Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

системы, в которой скорость света меняется по определенному закону от точки к точке, например так, как это происходит в атмосфере. Он разделил непрерывную неоднородную среду на тонкие слои, в каждом из которых скорость света приблизительно постоянна, и представил себе новую, воображаемую среду, в которой скорость света действительно постоянна

впределах каждого слоя. При таких условиях можно было применять прежний принцип при переходе от каждого слоя к следующему. Затем, допуская, что толщина каждого слоя стремится к нулю, он получил общий принцип геометрической оптики (известный ныне под именем принципа Ферма): в неоднородной среде световой луч, идущий от одной точки к другой, следует по такому пути, что время, нужное для его прохождения, меньше, чем понадобилось бы при прохождении любого иного пути. Этот принцип оказался в высшей степени полезным не только теоретически, но и практически. В геометрической оптике, оперируя техническим аппаратом вариационного исчисления, пользуются этим принципом как основным орудием при расчетах систем линз.

Минимальные принципы стали затем господствующими и в других областях физики. Так, было замечено, что устойчивое равновесие механической системы бывает достигнуто при таком расположении, при котором «потенциальная энергия» минимальна. Рассмотрим, например, свободно изгибаемую однородную цепь, подвешенную за два ее конца и предоставленную действию силы тяжести. Тогда цепь займет именно такое положение, при котором потенциальная энергия ее будет наименьшей. В указанном примере потенциальная энергия зависит от высоты центра тяжести относительно некоторой постоянной оси. Кривая, образованная свободно подвешенной цепью, называется цепной линией и по внешнему виду несколько напоминает параболу.

Не только закон равновесия, но и законы движения подчиняются экстремальным принципам. Отчетливые представления об этих принципах впервые возникли у Эйлера, тогда как люди, склонные к спекулятивным размышлениям философского и мистического характера, как, например, М о п е р т ю и (1698–1759), не были способны дать точные математические формулировки и ограничивались смутными высказываниями по поводу «божественного регулирования физических явлений общими принципами наивысшего совершенства». Эйлеровы вариационные принципы

вобласти физики, вновь открытые и обобщенные ирландским математиком Га м и л ь т о н о м (1805–1865), стали впоследствии могущественнейшим орудием в таких областях, как механика, оптика, электродинамика, самые разнообразные технические науки. Физические теории недавнего происхождения — теория относительности и квантовая теория — полны примеров, обнаруживающих значение методов вариационного исчисления.

§ 10 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 411

3. Решение задачи о брахистохроне, принадлежащее Якобу Бернулли. Ранний метод, примененный к решению проблемы о брахистохроне Якобом Бернулли, может быть изложен с применением сравнительно скромных математических средств. Возьмем в качестве исходного тот известный из механики факт, что материальная частица, начинающая свой путь в точке A с нулевой скоростью и затем скользящая вниз по произвольной кривой C, приходит в некоторую точку P со скоростью, пропорциональной величине √h, где h есть отсчитываемое по вертикали рас- стояние точки P от точки A; иначе говоря, мы имеем зависимость v = c√h, где c — постоянный коэффициент. Подвергнем рассматриваемую задачу легкому видоизменению. Разобьем мысленно пространство на множество горизонтальных слоев, каждый толщиной d, и предположим на минуту, что скорость нашей частицы меняется не непрерывно, а небольшими скачками — при переходе от слоя к слою; именно в первом слое, прилежащем непосредственно к точке A, скорость равна c√d, во втором c√2d, наконец в n-м c√nd = c√h, где h — расстояние P от A, отсчитываемое по вертикали (рис. 238). При такой постановке задачи мы имеем дело с конечным числом переменных. В пределах каждого слоя путь частицы должен быть прямолинейным. Вопрос о существо-

вании экстремума не возникает; решение должно даваться ломаной ли-

нией; нужно только определить ее углы при вершинах. Согласно минимальному принципу простого преломления, в каждой паре соседних слоев

движение от P к R через Q таково, что

при фиксированных P и R точка Q соответствует наименьшему времени пути. Отсюда вытекает следующий «закон преломления»:

где an обозначает угол между направлением пути в n-м слое и вертикалью. Затем Бернулли предполагает, что толщина слоев d, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю, причем ломаная траектория, решающая приближенную проблему, в пределе переходит в искомую кривую, решающую основную проблему. При этом предельном переходе равенства (1) сохраняются, и потому Бернулли делает заключение: если a обозначает угол, который в произвольной точке P кривой C траектория брахистохронного

движения делает с вертикалью, а h — расстояние от A до P, рассчиты-

ваемое по вертикали, то выражение sin a

√h

значение во всех точках P кривой C. Легко показать, что указанное свойство характеризует циклоиду.

