Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

простыми и более прямыми, чем методы анализа. Вообще, занимаясь той или иной научной проблемой, лучше исходить из ее индивидуальных особенностей, чем полагаться исключительно на общие методы, хотя, с другой стороны, общий принцип, уясняющий смысл применяемых специальных процедур, конечно, всегда должен играть руководящую роль. Таково именно значение методов дифференциального исчисления при рассмотрении экстремальных проблем. Наблюдаемое в современной науке стремление к общности представляет только одну сторону дела, так как то, что в математике является подлинно жизненным, без всякого сомнения обусловливается индивидуальными чертами рассматриваемых проблем и применяемых методов.

В своем историческом развитии дифференциальное исчисление в весьма значительной степени испытало воздействие индивидуальных проблем, связанных с разысканием наибольших и наименьших значений величин. Связь между экстремальными проблемами и дифференциальным исчислением можно уяснить себе следующим образом. В главе VIII мы займемся обстоятельным изучением производной f′(x) от функции f(x) и ее геометрического смысла. Там мы увидим, что, говоря кратко, производная f′(x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке (x, y). Геометрически очевидно, что в точках максимума или минимума гладкой кривой y = f(x) касательная к кривой непременно должна быть горизонтальной, т. е. наклон должен равняться нулю. Таким образом, мы получаем для точек экстремума условие f′(x) = 0.

Чтобы отдать себе ясно отчет в том, что означает обращение в нуль производной f′(x), рассмотрим кривую, изображенную на рис. 191. Мы видим здесь пять точек A, B, C, D, E, в которых касательная к кривой горизонтальна; обозначим соответствующие значения f(x) в этих точках через a, b, c, d, e. Наибольшее значение f(x) (в пределах области, изображенной на чертеже) достигается в точке D, наименьшее — в точке A. В точке B имеется максимум — в том смысле, что во всех точках некоторой окрестности точки B значение f(x) меньше, чем b, хотя в точках, близких к D, значение f(x) все же больше, чем b. По этой причине принято говорить, что в точке B имеется относительный максимум функции f(x), тогда как в точке D — абсолютный максимум. Точно так же в точке C имеет место относительный минимум, а в точке A — абсолютный минимум. Наконец, что касается точки E, то в ней нет ни максимума, ни минимума, хотя в ней все же осуществляется равенство f′(x) = 0. Отсюда следует, что обращение в нуль производной f′(x) есть необходимое, но никак не достаточное условие для появления экстремума гладкой функции f(x); другими словами, во всякой точке, где имеется экстремум (абсолютный или относительный), непременно имеет место равенство f′(x) = 0, но не во вся-

§ 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 371

кой точке, где f′(x) = 0, обязан быть экстремум. Те точки, в которых производная f′(x) обращается в нуль, — независимо от того, имеется ли в них экстремум, — называются стационарными. Дальнейший анализ приводит к более или менее сложным условиям, касающимся высших производных функции f(x) и полностью характеризующим максимумы, минимумы и иные стационарные точки.

B

E

x

C

A

Рис. 191. Стационарные точки функции

2. Максимумы и минимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. Существуют экстремальные проблемы, которые не могут быть выражены с помощью понятия функции f(x) от одной переменной. Простейшим относящимся сюда примером является проблема нахождения экстремумов функции z = f(x, y) от двух независимых переменных.

Мы всегда можем представлять себе функцию f(x, y) как высоту z поверхности над плоскостью x, y, и эту картину будем интерпретировать, скажем, как горный ландшафт. Максимум функции f(x, y) соответствует горной вершине, минимум — дну ямы или озера. В обоих случаях, если только поверхность гладкая, касательная плоскость к поверхности обязательно горизонтальна. Но, помимо вершин гор и самых низких точек в ямах, могут существовать и иные точки, в которых касательная плоскость горизонтальна: это «седловые» точки, соответствующие горным перевалам. Исследуем их более внимательно. Предположим (рис. 192), что имеются две вершины A и B в горном хребте и две точки C и D на различных склонах хребта; предположим, что из C нам нужно пройти в D. Рассмотрим сначала те пути, ведущие из C в D, которые получаются при пересечении поверхности плоскостями, проходящими через C и D. Каждый такой путь

имеет самую высокую точку. При изменении положения секущей плоскости меняется и путь, и можно будет найти такой путь, для которого наивысшая точка будет в самом низком из возможных положений. Наивысшей точкой E на этом пути является точка горного перевала в нашем ландшафте; ее можно назвать также седловой точкой. Ясно, что в точке E нет ни максимума, ни минимума, так как сколь угодно близко к E существуют на поверхности такие точки, которые выше E, и такие, которые ниже E. Можно было бы в предыдущем рассуждении и не ограничиваться рассмотрением только тех путей, которые возникают при пересечении поверхности плоскостями, а рассматривать какие угодно пути, соединяющие C и D. Характеристика, данная нами точке E, от этого бы не изменилась.

