Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

другой плоскостью, он сразу превращается в круговой цилиндр, тем самым чрезвычайно наглядно демонстрируя изопериметрическое свойство круга. Все дело, конечно, в том, что мыльная пленка располагается перпендикулярно к ограничивающим поверхностям. Помещая мыльные пузыри между двумя плоскостями, которые соединены между собой стержнями, мы имеем возможность проиллюстрировать проблемы, разобранные на стр. 387.

P P

RQ R Q

Рис. 254–255. Изопериметрические фигуры с граничными условиями

Можно еще рассмотреть, как изменяется решение изопериметрической проблемы при увеличении или уменьшении объема воздуха внутри пузыря. При этом следует воспользоваться тоненькой трубочкой или соломинкой. Однако, высасывая воздух, мы не получим тех фигур (см. стр. 406), которые состоят из касающихся друг друга круговых дуг. При уменьшении объема воздуха внутри пузыря углы в треугольнике из круговых дуг, однако, не станут (теоретически) меньшими, чем 120◦: мы получим такие фигуры, какие изображены на рис. 254 и 255, причем при неограниченном уменьшении площади, заключенной внутри, в пределе получатся те же три сегмента, с которыми мы встретились и раньше (рис. 235). С математической точки зрения объяснение отмеченному различию заключается в том, что отрезок, связывающий пузырь с каким-нибудь стержнем, начиная с момента отделения пузыря от этого стержня, не должен считаться дважды. Соответствующие опыты иллюстрируются рис. 256 и 257.

Упражнение. Разберите математическую проблему, соответствующую следующим условиям: найти треугольник, составленный из круговых дуг и имеющий данную площадь, по условию, чтобы сумма его периметра и трех отрезков, соединяющих вершины с тремя данными точками, была минимальной.

Рис. 256–257. Демонстрация изопериметрических свойств фигур с помощью мыльных пленок

Помещая мыльный пузырь внутрь кубического проволочного каркаса, в случае если объем пузыря окажется больше, чем объем куба, мы получим поверхности постоянной средней кривизны с квадратными основаниями. Высасывая воздух из пузыря через соломинку, будем иметь целую цепь красивых структур, приводящих, в конце концов, к такой, какая изображена на рис. 258. Явления устойчивости и переход от одного состояния равновесия к другому порождают эксперименты, которые в математическом отношении нельзя не назвать весьма поучительными. Таким образом, возникает наглядная иллюстрация к теории стационарных значений; непрерывная цепь переходов от одного состояния равновесия к другому может быть выбрана таким образом, что в ее состав войдет состояние неустойчивого равновесия, все же являющееся «стационарным состоянием».

Рассмотрим в качестве примера кубическую структуру на рис. 240. Мы видим здесь нарушение симметрии: в центре куба имеется вертикальная

424 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

площадка, смыкающаяся с двенадцатью поверхностями, идущими от ребер куба. Но тогда, как нетрудно понять, должно существовать еще по меньшей мере два положения равновесия: одно с вертикальной (иначе расположенной) и другое с горизонтальной площадкой в центре. Чтобы на самом деле реализовать переход от одного положения равновесия к другому, нужно дуть через соломинку на ребра центральной площадки: при

этом удается центральную площадку превратить в точку — центр куба, но полученное таким образом состояние равновесия не будет устойчивым и

немедленно же перейдет в иное

устойчивое состояние, причем

центральная площадка снова возникает, хотя и повернув-

шись на 90◦.

Подобный же эксперимент можно произвести и с мыльной пленкой, демонстрирующей решение проблемы Штейнера для случая четырех точек, помещенных в вершинах квадрата (рис. 219, 220).