Бернуллиево «доказательство» представляет собой типичный пример остроумного и плодотворного математического рассуждения, которое в то же время нельзя назвать безукоризненно строгим. В нем содержится несколько неявно принятых допущений, оправдание которых было бы сложнее и пространнее, чем само рассуждение. Так, с одной стороны, не доказывается само существование решения C, с другой — постулируется без достаточных математических оснований, что решение приближенной проблемы является приближенным решением основной проблемы. Вопрос о внутренней ценности такого рода эвристических (наводящих) построений заслуживает внимательного рассмотрения, но завел бы нас слишком далеко в сторону.

4. Геодезические линии на сфере. Минимаксы. Во введении к этой главе была упомянута проблема нахождения «геодезических линий» — кратчайших дуг, соединяющих две данные точки на некоторой поверхности. На сфере, как показывается в элементарной геометрии, такими линиями являются дуги больших кругов. Пусть P и Q — две точки на сфере (не являющиеся диаметрально противоположными) и c — меньшая из двух дуг большого круга, проходящего через P и Q. Тогда возникает вопрос:

кругов PS и SQ. А затем постараемся найти такое положение точки S, при котором наименьшее расстояние PSQ было бы максимальным. Тогда получаем следующее решение вопроса: точка S должна быть такова, чтобы ломаная PSQ была более длинной дугой c′ большого круга PQ. Можно

видоизменить проблему, сначала спрашивая себя о кратчайшем пути на сфере от точки P к точке S, проходящем через n наперед заданных точек S1, S2, . . . , Sn, и затем определяя точки S1, S2, . . . , Sn таким образом, чтобы минимальная длина была насколько возможно большой. Решением такой задачи служит путь по большому кругу, проходящему через P к Q, но обвивающийся вокруг сферы таким образом, чтобы пройти через точки, диаметрально противоположные P и Q, ровно n раз.

Эта минимаксная проблема является типичным примером для обширного класса вопросов из области вариационного исчисления, с полным успехом изученных в последнее время с помощью методов, предложенных Морсом и другими авторами.

§11. Экспериментальные решения задач на минимум. Опыты с мыльными пленками

1.Введение. Обыкновенно бывает очень трудно, а иногда даже невозможно, решить вариационную проблему явно с помощью формул или геометрических построений, включающих простые, известные элементы. Вместо того часто удовлетворяются одним лишь доказательством существования решения при тех или иных условиях и затем исследуют его свойства. Во многих случаях, если доказательство существования оказывается более или менее затруднительным, бывает полезно реализовать математические условия проблемы посредством соответствующих физических приспособлений, рассматривая таким образом математическую проблему как эквивалентную некоторой физической задаче. Само физическое явление

втаких случаях предоставляет решение математической проблемы. Само собой разумеется, что подобного рода процедуру следует трактовать не как полноценное математическое доказательство, а только как «наводящую» (эвристическую): в самом деле, при этом остается открытым вопрос о том, является ли математическая интерпретация строго адекватной физическому явлению или же дает лишь несовершенное отображение реальной действительности. Иногда относящиеся сюда эксперименты, хотя бы они были воображаемыми, бывают способны воздействовать убеждающе даже на математиков. В прошлом столетии ряд фундаментальных теорем из области теории функций был открыт Риманом на основе придумывания простейших экспериментов, касающихся потока электричества в металлических листах.

В дальнейшем мы имеем в виду рассмотреть — на экспериментальнодемонстративной основе — одну из более глубоких вариационных проблем. Речь идет о так называемой проблеме Плато. П л а т о (1801–1883), известный физик, по национальности бельгиец, занимался интересными опытами, имеющими ближайшее отношение к этой проблеме. Сама по себе

проблема гораздо старше по возрасту и относится к эпохе возникновения вариационного исчисления. В простейшей формулировке содержание ее таково: найти поверхность наименьшей площади, ограниченную данным замкнутым пространственным контуром. Мы рассмотрим также эксперименты, относящиеся к некоторым близким проблемам, и убедимся, что это позволит увидеть в новом свете как некоторые из приведенных выше экстремальных проблем, так и ряд экстремальных проблем нового типа.

