Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

2. Обобщение на случай n переменных. Неравенство (1), связывающее средние арифметическое и геометрическое двух положительных величин, может быть обобщено на любое число n положительных величин, которые мы будем обозначать x1, x2, x3, . . . , xn. Средним арифметическим этих величин называют выражение

m = x1 + x2 + . . . + xn , n

§ 6 ЭКСТРЕМУМЫ И НЕРАВЕНСТВА 391

а средним геометрическим — выражение

√

g = n x1x2 . . . xn,

причем имеется в виду всегда положительное значение радикала. Общая

и что равенство g = m возможно только в том случае, если все величины xi равны между собой.

Было предложено много различных остроумных доказательств этого общего результата. Простейший метод заключается в применении того же простого рассуждения, которое мы провели в пункте 1. Перед нами стоит проблема: разбить данное положительное число C на n положительных слагаемых, C = x1 + x2 + . . . + xn, таким образом, чтобы произведение P = = x1x2 . . . xn было возможно большим. Мы будем исходить из допущения, на первый взгляд очевидного, но мы позднее будем иметь случай его проанализировать (§ 7), что наибольшее значение P существует и достигается, скажем, при значениях x1 = a1, x2 = a2, . . . , xn = an. Нам достаточно установить, что a1 = a2 = . . . = an, ибо в этом случае g = m. Допустим, что это не так: пусть, например, a1 6= a2. Тогда рассмотрим значения

x1 = s, x2 = s, x3 = a3, . . . , xn = an,

где

s = a1 + a2 .

2

Другими словами, мы заменим прежнюю систему значений величин xi новой системой, которая отличается от прежней лишь тем, что значения двух первых величин x1 и x2 сделаны равными между собой, причем общая сумма C остается неизменной. Мы можем написать

где положено

d = a1 − a2 .

2

Новое произведение равно

P′ = s2 · a3 . . . an, тогда как прежнее произведение было

P = (s + d)(s − d) · a3 . . . an = (s2 − d2) · a3 . . . an.

Отсюда ясно, что при d 6= 0

P< P′,

аэто противоречит сделанному допущению, что произведение P имеет максимальное значение. Итак, d = 0, и тогда a1 = a2. Таким же образом

доказывается, что a1 = ai, где ai обозначает любое из чисел a; отсюда следует, что все числа a равны между собой. Мы убедились в том, что 1) g = m, если все числа xi равны между собой, 2) наибольшее значение g получается только тогда, когда все числа xi равны между собой. Отсюда можно заключить, что во всех прочих случаях g < m. Теорема доказана.

3. Метод наименьших квадратов. Среднее арифметическое n чисел x1, x2, . . . , xn (которые здесь нет необходимости считать обязательно положительными) обладает замечательным минимальным свойством. Пусть u — числовое значение некоторой неизвестной величины, которое мы хотим определить насколько возможно точнее с помощью какогото измерительного инструмента. Пусть произведено для этой цели n измерений, которые дали результаты x1, x2, . . . , xn, слегка различающиеся между собой, что обусловливается неизбежными и зависящими от разных причин измерительными ошибками. Возникает вопрос: какое же значение следует приписать величине u в качестве заслуживающего наибольшего доверия? В качестве «истинного» или «оптимального» значения принято выбирать среднее арифметическое

m = x1 + x2 + . . . + xn . n

Дать подлинное обоснование указанной процедуре было бы невозможно, не углубляясь в пространные рассуждения, относящиеся к области теории вероятностей. Все же мы можем здесь отметить некоторое минимальное свойство средней арифметической m, которое до некоторой степени оправдывает ее выбор. Пусть u — какое угодно числовое значение измеряемой величины. Тогда разности u − x1, u − x2, . . . , u − xn представляют собой отклонения этой величины от результатов отдельных наблюдений. Эти отклонения могут быть частью положительными, частью отрицательными, и совершенно естественно стремиться к такому оптимальному выбору u, при котором «тотальное» (в каком-то смысле) отклонение было бы возможно меньше. Следуя Гауссу, берут обыкновенно в качестве «измерителей неточности» не сами отклонения, а их квадраты (u − xi)2 и затем выбирают оптимальное значение u с таким расчетом, чтобы минимизировать «тотальное» отклонение, под каковым понимают сумму квадратов отдельных отклонений

(u − x1)2 + (u − x2)2 + . . . + (u − xn)2.

Определенное таким образом оптимальное значение u есть не что иное, как среднее арифметическое m: в этом заключается исходное положение знаменитого «метода наименьших квадратов», созданного Гауссом. Мы постараемся возможно проще доказать это утверждение. Если мы

напишем

(u − xi) = (m − xi) + (u − m),

то получим

(u − xi)2 = (m − xi)2 + (u − m)2 + 2(m − xi)(u − m).

