Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

Чтобы доказать эту замечательную формулу, нам достаточно вспомнить формулу суммы конечной геометрической прогрессии

Если в последнее алгебраическое тождество подставим q = −x2, то получим

где «остаточный член» Rn выражается формулой

Rn = (−1)n 1 x2nx2 .

+

Равенство (8) можно проинтегрировать в пределах от 0 до 1. Следуя правилу a) из § 3, мы должны взять в правой части сумму интегралов от отдельных слагаемых. На основании (4) мы знаем, что

растании n. Мы имеем неравенство

1x2nx2 6 x2n.

+

§ 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ 471

§6. Показательная (экспоненциальная) функция

илогарифм

Концепции анализа предоставляют возможность построить гораздо более полную теорию логарифма и показательной функции, чем это делает та элементарная процедура, которая лежит в основе обычного преподавания

в школе. Там обычно отправляются от целых степеней an положительного

√

числа a, а затем определяют корень a1/m = m a, получая, таким образом, значения ar при любом рациональном показателе r = mn . Затем значение

степени ax при иррациональном x определяется так, что ax должна быть непрерывной функцией от x,— деликатный вопрос, обыкновенно опускаемый в элементарном изложении. Наконец, логарифмом числа y при основании a называется функция, обратная по отношению к показательной функции y = ax.

В последующем изложении теории этих функций, построенном на основах анализа, ход мыслей противоположный. Мы начнем с логарифма, а затем придем к показательной функции.

1. Определение и свойства логарифма. Эйлерово число e. Определим логарифм, или, точнее говоря, «натуральный логарифм» F(x) = ln x (его связь с обычным десятичным логарифмом будет установлена в пунк-

те 2), как площадь под кривой y = u1 в пределах от u = 1 до u = x, или,

что сводится к тому же, как следующий интеграл:

(см. рис. 5, стр. 53). Здесь переменная x может быть любым положительным числом. Нуль исключается потому, что при стремлении u к нулю функция, стоящая под интегралом, стремится к бесконечности.

Естественно заняться изучением функции F(x). Мы знаем, что первообразная функция по отношению к любой степени xn представляет собой

xn+1

функцию того же типа, так как равна n + 1 ; исключением является сте-

пень n = −1. В этом последнем случае знаменатель n + 1 превратился бы в нуль, и формула (4) на стр. 468 потеряла бы смысл. Таким образом,

можно ожидать, что изучение интеграла от функции x1 или u1 приведет к

новому (и интересному) типу функции.

Хотя мы и принимаем формулу (1) за определение функции ln x, однако мы не «знаем» самой функции, пока мы не установим ее свойств и не найдем способов находить ее числовые значения. Нужно заметить, что для современных методов в анализе очень характерно то, что мы отправляемся от общих понятий — таких как площадь или интеграл, и уже на основе этих понятий устанавливаем определения, подобные (1); затем выводим свойства определяемых объектов и лишь в самом конце приходим к явным выражениям, позволяющим вычислять их числовые значения.

Первое важное свойство функции ln x непосредственно следует из основной теоремы § 5. Согласно этой теореме, справедливо равенство

Из формулы (2) следует, что производная F(x) всегда положительна, а это указывает, очевидно, на то, что функция ln x монотонно возрастает при возрастании x.

Главное свойство логарифма выражается формулой

Значение этой формулы в практических применениях логарифмов к числовым выкладкам хорошо известно. Формулу (3) можно было бы получить интуитивно, воспользовавшись площадями, определяющими три величины, а именно: ln a, ln b и ln(ab). Но мы предпочтем развернуть доказательство, типичное для анализа: наряду с функцией F(x) = ln x рассмотрим

другую функцию

k(x) = ln(ax) = ln w = F(w),

474 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

откуда следует

ln x m = m ln x.

n

n

Поскольку ln x есть монотонная и непрерывная функция от x, принимающая значение 0 при x = 1 и стремящаяся к бесконечности при неограниченном возрастании x, должно существовать некоторое число x, большее чем единица и такое, что для него будет иметь место равенство ln x = 1. Следуя Эйлеру, обозначим это число буквой e. (Тождественность этого определения с определением, данным на стр. 325, будет доказана позднее.) Итак, число e определено уравнением

Мы ввели число e, опираясь на свойство непрерывных функций, обеспечивающее существование корня этого уравнения. Теперь мы продолжим наше изыскание, чтобы как следствие получить явные формулы, позволяющие вычислить e с какой угодно точностью.

2. Показательная (экспоненциальная) функция. Суммируя наши предыдущее результаты, мы можем сказать, что функция F(x) = ln x равна нулю при x = 1; монотонно возрастает до бесконечности при x → ∞

но при этом график имеет убывающий наклон, равный величине x1 ; при

значениях x, меньших единицы, выражается при помощи функции − ln x1 ,

так что ln x стремится к отрицательной бесконечности при x → 0. Монотонный характер возрастания функции y = ln x позволяет рас-

сматривать обратную ей функцию

x = E(y),

график которой (рис. 278) получается обычным путем из графика функции y = ln x (рис. 277); эта обратная функция определена при всех значениях y от −∞ до +∞. При y → −∞ функция E(y) стремится к нулю; при y → ∞, с другой стороны, E(y) → ∞. Рассматриваемая функция E обладает следующим основным свойством:

при любой паре значений a и b. Последнее тождество есть просто видоизменение формулы (3), выражающей свойство логарифма. Действительно,

если мы придадим формуле (3) вид ln x + ln z = ln(xz) и затем положим E(a) = x, E(b) = z (т. е. a = ln x, b = ln z),

то будем иметь

ln(xz) = ln x + ln z = a + b,

а отсюда вытекает

E(a + b) = xz = E(a) · E(b),

что и требовалось доказать.