рассмотренных проблем как предельный случай цепи изопериметрических проблем, например, если бы мы хотели получить рис. 240 из рис. 258, нужно было бы понемногу высасывать воздух из центрального пузыря. Структура, изображенная на рис. 258, строго симметрична, и в пределе, когда объем центрального «кубика» обращается в нуль, получается также строго симметричная структура из 12 плоских треугольников с общей вершиной в центре. Этого в самом деле можно добиться. Но возникающее предельное положение равновесия не является устойчивым: внезапно оно сменяется одним из трех положений, изображенных на рис. 240. Все явления можно наблюдать вполне отчетливо, если раствор сделать несколько более вязким, чем было указано в нашем рецепте. Перед нами возникает яркая картина, показывающая, что даже в проблемах из области физики решение не всегда находится в непрерывной зависимости от начальных данных:

всамом деле, в предельном случае, когда объем воздуха, заключенного

в«кубическом» пузыре, обращается в нуль, решение, изображенное на рис. 240, не является предельным для цепи решений, изображенных на рис. 258, возникающих для различных объемов e, когда e стремится к нулю.

Г Л А В А VIII

Математический анализ

Введение

Было бы слишком большим упрощением представлять себе, что математический анализ «изобретен» двумя людьми: Н ь ю т о н о м и Л е й б - н и ц е м. В действительности он сложился в итоге долгой эволюции, которая не была ни начата, ни закончена Ньютоном или Лейбницем, но в которой они оба сыграли значительную роль. Несколько математиковэнтузиастов из разных стран Европы в XVII в. поставили своей целью продолжение математической работы Галилея и Кеплера. Эти люди поддерживали друг с другом тесное общение с помощью переписки и личных встреч. Внимание их было привлечено двумя центральными проблемами. Во-первых, проблемой касательной: определить касательную к данной кривой — основная задача дифференциального исчисления. Вовторых, проблемой квадратуры: определить площадь, связанную с заданной кривой, — основная задача интегрального исчисления. Величайшей заслугой Ньютона и Лейбница является то, что они ясно осознали

внутреннюю связь между этими двумя проблемами. И вот объединенный таким образом метод сделался в их руках мощным орудием науки. В значительной степени успех был обусловлен поистине чудесными символическими обозначениями, придуманными Лейбницем. Заслуги этого ученого нисколько не умаляются тем, что им руководили смутные неуловимые идеи, такие идеи, которые иной раз способны заменить недостаток точного понимания в умах, предпочитающих мистицизм ясности. Ньютон, деятель точной науки в подлинном смысле слова, был, по-видимому, главным образом вдохновляем своим учителем и предшественником по Кембриджу Б а р р о у (1630–1677), Лейбниц же пришел к математике скорее со стороны. Блестящий знаток законов, дипломат и философ, один из самых деятельных и многосторонних умов своего века, он изучил новейшую математику в невероятно короткое время у Гюйгенса, физика по специальности, во время своего пребывания в Париже в дипломатической миссии. Вскоре после этого он опубликовал результаты, которые содержат в себе ядро современного анализа. Ньютон, открытия которого были сделаны много раньше, не был расположен их опубликовывать. Более того,

хотя первоначально многие результаты, содержащиеся в его несравненном произведении «Principia», он нашел с помощью методов анализа, изложить их он предпочел в стиле классической геометрии; таким образом, в «Principia» почти совсем нет явных следов анализа. Лишь позднее были опубликованы его работы о методе «флюксий». Его почитатели вступили в жестокую схватку из-за приоритета с друзьями Лейбница. Они обвиняли последнего в плагиате, хотя трудно себе представить что-либо более естественное, чем одновременное и независимое открытие, когда атмосфера уже насыщена элементами какой-нибудь новой теории. Последовавшие пререкания по поводу «изобретения» анализа служат грустным примером того, как переоценивание вопросов о первенстве способно отравить атмосферу естественного научного единения.

Настоящая глава должна быть рассматриваема как элементарное введение, имеющее своей целью в гораздо большей степени познакомить читателя с основными концепциями, чем научить формальным операциям. Мы будем здесь широко применять «интуитивный язык», но при этом позаботимся, чтобы он не оказывался в противоречии с точными понятиями

инаучно обоснованными операциями.