Сложим, далее, все такие равенства, полагая i = 1, 2, . . . , n. Последний член при этом дает

2(u − m)(nm − x1 − . . . − xn),

а это выражение по определению m равно нулю. Следовательно, мы получаем:

(u − x1)2 + (u − x2)2 + . . . + (u − xn)2 =

= (m − x1)2 + (m − x2)2 + . . . + (m − xn)2 + n(u − m)2. Отсюда уже ясно, что

(u − x1)2 + (u − x2)2 + . . . + (u − xn)2 >

> (m − x1)2 + (m − x2)2 + . . . + (m − xn)2, причем знак равенства возможен только при u = m. Как раз это самое мы и собирались доказать.

Общий метод наименьших квадратов принимает руководящий принцип — минимизировать сумму квадратов — во всех более сложных случаях, когда нужно как-то согласовать между собой ряд слегка противоречащих друг другу данных наблюдения. Так, представим себе, что измерены координаты xi, yi для n точек, которые теоретически должны лежать на прямой линии, и предположим, что полученные таким эмпирическим путем точки оказываются расположенными по прямой не вполне точно. Как выбрать прямую, которая наилучшим образом была бы «приложена» или «подогнана» к этим точкам? Руководящий принцип приводит к следующему приему (который — необходимо признать — мог бы быть заменен и другими процедурами, основанными на иных рассуждениях). Пусть y = = ax + b есть уравнение искомой прямой, так что наша проблема заключается в определении коэффициентов a и b. Измеренное по направлению оси y расстояние прямой от точки xi, yi равно yi − (axi + b), т. е. yi − − axi − b, причем имеет положительный или отрицательный знак, смотря по тому, расположена ли точка выше или ниже прямой. Тогда квадрат этого расстояния равен (yi − axi − b)2, и согласно основному принципу метода наименьших квадратов нам достаточно подобрать a и b таким образом, чтобы выражение

(y1 − ax1 − b)2 + (y2 − ax2 − b)2 + . . . + (yn − axn − b)2

достигало наименьшего возможного значения. Мы приходим, таким образом, к минимальной проблеме с двумя переменными величинами a и b. Хотя решение этой проблемы с исследованием всех подробностей и не представляет особенной трудности, мы все же воздержимся здесь от его рассмотрения.

§7. Существование экстремума. Принцип Дирихле

1.Общие замечания. В некоторых из рассмотренных нами экстремальных проблем прямо доказывалось, что решение дает наилучший результат из числа прочих возможных. Ярким примером является принадлежащее Шварцу решение задачи о треугольнике: здесь сразу видно, что никакой вписанный треугольник не может иметь меньший периметр, чем высотный треугольник. Некоторые примеры такого же типа связаны с явно написанными неравенствами, каково, например, неравенство между средними арифметическим и геометрическим. Но при решении других проблем мы шли по иному пути. Мы допускали прежде всего, что решение уже найдено, и затем, анализируя это допущение, получали заключения, иногда позволяющие дать полную характеристику решения и выполнить соответствующее его построение. Так именно обстояло дело с проблемой Штейнера и таков же был план второго решения проблемы Шварца. Названные два метода логически различны. Первый метод, пожалуй, можно считать более совершенным, так как он дает конструктивное доказательство правильности результата. Второй метод, если судить по примеру проблемы Шварца (второе решение), кажется более простым. Но он является не прямым, а косвенным и, самое главное, он условен по самой своей структуре, так как предполагает существование решения. Он приводит

кокончательному результату лишь постольку, поскольку существование решения или постулировано, или доказано. Без этой предпосылки он показывает всего-навсего, что если решение существует, то оно обладает такими-то свойствами. 1

Вследствие кажущейся очевидности предпосылки о существовании решения математики вплоть до конца прошлого столетия не обращали особенного внимания на указанное логическое обстоятельство и допускали существование решения экстремальных проблем как нечто само собой разумеющееся. Некоторые из величайших ученых XIX в. — Гаусс, Дирихле, Риман — некритически основывали на такого рода допущении глубокие и иначе трудно доказуемые предложения в области математической физики и теории функций. Кризис наступил вскоре после того, как Риман в 1849 г. опубликовал свою докторскую диссертацию, посвященную основаниям теории функций комплексного переменного. Эта сжато написанная работа, представляющая собой один из величайших подвигов математической мысли в новейшую эпоху, была до такой степени неортодоксальной в трактовке вопроса, что многие предпочли попросту ее игнорировать. Вейерштрасс

1Логическая необходимость доказывать существование экстремума иллюстрируется сле-

дующим парадоксом: 1 есть наибольшее целое число. Вот доказательство. Пусть x есть наибольшее целое число. Если допустим, что x > 1, то отсюда следует x2 > x, что противоречит сделанному допущению. Итак, x должен быть равен 1.