Так как, по определению, ln e = 1, то имеет место соотношение E(1) = e;

присоединяя к этому формулу (8), получим равенство e2 = E(1) · E(1) =

= E(2), и т. д. Вообще,

E(n) = en

полагая затем q = r, заключаем, что

E(r) = er

при любом рациональном r. Поэтому вполне естественно определить иррациональную степень числа e по формуле

ey = E(y),

справедливой при любом действительном y, поскольку функция E непрерывна при всех значениях y и тождественна с функцией ey при рациональных значениях y. Формулу (8), выражающую основное свойство функции E, или, по общепринятой терминологии, экспоненциальной (показательной) функции, теперь можно выразить при помощи равенства

которое тем самым установлено для произвольных рациональных или иррациональных значений a и b.

Во всех этих рассуждениях мы относили логарифм и показательную функцию к числу e как к «основанию», точнее, к «натуральному основанию» логарифмов. Перейти от основания e к некоторому другому положительному основанию не представляет труда. Начнем с рассмотрения

Назовем функцию, обратную по отношению к функции ax, логарифмом при основании a; нетрудно понять, что натуральный логарифм от z есть произведение x на a: другими словами, логарифм числа z при основании a получается путем деления натурального логарифма числа z на постоянный натуральный логарифм числа a. Если a = 10, то это число (с четырьмя значащими цифрами) выражается следующим образом:

ln 10 ≈ 2,303.

3. Формулы дифференцирования функций ex , ax , xs . Так как показательную функцию мы определили как обратную по отношению к функции y = ln x, то из правила дифференцирования обратных функций (§ 3)

Производная от «натуральной» показательной функции тождественно равна самой функции. Это есть истинный источник всех свойств показательной функции и основная причина ее роли во всех приложениях,

§ 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ 477

как это станет видно в последующих разделах. Используя дифференциальные обозначения, мы можем записать формулу (11) в следующем виде:

В более общем случае, дифференцируя сложную функцию f(x) = eax

с помощью правила, данного в § 3, мы получим равенство f′(x) = aeax = af(x).

Таким образом, полагая a = ln a, мы найдем, что функция f(x) = ax

имеет производную

f′(x) = ax ln a.

Переходя теперь к рассмотрению степенной функции f(x) = xs

при любом действительном показателе s и при положительном переменном x, мы можем определить ее по формуле

xs = es ln x.

Снова применяя правило дифференцирования сложной функции к случаю, когда f(x) = esz, z = ln x, мы найдем производную

так что

f′(x) = sesz · x1 = sxs · x1 , f′(x) = sxs−1,

в полном соответствии с прежним правилом дифференцирования степенной функции при рациональном показателе s.

4. Явные выражения числа e и функций ex и ln x в виде пределов.

Для того чтобы найти явные формулы, выражающие эти функции, мы используем формулы дифференцирования показательной и логарифмической

функции. Так как производная функции ln x равна x1 , то в силу определения производной мы получаем соотношение

Положим x1 = x + h и допустим, что h стремится к нулю, пробегая после-

Если вместо x1 мы подставим z и перейдем к пределу, то написанное выше соотношение примет вид

Или, в терминах показательной функции,

Мы получили общеизвестную формулу, определяющую показательную функцию просто как предел. В частности, при z = 1 эта формула дает

Эти выражения сразу ведут к разложениям в бесконечные ряды. По биномиальной теореме можно написать

Позволительно догадываться и нетрудно полностью доказать (подробности мы здесь опускаем), что можно перейти к пределу при n → ∞ путем замены

в каждом члене величины n1 на 0. Это дает хорошо известный бесконечный ряд, который служит для вычисления функции ex:

и, в частности, при x = 1 ряд, сходящийся к пределу e: e = 1 + 1!1 + 2!1 + 3!1 + . . . ,

чем устанавливается идентичность e с тем числом, определение которого дано на стр. 325. При x = −1 получается ряд

1e = 2!1 − 3!1 + 4!1 − 5!1 + . . . ,

§ 6 ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ) ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ 479

который дает превосходное приближение уже при очень малом числе членов, так как ошибка, которую мы совершаем, обрывая ряд на n-м члене, меньше величины (n + 1)-го члена.

Пользуясь формулой дифференцирования показательной функции, можно получить интересное выражение для логарифма. Имеет место

так как указанный предел есть не что иное, как значение производной от функции ey при y = 0, а таковое равно 1. Подставим в эту формулу

вместо h значение nz , где z — произвольное число, а n пусть пробегает последовательность целых положительных чисел. Тогда мы получим

при n → ∞. Вводя обозначение z = ln x, или ez = x, можно окончательно

√

Поскольку n x → 1 при n → ∞ (см. стр. 351), формула (15) представляет логарифм в виде произведения двух множителей, из которых первый стремится к бесконечности, а второй — к нулю.

Примеры и упражнения

Введение показательной и логарифмической функций доставляет возможность оперировать с функциями достаточно обширного класса и открывает доступ ко

*14) Найдите геометрическое место максимумов кривой y = xe−ax при переменном параметре a.

15) Покажите, что все последовательные производные от функции e−x2 имеют

вид произведения множителя e−x2 на многочлены от x последовательно возрастающих степеней.

1

*16) Покажите, что производные n-го порядка от функции e− x2 имеют вид

произведения множителей e− 12 · 1 на многочлен степени 2n − 2.

x

x3n

*17) Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование произведений может быть иногда упрощено путем применения основного свойства