Точно так же, если бы мы пожелали от вершины A пройти к вершине B, то всякий путь, который мы могли бы выбрать, имел бы самую низкую точку; рассматривая хотя бы только плоские сечения, мы нашли бы такой путь AB, для которого наименьшая точка была бы расположена наиболее высоко, причем получилась бы опять прежняя точка E. Таким образом, эта седловая точка E обладает свойством доставлять самый высокий минимум или самый низкий максимум: здесь имеет место «максиминимум» или «минимаксимум» — сокращенно минимакс. Касательная плоскость в точке E горизонтальна; действительно, так как E — наинизшая точка пути AB, то касательная к AB в E горизонтальна, и аналогично, так как E — наивысшая точка пути CD, то и касательная к CD в E горизонтальна. Поэтому касательная плоскость, обязательно проходящая через эти две касательные прямые, горизонтальна. Итак, мы обнаруживаем три различных типа точек с горизонтальными касательными плоскостями: точки максимума, точки минимума и, наконец, седловые точки; соответственно существует и три различных типа стационарных значений функции.

Другой способ представлять геометрически функцию f(x, y) заключается в вычерчивании линий уровня — тех самых, которые употребляются в картографии для обозначения высот на местности (см. стр. 314). Линией уровня называется такая кривая в плоскости x, y, вдоль которой

§ 3 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 373

функция f(x, y) имеет одно и то же значение; другими словами, линии уровня — то же, что и кривые семейства f(x, y) = c. Через обыкновенную точку плоскости проходит в точности одна линия уровня; точки максимума и минимума бывают окружены замкнутыми линиями уровня, в седловых точках пересекаются две (или более) линии уровня. На рис. 193 проведены линии уровня, соответствующие ландшафту, изображенному на рис. 192.

При этом особенно наглядным становится замечательное свойство седловой точки E: всякий путь, связывающий A и B и не проходящий через E, частично лежит в области, где f(x, y) < f(E), тогда как путь AEB на рис. 192 имеет минимум как раз в точке E. Таким же образом мы убеждаемся, что значение f(x, y) в точке E представляет собой наименьший максимум на путях, связывающих C и D.

3. Точки минимакса и топология. Существует глубокая связь между общей теорией стационарных точек и топологическими идеями. По этому поводу мы можем здесь дать только краткое указание и ограничимся рассмотрением одного примера.

Рассмотрим горный ландшафт на кольцеобразном острове B с двумя береговыми контурами C и C′; если обозначим, как раньше, высоту над уровнем моря через u = f(x, y), причем допустим, что f(x, y) = 0 на

ли мы выберем такой путь, для которого наивысшая точка оказывается самой низкой, то полученная таким образом наивысшая точка и будет седловой точкой функции u = f(x, y). (Следует оговорить представляющий исключение тривиальный случай, когда некоторая горизонтальная плоскость касается кольцеобразного горного хребта по замкнутой кривой.) В случае области, ограниченной p замкнутыми кривыми, вообще говоря, должно существовать не менее чем p − 1 точек минимакса. Подобного

374 МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ гл. VII

же рода соотношения, как установил Марстон М о р c, имеют место и для многомерных областей, но разнообразие топологических возможностей и типов стационарных точек в этом случае значительно большее. Эти соотношения образуют основу современной теории стационарных точек.

4. Расстояние точки от поверхности. Для расстояний точки P от различных точек замкнутой кривой существуют (по меньшей мере) два стационарных значения: минимальное и максимальное. При переходе к трем измерениям не обнаруживается никаких новых фактов, если мы ограничимся рассмотрением такой поверхности C, которая топологически эквивалентна сфере (как, например, эллипсоид). Но если поверхность рода 1 или более высокого, то дело обстоит иначе. Рассмотрим поверхность тора C. Какова бы ни была точка P, всегда, конечно, существуют на торе C точки, дающие наибольшее и наименьшее расстояние от P, причем соответствующие отрезки перпендикулярны к самой поверхности. Но мы сейчас установим, что в этом случае существуют и точки минимакса. Вообразим на торе один из «меридианных» кругов L (рис. 195) и на этом круге L найдем точку Q, ближайшую к P. Затем, перемещая круг L по тору, найдем такое его положение, чтобы расстояние PQ стало: а) минимальным — тогда получается точка на C, ближайшая к P; б) максимальным — тогда получится стационарная точка минимакса. Таким же образом мы могли бы найти на L точку, наиболее удаленную от P, и затем искать положение L, при котором найденное наибольшее расстояние было бы: в) максимальным (получится точка на C, наиболее удаленная от P), г) минимальным. Итак, мы получим четыре различных стационарных значения для расстояния точки тора C от точки P.

Рис. 195–196. Расстояние от точки до поверхности

Упражнение. Повторите то же рассуждение для иного типа L′ замкнутой кривой на C, которая также не может быть стянута в точку (рис. 196).

§4. Треугольник Шварца

1.Доказательство, предложенное Шварцем. Герман Амандус

Шв а р ц (1843–1921), выдающийся математик, профессор Берлинского университета, сделал многое для развития современной теории функций и анализа. Он не считал ниже своего достоинства писать на темы элементарного содержания, и одна из его работ посвящена следующей задаче: в данный остроугольный треугольник вписать другой треугольник с минимальным периметром. (Говоря, что некоторый треугольник вписан в данный, мы подразумеваем, что на каждой из сторон данного треугольника имеется вершина рассматриваемого треугольника.) Мы убедимся в дальнейшем, что существует только один искомый треугольник: именно, его вершинами являются основания высот данного треугольника. Такой треугольник условимся называть высотным треугольником.