в то время был уже знаменитым профессором Берлинского университета и пользовался репутацией основателя строго построенной теории функций. Вначале пораженный, но все же исполненный сомнений, он вскоре обнаружил в работе Римана логическую брешь, о восполнении которой сам автор не позаботился. Уничтожающая критика Вейерштрасса не поколебала уверенности Римана в справедливости полученных им результатов, но долгое время его теория не пользовалась признанием. Головокружительная научная карьера Римана вскоре внезапно оборвалась: он умер от туберкулеза. Все же его идеи поддерживались и дальше несколькими убежденными и преданными учениками. Только через пятьдесят лет после появления диссертации Римана Гильберту удалось наконец открыть пути, приводящие к исчерпывающему ответу на все вопросы, оставленные в стороне и не разрешенные Риманом. Начатое Риманом и развернувшееся во второй половине столетия развитие математических теорий, глубоко проникающих в область физики, представляет одну из самых блестящих страниц в истории современной науки.

Уязвимое место в работе Римана — как раз вопрос о существовании минимума. Свою теорию Риман основывает на принципе Дирихле (так он сам его назвал по имени своего учителя: Дирихле, читая лекции в Гёттингене, пользовался этим принципом, но ни в одной из своих работ о нем не писал). Предположим, для большей определенности, что некоторая часть плоскости или какой-нибудь поверхности покрыта слоем станиоля и что стационарный электрический ток проходит по слою, соединенному в двух точках с полюсами батареи. Нет сомнений, что такой эксперимент приведет к некоторому однозначно определенному распределению токов. Но как обстоит дело с соответствующей математической проблемой — проблемой, имеющей первостепенное значение в теории функций и в других областях? В теории электричества рассматриваемое нами физическое явление описывается как «дифференциальное уравнение в частных производных с граничными условиями». Именно эта математическая проблема нас и интересует; возможность ее решения кажется правдоподобной именно по той причине, что мы допустили ее эквивалентность физическому явлению; но математическое доказательство этой возможности никоим образом не может базироваться на сделанном допущении. В подходе Римана к решению рассматриваемого им математического вопроса можно различить два этапа. Во-первых, он показывает, что проблема эквивалентна некоторой минимальной проблеме: некоторая величина, выражающая энергию потока электричества, минимизируется некоторыми реально осуществляющимся потоком (по сравнению с иными потоками, совместными с предписанными граничными условиями). Во-вторых, в качестве «принципа Дирихле» он вводит постулат о том, что такого рода минимальная проблема допускает решение. Риман решительно ничего не предпринял для того, чтобы

«над» кругом C (в том смысле, что никакие две различные точки этой поверхности не могут вертикально проектироваться в одну и ту же точку круга C). Какая поверхность из рассматриваемого множества обладает наименьшей площадью? Каким бы естественным ни казался этот вопрос, положительного ответа на него дать нельзя: допустимой поверхности с наименьшей площадью не существует. Если бы поверхность не была подчинена условию проходить через точку S, тогда решением задачи был бы, очевидно, плоский диск, ограниченный окружностью C. Обозначим площадь этого диска через A. Всякая другая поверхность, ограниченная окружностью C, непременно имеет площадь большую,´ чем A. Но можно указать допустимую поверхность, площадь которой будет отличаться от A как угодно мало. В самом деле, возьмем коническую поверхность высоты 1 — такую «тоненькую», чтобы ее площадь была меньше заранее назначенного маленького числа. Поместим эту поверхность посреди диска так, чтобы ее вершина попала в точку S, и затем рассмотрим поверхность, образованную из нашей конической поверхности и той части диска, которая окажется вне основания конуса. Совершенно ясно, что построенная таким образом поверхность, только вблизи центра диска отличающаяся от самого диска, обладает площадью, превосходящей A меньше чем на заранее назначенное число. Так как это последнее число может быть выбрано сколь угодно малым, то отсюда следует, что минимум площади (если он существует) не может отличаться от площади диска A. Но среди поверхностей, ограниченных контуром C, только сам диск обладает площадью A; однако диск не проходит через точку S и, значит, не является допустимой поверхностью; следовательно, решения задачи не существует.