§1. Интеграл

1.Площадь как предел. Для того чтобы вычислить площадь плоской фигуры, мы в качестве единицы площади выбираем квадрат со стороной, равной единице длины. Если единицей длины является сантиметр, соответствующей единицей площади будет квадратный сантиметр, т. е. квадрат, длина стороны которого равна сантиметру. С помощью этого определения весьма легко вычислить площадь прямоугольника. Если длины двух смежных сторон, измеренные в линейных единицах, представляются числами p и q, то площадь прямоугольника равна pq квадратных единиц или, короче, площадь равна произведению pq. Это справедливо для любых p и q, как рациональных, так и иррациональных. В случае рациональных значений p и q мы получаем этот результат, выполняя замену

p = mn , q = mn′′ , где m, m′ — целые числа, а n′, n — натуральные. После этого мы находим общую меру N1 = nn1 ′ обеих сторон — таким образом, что p = mn′ · N1 , q = nm′ · N1 . Наконец, мы разбиваем прямоугольник на мелкие квадратики со стороной N1 и с площадью N12 . Всего таких квадратиков будет nm′ · mn′, и общая площадь равна nm′ · mn′ · N12 = = nm′ · mn′ = pq. Для случая иррациональных p и q тот же

результат получится, если сначала заменим p и q соответственно приближающими их рациональными числами pr и qr, а затем заставим pr и qr стремиться к p и q.

Геометрически очевидно, что площадь треугольника равна половине площади прямоугольника с тем же основанием b и высотой h; таким обра-

зом, площадь треугольника выражается хорошо известной формулой 21 bh.

Любая плоская область, ограниченная одной или несколькими ломаными, может быть разбита на треугольники; таким образом, ее площадь может быть получена как сумма площадей этих треугольников.

Потребность в более общем методе вычисления площадей возникает в связи с вопросом о вычислении площадей фигур, ограниченных уже не ломаными, а кривыми. Каким образом станем мы определять, например, площадь круга или сегмента параболы? Этот капитальной важности вопрос, с решением которого связано обоснование интегрального исчисления, рассматривался с очень давних пор; еще в III в. до нашей эры Архимед вычислял площади подобного рода с помощью процедуры «исчерпания». Попробуем вместе с Архимедом и великими математиками до времен Гаусса стать на «наивную» точку зрения, согласно которой криволинейные площади являются интуитивно данными сущностями, так что вопрос стоит не об определении понятия площади, а о вычислении площади (см., однако, анализ понятия, произведенный на стр. 493). В рассматриваемую криволинейную область впишем многоугольник, ограниченный ломаной линией и обладающий прекрасно определенной площадью. Выбирая новый многоугольник такого же типа, включающий первый, мы получим лучшее приближение для площади заданной области. Продолжая таким образом, мы постепенно «исчерпаем» всю область и получим искомую площадь как предел площадей надлежащим образом подобранной последовательности вписанных многоугольников с возрастающим числом сторон. Так может быть вычислена площадь круга с радиусом 1; ее числовое значение обозначается символом p.

Эту общую схему Архимед провел до конца в случае круга и в случае параболического сегмента. В течение XVII столетия было с успехом разобрано много других примеров. В каждом случае само вычисление предела ставилось в зависимость от того или иного остроумного приема, специально подобранного для каждой отдельной задачи. Одним из главных достижений анализа была замена этих специальных искусственных процедур одним общим и мощным методом.

2. Интеграл. Первым основным понятием анализа является понятие интеграла. В этой главе мы будем понимать интеграл как площадь под кривой, выраженную с помощью предела. Пусть дана непрерывная положительная функция y = f(x), например y = x2 или y = 1 + cos x;

приближений прямоугольниками площади под кривой, причем основание самого широкого прямоугольника в сумме Sn стремится к 0, когда n возрастает, то последовательность (1) стремится к пределу A:

и этот предел A, представляющий собой площадь под данной кривой, не зависит от того, каким именно образом выбрана последовательность (1), раз только основания прямоугольников неограниченно уменьшаются. (Например, Sn может произойти из Sn−1 путем прибавления одной или нескольких новых точек к прежним, определяющим Sn−1, или же выбор точек деления для Sn может совершенно не зависеть от выбора точек для Sn−1.) Площадь A данной области, выраженную указанным предельным переходом, мы называем, по определению, интегралом от