Шварц доказал минимальное свойство высотного треугольника, применяя метод отражения и основываясь на следующей теореме элементарной геометрии: в каждой из вершин P, Q, R (рис. 197) две стороны

высотного треугольника образуют одинаковые углы со стороной данного треугольника, именно, каждый из этих углов равен углу при противоположной вершине данного треугольника. Например, углы ARQ и BRP равны каждый углу C и т. д.

C

P

Q

O

Рис. 197. Высотный треугольник в треугольнике ABC

Докажем прежде всего эту теорему. Так как углы OPB и ORB прямые, то около четырехугольника OPBR можно описать окружность. Следовательно, PBO = PRO, так как названные углы опираются на одну и ту же дугу описанной окружности. Но угол PBO дополнительный к углу C, так как треугольник CBQ прямоугольный, а угол PRO дополнительный к углу PRB. Поэтому PRB = C. Таким же образом, рассуждая по поводу четырехугольника QORA, заключаем, что QRA = C и т. д.

угольнику: так как, например, AQR = CQP, то при отражении относительно стороны AC данного треугольника сторона RQ направляется по стороне PQ, и обратно. Ана-

угол 2C против часовой стрелки и при пятом — на угол 2B опять против часовой стрелки. Итого, общий угол поворота равен нулю.

Благодаря указанному выше свойству высотного треугольника прямолинейный отрезок PP′ равен удвоенному периметру треугольника PQR: действительно, PP′ составляется из шести отрезков, по очереди равных первой, второй и третьей стороне PQR, причем каждая из сторон входит дважды. Таким же образом ломаная линия, соединяющая U и U′, имеет длину, равную удвоенному периметру треугольника UVW. Эта ломаная не

короче, чем прямолинейный отрезок UU′. Что же касается прямолинейного отрезка UU′, то он равен PP′, так как отрезок UU′ параллелен PP′. Значит, ломаная линия UU′ не короче, чем прямая PP′, т. е. периметр высотного треугольника не больше, чем периметр любого другого треугольника, вписанного в данный. Это и нужно было доказать. Итак, установлено, что минимум существует и что он реализуется в случае высотного треугольника. Что нет иного вписанного треугольника с тем же периметром — это, однако, не доказано, и это мы докажем дальше.

2. Другое доказательство. Следующее решение задачи Шварца является, вероятно, самым простым. Оно основывается на теореме, ранее доказанной в этой главе: если точки P и Q лежат по одну сторону прямой L (но не на ней самой), то сумма расстояний PR + RQ, где R — точка на L, обращается в минимум в том случае, если PR и QR образуют одинаковые углы с L. Пусть треугольник PQR, вписанный в данный треугольник ABC, решает поставленную минимальную задачу. Тогда точка R на стороне AB должна быть такой, чтобы сумма PR + QR была наименьшей, следовательно, углы ARQ и BRP должны быть равны; и точно так же AQR = = CQP, BPR = CPQ. Таким образом, для искомого треугольника с минимальным периметром — если только таковой существует — должно быть выполнено то же самое свойство равенства углов, каким обладает высотный треугольник. Остается показать, что при таком условии наш треугольник не может отличаться от высотного. Кроме того, так как в

pq

A R B A R B

Рис. 199–200. Другое доказательство минимального свойства высотного треугольника

теореме, на которую мы ссылались, предполагается, что P и Q не лежат на AB, то доказательство не годится для случая, когда одна из точек P, Q, R совпадает с какой-нибудь вершиной данного треугольника (при этом периметр треугольника выродился бы в удвоенную соответствующую высоту); чтобы доказательство было исчерпывающим, нужно еще установить, что периметр высотного треугольника меньше любой из удвоенных высот данного треугольника.

= 90◦ − B и cos PQB = sin B. Отсюда следует, с помощью элементарных тригонометрических соображений, что QM = QL = QB sin B, и p = 2QB sin B. Таким же образом можно показать, что p = 2PA sin A = 2RC sin C. Из тригонометрии известно, что RC = a sin B = b sin A и т. д., откуда следует: p = 2a sin B sin C = = 2b sin C sin A = 2c sin A sin B. И наконец, вводя радиус описанного круга r и принимая во внимание, что a = 2r sin A, b = 2r sin B, c = 2r sin C, мы получим симметрическую формулу

p= 4r sin A sin B sin C.

3.Тупоугольные треугольники. В обоих предшествующих доказательствах предполагалось, что все три угла A, B, C острые. Если бы, скажем, угол C был тупой (рис. 202), то точки P и Q лежали бы вне треугольника. Поэтому, строго говоря, высотный треугольник уже нельзя было бы считать вписанным в данный, если только мы не условимся заранее называть вписанным такой треугольник, вершины которого лежат на сторонах данного треугольника или на их продолжениях. Как бы то ни было, высотный треугольник в расши-