Мы можем избавить себя от труда приводить дальнейшие относящиеся сюда софистически утонченные примеры, указанные Вейерштрассом. Уже приведенные примеры достаточно убедительно показывают, что существование минимума не является тривиальным моментом в математическом доказательстве. Попробуем взглянуть на рассматриваемый вопрос с более отвлеченной точки зрения. Представим себе некоторый определенный класс объектов, например, кривых или поверхностей; пусть каждому объекту этого класса поставлено в соответствие — как функция этого объекта — некоторое число, например длина или площадь. Если в классе содержится лишь конечное число объектов, то среди соответствующих чисел неизбежно имеется наибольшее и наименьшее. Но если в классе содержится бесконечное множество объектов, то даже в том случае, если все соответствующие числа заключены между двумя конечными границами, среди них вовсе не обязательно найдется наибольшее и наименьшее. На числовой оси множество чисел изображается в виде множества точек. Предположим, ограничившись простейшим случаем, что все числа множества положительные. Такое множество непременно имеет «нижнюю

границу» — такое число a, меньше которого в нашем множестве нет ни одного числа и которое или само есть элемент множества, или как угодно мало отличается от некоторого элемента множества. Если a само принадлежит множеству, то оно является его наименьшим элементом; в противном случае множество не содержит вовсе наименьшего элемента. Например,

множество чисел 1, 21 , 31 , . . . не содержит наименьшего элемента, так как

нижняя граница 0 не принадлежит множеству. Такого рода отвлеченные примеры иллюстрируют логические трудности, связанные с проблемой существования. Математическое решение минимальной проблемы нельзя назвать исчерпывающим, если в явной или в неявной форме не устанавливается, что среди элементов числового множества, рассматриваемого в связи

спроблемой, существует наименьший.

3.Экстремальные проблемы элементарного содержания. В задачах элементарного содержания бывает достаточно внимательно проанализировать условия, чтобы уяснить, как обстоит дело с существованием

решения. В главе VI, § 5, было исследовано общее понятие компактного множества и было установлено, что непрерывная функция, заданная на некотором множестве элементов, для каких-то элементов множества непременно достигает своих экстремальных значений, если данное множество обладает свойством компактности. В любой из вышеприведенных элементарных проблем сравниваемые между собой числовые элементы могли быть рассматриваемы как значения функции одной или нескольких переменных в области, которая или была компактным множеством, или — без существенного видоизменения проблемы — могла быть сделана таковым. В таких случаях существование максимума или минимума не подлежало сомнению. Остановимся, в качестве примера, на проблеме Штейнера. Рассматриваемая в ней величина есть сумма трех расстояний, и эта последняя зависит от положения точки непрерывно. Хотя область, в которой может двигаться точка, есть вся плоскость, мы можем без ограничения общности провести окружность большого радиуса (включающую весь рисунок) и подчинить точку условию находиться внутри этой окружности или на ней самой. В самом деле, если движущаяся точка будет находиться достаточно далеко от вершин треугольника, сумма трех расстояний от сторон наверняка превысит AB + AC, а последняя величина принадлежит к числу подлежащих сравнению значений нашей функции. Таким образом, если существует минимум для «ограниченной» проблемы (когда точка подчинена дополнительному ограничению), то существует минимум и для неограниченной проблемы. С другой стороны, нетрудно удостовериться, что множество, состоящее из точек внутри круга или на его границе, компактно. Итак, существование минимума в случае проблемы Штейнера доказано.

Насколько существенно свойство компактности области, в которой изменяется независимое переменное, обнаруживает следующий пример. Если заданы две замкнутые кривые C1 и C2, то всегда можно найти на C1

иC2 соответственно две такие точки P1 и P2, что расстояние между ними минимально, и можно найти две такие точки Q1 и Q2, что расстояние между ними максимально. Действительно, расстояние между точкой A1 на C1 и точкой A2 на C2 есть непрерывная функция, заданная на компактном множестве, элементы которого — пары точек A1, A2. Напротив, если данные кривые, не будучи замкнутыми, уходят в бесконечность, проблема может

ине иметь решения. На рис. 224 изображены две такие кривые, что ни наименьшее, ни наибольшее расстояния между соответственно принадлежащими им точками не достигаются: при этом нижняя граница расстояний равна нулю, а верхняя граница бесконечна. В иных случаях существует минимум, но не существует максимума. Так, в случае двух ветвей гиперболы (рис. 17, стр. 102) минимальное расстояние реализуется для вершин A

иA′, тогда как нельзя указать пары точек, между которыми расстояние было бы максимальным.

C1

C2

Рис. 224. Кривые, между которыми нет ни наименьшего, ни наибольшего расстояния

Нетрудно понять, чем обусловливается различие между двумя предыдущими примерами; для этого достаточно искусственно ограничить область изменения переменных. Возьмем произвольное положительное число R и подчиним абсциссы точек ограничению |x| 6 R. Тогда для обеих проблем будет существовать и минимум и максимум. Но в первом примере и минимум и максимум достигаются на границе области, каково бы ни было R, и при неограниченном возрастании R соответствующие точки удаляются в бесконечность. Напротив, во втором примере минимальное расстояние достигается внутри области, и точки, его реализующие, остаются неподвижными, как бы ни возрастало R.

4. Трудности, возникающие в более сложных случаях. Если вопрос о существовании экстремума не представляет серьезных затруднений в элементарных проблемах, зависящих от одной, двух или, вообще,