Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

10

например,

10

Аналогично,

0−1

Если P есть некоторая точка прямой L, продвигаемся вправо от нее до некоторой точки R, а затем вверх или вниз до точки Q, лежащей на пря-

мой, тогда наклон L равен tg a, т. е. RQPR . Отрезок PR предполагается

Под наклоном кривой в точке P мы подразумеваем наклон ее касательной в этой точке. Поскольку мы расположены принять понятие касательной как интуитивно данное, перед нами остается только задача —

найти способ для вычисления наклона кривой. В настоящий момент мы встанем на именно такую точку зрения: более тщательный анализ относящихся сюда проблем будет произведен в дополнении к этой главе.

2. Производная как предел. Рассмотрение кривой y = f(x) только в одной ее точке P(x, y) не позволяет вычислить наклон кривой в этой точке. Необходимо прибегнуть к предельному процессу, сходному с процессом вычисления площади. Этот предельный процесс является основой дифференциального исчисления. Рассмотрим на данной кривой другую точку P1, близкую к P, с координатами x1, y1; обозначим прямую, проходящую через точки P и P1, буквой t1; эта прямая по отношению к нашей кривой является секущей, которая мало отличается от касательной к точке P, если только точка P1 близка к точке P. Обозначим угол между осью x и прямой t1 буквой a1. Заставим теперь x1 стремиться к x; тогда точка P1 будет двигаться по кривой к точке P и секущая t1 будет приближаться к некоторому предельному положению, которое и есть не что иное, как касательная t к нашей кривой в точке x. Если буквой a обозначить угол между осью x и

1Наши обозначения здесь слегка отличаются от обозначений главы VI, поскольку там мы

имели x → x1, где x1 постоянно. Никакой путаницы от этого изменения обозначений не произойдет.

f′(x) есть предел разности (di erentia) f(x1) − f(x), деленной на разность x1 − x:

Другим часто употребляемым обозначением является f′(x) = Df(x),

где символ D есть первая буква слова di erentia, что значит «разность»; кроме того, для производной от функции y = f(x) существуют еще обозначения Лейбница

которые мы подвергнем обсуждению в § 4, и намекающие на то, что про-

Рис. 269. Знак производной

Условившись в том, что движение по кривой совершается в направлении возрастающих значений x, мы можем теперь заключить: то обстоятельство, что производная в некоторой точке положительна, f′(x) > 0, обозначает подъем кривой (значения y возрастают). Напротив, то обстоятельство, что производная отрицательна, f′(x) < 0, означает падение кривой (значения y убывают); наконец, если производная обращается в нуль, f′(x) = 0, то это обозначает горизонтальное направление кривой для

1В русском издании в дальнейшем используются именно эти, общепринятые у нас обозначения. — Прим. ред.

соответствующего значения x. В точках максимума и минимума наклон должен быть равен нулю (рис. 269). Таким образом, решая уравнение

f′(x) = 0

относительно x, мы можем найти положение максимумов и минимумов, как это и было впервые сделано Ферма.

3. Примеры. Может показаться, что рассуждения, приведшие к определению (1), лишены всякого практического смысла. В самом деле, одна проблема подменена другой: вместо того чтобы искать наклон касательной к кривой y = f(x) в некоторой точке, мы должны вычислять предел (1), что с первого взгляда кажется одинаково трудным. Но как только мы откажемся от рассмотрении в общем виде и перейдем к отдельным функциям, мы получим весьма реальные результаты.

Простейшей из функций является функция f(x) = c, где c постоянно. График этой функции y = f(x) = c есть горизонтальная прямая, совпадающая со всеми своими касательными; очевидно, для всех значений x имеет

место соотношение

f′(x) = 0.

Это вытекает также и из определения (1); в самом деле,

Таким образом, получаем тривиальный результат:

Вслед за этим рассмотрим простую функцию y = f(x) = x, графиком которой является биссектриса угла первого квадранта. Геометрически ясно, что для всех значений x

Простейшим нетривиальным примером является дифференцирование

функции

y = f(x) = x2,

что в сущности является нахождением наклона параболы. Это — простейший случай, на котором мы можем учиться совершать переход к пределу, когда результат с первого взгляда не очевиден. Мы имеем

Если бы мы попытались перейти к пределу непосредственно в числителе и в знаменателе, то получили бы не имеющее смысла выражение 00 . Но

этого затруднения можно избежать, сократив дробь на мешающий нам множитель x1 − x до перехода к пределу. (Такое сокращение законно, так как при вычислении предела разностного отношения мы считаем, что x1 6= x, см. стр. 332.) Таким образом мы получаем результат

После сокращения нахождение предела при x1 → x не представляет уже никаких трудностей. Этот предел получается путем простой «подстановки», так как разностное отношение в своем новом виде x1 + x непрерывно, а предел непрерывной функции при x1 → x есть просто значение этой функции при x1 = x; в нашем примере мы получаем непосредственно x + x = 2x и, следовательно, если f(x) = x2, то

f′(x) = 2x.

Совершенно аналогично мы можем доказать, что в случае функции f(x) = = x3 мы будем иметь f′(x) = 3x2. В самом деле, отношение

может быть упрощено по формуле

x31 − x3 = (x1 − x)(x21 + x1x + x2);

знаменатель x = x1 − x сокращается, и мы получаем непрерывное выра-

жение

yx = x21 + x1x + x2.

При стремлении x1 к x это выражение стремится к сумме x2 + x2 + x2; в качестве предела получается выражение

f′(x) = 3x2.

И вообще, для функции

f(x) = xn,

где n — целое положительное, производная будет иметь вид f′(x) = nxn−1.

Упражнение. Докажите этот результат. (Указание: примените алгебраическую формулу

xn1 − xn = (x1 − x)(xn1−1 + xn1−2x + xn1−3x2 + . . . + x1xn−2 + xn−1). )

448 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

В качестве следующего примера, позволяющего непосредственно опре-

— выражение, опять-таки непрерывное в точке x1 = x; в качестве предела мы, следовательно, будем иметь

f′(x) = −x12 .

Само собой разумеется, что в данном случае ни производная, ни сама функция не определены в точке x = 0.

Упражнение. Докажите аналогичным способом, что функция f(x) = x12 имеет производную f′(x) = −x23 ; функция f(x) = x1n имеет производную f′(x) = −xnn+1 ; функция f(x) = (1 + x)n имеет производную f′(x) = n(1 + x)n−1.

Продифференцируем теперь функцию√x.

кратить знаменатель с первым из множителей и получить выражение, непрерывное в точке x1 = x,