2. Опыты с мыльными пленками. В математической постановке проблема Плато приводит к решению «дифференциального уравнения в частных производных» или же системы таких уравнений. Эйлер установил, что всякая «минимальная» поверхность, решающая эту проблему, если только не сводится к плоскости, непременно должна быть во всех своих точках «седлообразной» и что ее средняя кривизна всюду должна равняться нулю 1. В течение последнего столетия решение было получено во множестве частных случаев, но существование решения в общем случае было доказано лишь недавно Дж. Д у г л а с о м и Т. Р а д о.

Опыты Плато непосредственно дают физические решения для самых разнообразных контуров. Если замкнутый контур, сделанный из проволоки, погрузить в жидкость со слабым поверхностным натяжением и затем вынуть оттуда, то увидим пленку, натянутую на контуре в форме минимальной поверхности с наименьшей площадью. (Предполагается, что можно пренебречь силой тяжести и другими силами, препятствующими стремлению пленки достигнуть устойчивого равновесия; последнее же наступает в том случае, если площадь пленки оказывается наименьшей, так как потенциальная энергия, возникающая вследствие поверхностного натяжения, при этом условии минимальна.) Вот хороший рецепт для получения такой жидкости: растворите 10 г чистого сухого олеата натрия в 500 г дистиллированной воды и затем смешайте 15 кубических единиц раствора с 11 кубическими единицами глицерина. Пленки, получаемые из указанной смеси на каркасах из латунной проволоки, сравнительно устойчивы. Сами каркасы не должны превышать 5–6 дюймов в диаметре.

С помощью пленок очень легко «решить» проблему Плато: достаточно придать проволочному каркасу нужную форму. Красивые модели поверхностей получаются на полигональных каркасах, образованных из последовательностей ребер правильных многогранников. В частности, любопытно

1Средняя кривизна поверхности в точке P определяется следующим образом. Вообразим перпендикуляр к поверхности в точке P и все плоскости, через него проходящие. Эти плоскости пересекаются с данной поверхностью по кривым, которые в точке P имеют, вообще говоря, различную кривизну. Рассмотрим, в частности, кривые, обладающие наибольшей и наименьшей кривизной (соответствующие секущие плоскости, как можно доказать, перпендикулярны между собой). Полусумма этих двух кривизн и есть средняя кривизна поверхности в точке P.

§ 11 ОПЫТЫ С МЫЛЬНЫМИ ПЛЕНКАМИ 415

погрузить в наш раствор каркас куба весь целиком. Тогда получается система поверхностей, пересекающих друг друга под углом в 120◦. (Если куб вынимать из раствора очень осторожно, то можно насчитать тринадцать почти плоских поверхностей.) Потом можно протыкать и уничто-

вающего контура, но и для системы таких контуров; кроме того, было обращено внимание и на возможность образования минимальных поверхностей более сложной топологической структуры. Так, существуют односторонние минимальные поверхности и минимальные поверхности рода, отличного от нуля. Возникающие более общие проблемы порождают изумительное разнообразие геометрических явлений, которые могут быть продемонстрированы с помощью мыльных пленок. Заметим в связи с этим, что очень полезно проволочные каркасы делать гибкими и изучать изменение формы поверхности пленки под влиянием непрерывной деформации каркаса.

Дадим описание некоторых опытов.

1. Если граничный контур представляет собой окружность, то получается поверхность в виде кругового диска. Можно было бы ожидать, что при непрерывной деформации контура минимальная поверхность всегда будет сохранять тот же топологиче-

Рис. 241. Односторонняя по- ский характер. Но это неверно. Если изо- верхность (лента Мёбиуса) гнуть контур так, как показано на рис. 241,

416 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

то вместо поверхности, топологически эквивалентной диску, получается односторонняя лента Мёбиуса. Обратно, можно производить деформацию, исходя из контура, изображенного на чертеже, с натянутой на него пленкой в виде ленты Мёбиуса. Для осуществления непрерывной деформации следует припаять к каркасу рукоятки (см. тот же рисунок). В процессе обратной деформации наступает момент, когда внезапно топологический характер пленки меняется и возникает снова поверхность типа диска (рис. 242). Опять, обращая деформацию, мы вернемся к поверхности Мёбиуса. Заме-

чательно, однако, то, что «мутация» дискообразной поверхности в поверхность типа Мёбиуса происходит на более поздней стадии деформации, чем при обратном процессе. Это показывает, что существует непрерывная цепь замкнутых пространственных контуров, для которых и поверхности типа Мёбиуса, и дискообразные поверхности устойчивы, т. е. доставляют относительные минимумы. Но если поверхность типа Мёбиуса обладает значительно меньшей площадью, чем другая, то эта последняя все же слишком неустойчива, чтобы существовать физически.

