершенно иначе во второй задаче,

когда P и Q лежат по разные стороны L. В этом случае не будем смешивать

три различные величины: разность p − q, обратную разность q − p и абсо-

лютную величину |p − q|; именно, для последней величины мы определяли

максимум. Как обстоит дело, легче всего понять, если представить себе,

что точка R движется по прямой L, занимая различные положения R1,

R2, R3, . . . Существует такое положение R, для которого разность p − q

обращается в нуль; при этом прямая L пересекается с перпендикуляром к

отрезку PQ, проведенным из его середины. Ясно, что при этом положении

точка R дает минимум для абсолютной величины |p − q|. Но по одну сто-

рону от этой точки p больше, чем q, по другую — меньше; значит, величи-

на p − q положительна по одну сторону точки и отрицательна — по другую.

Следовательно, сама эта величина не имеет ни максимума, ни минимума в

точке, где |p − q| = 0. С другой стороны, та точка, в которой |p − q| имеет

364

МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ

гл. VII

§ 1

ЗАДАЧИ ИЗ ОБЛАСТИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

365

отрезок PR как радиус окружности перпендикулярен к касательной к

окружности в точке R и, следовательно, к самой кривой C в той же точке.

В теснейшей связи с предыдущим стоит следующее предложение, до-

казательство которого предоставляется читателю: диаметр замкнутой кри-

вой C (т. е. наибольшая из ее хорд) в своих концах обязательно перпенди-

кулярен к C. Аналогичное утверждение можно сформулировать и доказать

для трехмерного случая.

Упражнение. Докажите, что наикратчайший и наидлиннейший отрезки, свя-

зывающие две взаимно непересекающиеся замкнутые кривые, перпендикулярны в

своих концах к самым кривым.

Можно обобщить и задачи пункта 4, касающиеся суммы и разности

расстояний. Рассмотрим вместо прямой линии L простую замкнутую кри-

вую C, обладающую касательной в каждой точке, и еще две точки P и Q,

не лежащие на C. Постараемся охарактеризовать те точки на кривой C,

для которых сумма p + q или раз-

ность p − q принимают экстремальные

значения (причем p и q обозначают соот-

P

ветственно расстояния переменной точки

на C от точек P и Q). Теперь уже не-

льзя применить то простое, основанное

R

на отражении, построение, с помощью

Q

которого мы решили обе задачи в случае,

R

когда

C была прямой линией. Но мы мо-

жем воспользоваться для поставленной

здесь цели свойствами эллипса и гипер-

болы. Так как C на этот раз — замкнутая

C

кривая, а не линия, уходящая в беско-

нечность, то и максимум и минимум на

ней действительно реализуются: в самом

Рис. 185. Максимум и минимум

деле, можно не подвергать сомнению то

сумм PR + QR

обстоятельство, что величины p + q и

p − q достигают и наибольшего и наименьшего значений на всяком ко-

нечном сегменте кривой, следовательно, на замкнутой кривой (см. § 7).

Останавливаясь на случае суммы p + q, предположим, что R — та точка

на C, в которой имеет место максимум; пусть 2a есть значение p + q

в этой точке. Рассмотрим эллипс с фокусами P и Q — геометрическое

место точек, для которых p + q = 2a. Этот эллипс в точке R должен

касаться кривой C (доказательство предоставляется читателю в качестве

упражнения). Но мы видели, что отрезки PR и QR образуют одинаковые

углы с эллипсом в точке R, и так как эллипс в точке R касается кривой C,

то отрезки PR и QR образуют в той же точке также одинаковые углы и с C.

§ 2

ОБЩИЙ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ ПРИНЦИП

367

где положено

p = p

,

q = p

.

(x − x1)2 + (y − y1)2

(x − x2)2 + (y − y2)2