торого параллельна плоскостям граничных окружностей (рис. 243). Уничтожая этот диск, мы получим, далее, классический катеноид (поверхность, образуемую вращением цепной линии, о которой шла речь на стр. 410, около прямой, перпендикулярной к оси симметрии). При раздвигании граничных контуров наступает момент, когда двусвязный катеноид лопается и превращается в два отдельных диска. Указанный процесс, конечно, необратим.

3. Еще один замечательный пример доставляется каркасом, изображенным на рис. 244–246; на этот каркас могут быть натянуты три различные минимальные поверхности. Одна из них (рис. 244) имеет род 1, тогда как две другие односвязны и в некотором смысле обладают свойством взаимной симметрии. Две последние поверхности имеют одну и ту же площадь, если только контур вполне симметричен. Но в противном случае только одна из поверхностей обеспечивает абсолютный минимум площади,

лении; таким образом, можно многократно повторять переход от одного типа поверхности к другому. Оперируя контуром надлежащим образом, удается также трансформировать одну из односвязных поверхностей в поверхность рода 1. Для этой цели нужно сблизить между собой те части

Рис. 247. Односторонняя минимальная поверхность более сложной топологической структуры, натянутая на простой замкнутый контур

контура, на которые натянуты дискообразные части самой поверхности — с таким расчетом, чтобы поверхность рода 1 стала гораздо более устойчивой. Иногда в процессе выполнения описанной выше операции с контуром возникают промежуточные пленочные поверхности: их нужно уничтожать, чтобы получилась поверхность рода 1.

сложные модели в таком же роде и подвергнуть их экспериментальному исследованию.

Интересное явление — возникновение минимальных поверхностей, ограниченных двумя или большим числом взаимно зацепленных замкнутых

контуров. В случае двух круговых контуров получается поверхность, изображенная на рис. 248. Если в этом примере плоскости кругов взаимно перпендикулярны и прямая их пересечения есть общий диаметр двух кругов, то существуют две диаметрально противоположные формы минимальной поверхности с одинаковыми площадями. Представим себе теперь, что два круга постепенно изменяют свое взаимное положение; тогда и форма минимальной поверхности будет меняться непрерывно, хотя при каждом положении кругов только для одной из поверхностей осуществляется абсолютный минимум, для другой же — только относительный. При некоторых положениях поверхность относительного минимума вдруг разрывается и заменяется поверхностью абсолютного минимума. Обе минимальные поверхности в этом примере — одного и того же топологического типа (как и поверхности на рис. 245 и 246).

4. Экспериментальные решения других математических проблем.

Благодаря действию поверхностного натяжения жидкая пленка только при том условии может находиться в состоянии устойчивого равновесия, если площадь образуемой поверхности минимальна. Это обстоятельство является неистощимым источником экспериментов серьезной математической ценности. Если некоторые части границы пленки могут свободно перемещаться по заданным поверхностям (например, плоскостям), то на этих частях границы пленка будет стоять перпендикулярно к заданной поверхности.

Мы можем использовать последнее отмеченное обстоятельство для наглядного решения проблемы Штейнера и ее обобщений (см. § 5). Пусть две параллельно расположен-

ные стеклянные поверхности (или гладкие плитки) соединены тремя или большим´ числом перпендикулярно стоящих стержней. Если погрузить всю такого рода систему в мыльный раствор, затем вынуть, то пленка образует между плоскими поверхностями ряд вертикальных полос, связывающих между собой стержни. Проекция этих полос на горизонтальные плоскости есть не что иное, как решение проблемы Штейнера, рассмотренной на стр. 382–383.

Если две плоские поверхности не параллельны или стержни к ним не перпендикулярны, или сами поверхности не являются плоскими, то кривые,