Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

430 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

правой крайней точке соответствующего промежутка. Тогда сумма площадей прямоугольников будет равна

n

Символ P (читается «сумма по j от 1 до n») обозначает сумму всех

j=1

выражений, получаемых, когда j последовательно пробегает значения 1, 2, 3, . . . , n.

Употребление символа P для выражения результата суммирования в сжатой форме можно иллюстрировать следующими примерами:

a + (a + d) + (a + 2d) + . . . + (a + nd) = (a + jd).

j=0

Построим теперь последовательность таких приближений Sn, в которых n возрастает неограниченно, так что число членов в каждой из сумм (5) стремится к бесконечности, в то время как каждый отдельный

член f(xj) x стремится к 0 вследствие присутствия множителя x = b −n a . При возрастании n эта сумма стремится к площади A:

Лейбниц символизировал этот предельный переход от приближающих сумм Sn к пределу A заменой знака суммирования P через R , а символа разности символом d. (Во времена Лейбница знак суммирования P писался обычно в виде S, и символ R представляет собой просто

малые количества f(xj) x, составим их сумму и перейдем к пределу; эта процедура остается имеющей вполне определенный смысл и в том случае, если некоторые или все значения f(xj) отрицательны. Интерпретируя это геометрически с помощью площадей (рис. 261), мы приходим к заключению, что интеграл от f(x) представляет собой алгебраическую сумму площадей, ограниченных графиком и осью x, причем площади, лежащие под осью x, считаются отрицательными, остальные — положительными.

Может случиться, что в тех или иных случаях мы придем к интегра-

отрицательным числом. Тогда в нашем аналитическом определении члены вида f(xj) x будут отрицательными, если f(xj) положительно, а x отрицательно, и т. д. Другими словами, величина этого интеграла будет только знаком отличаться от величины интеграла в пределах от b до a. Таким образом получаем следующее простое свойство интеграла:

Zb Za

f(x)dx = − f(x)dx.

ab

Далее, нужно подчеркнуть, что значение интеграла не меняется и в том случае, если точки деления xj не будут выбираться равноотстоящими, другими словами, если разности x = xj+1 − xj не будут одинаковы. Мы можем выбрать xj произвольно, и тогда разности x = xj+1 − xj должны быть различаемы с помощью соответствующих значков. Даже в этом предположении сумма

Sn = f(x1) x0 + f(x2) x1 + . . . + f(xn) xn−1,

а также сумма

S′n = f(x0) x0 + f(x1) x1 + . . . + f(xn−1) xn−1

будут стремиться к одному и тому же пределу, именно к значению интеграла

Rb f(x)dx, если только мы позаботимся о том, чтобы с возрастанием x

a

все разности xj = xj+1 − xj стремились к нулю таким образом, чтобы наибольшая из них (при данном значении n) стремилась к нулю, когда n неограниченно возрастает.

Окончательное определение интеграла дается с помощью формулы

Под знаком суммы число vi может обозначать любую точку в промежутке xj 6 vj 6 xj+1, и единственное ограничение, касающееся способа разбиений

основного промежутка, заключается в том, чтобы наибольшая из разностей xj = xj+1 − xj стремилась к нулю, когда n стремится к бесконечности.

Существование предела (6a) не требует доказательства, если мы допустим как само собой разумеющееся понятие «площади под кривой», а также и возможность приближения этой площади с помощью прямоугольников. И все же, как это выяснится из дальнейших рассуждений (стр. 493), более глубокий анализ показывает, что для того, чтобы определение интеграла было логически совершенным, желательно и даже необходимо доказать существование этого предела независимо от первоначального геометрического представления о площади и притом какова бы ни была непрерывная функция f(x).

Рис. 262. Произвольность разбиения области определения функции при общем определении интеграла

4. Примеры интегрирования. Интегрирование функции xr . До сих пор наши рассуждения об интеграле были чисто теоретическими. Возникает основной вопрос по поводу рассмотренного построения сумм Sn по общей установленной схеме и последующего перехода к пределу: ведет ли эта процедура к каким-либо осязаемым результатам в отдельных конкретных случаях? Конечно, решение этого вопроса потребует некоторых дополнительных рассуждений, приспособленных к тем специальным функциям f(x), от которых нужно найти интеграл.

Когда Архимед две тысячи лет назад вычислил площадь параболического сегмента, он выполнил то, что мы теперь называем интегрированием функции f(x) = x2, притом чрезвычайно остроумным способом; в XVII столетии предшественники Ньютона и Лейбница успешно решили проблему интегрирования таких простых функций, как xn, опять-таки с помощью специальных приемов. Только после рассмотрения большого числа конкретных примеров был найден общий подход к проблеме интегрирования на основе систематического метода, и таким образом область разрешимых задач была сильно расширена. В настоящей главе мы рассмотрим

небольшое число отдельных конструктивных задач, принадлежащих к эпохе «праанализа», так как для операции интегрирования, понимаемой как предельный процесс, лучшей иллюстрации не придумаешь.

а) Начнем с совершенно тривиального примера. Если y = f(x) является

константой, например, f(x) = 2, то, очевидно, интеграл Rb 2dx, понимаемый

a

как площадь, равен 2(b − a), поскольку площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту. Сравним этот результат с определенным интегралом. Если в формуле (5) мы подставим f(xj) = 2 для всех значений j, то при любом значении n найдем, что

n

X

x = (x1 − x0) + (x2 − x1) + . . . + (xn − xn−1) = xn − x0 = b − a.

j=1

б) Почти так же просто проинтегрировать функцию f(x) = x. В этом

примере интеграл Rb x dx является площадью трапеции (рис. 263), следо-

a

вательно, согласно элементарной геометрии выразится формулой

(b − a) b + a = b2 − a2 .

2 2

Этот же результат получается и из определения интеграла (6), в чем можно убедиться фактическим переходом к пределу без обращения к геометрическому представлению: если мы в формуле (5) положим f(x) = x, то сумма Sn примет вид

Применяя формулу для суммы арифметической прогрессии 1 + 2 + 3 + . . .

. . . + n, выведенную на стр. 37, формула (1), мы получим

И так как

x = b −n a ,

§ 1 ИНТЕГРАЛ 435

то отсюда следует

Sn = a(b − a) + 12 (b − a)2 + 21n (b − a)2.

Пусть теперь n стремится к бесконечности; тогда переход к пределу даст результат

в полном соответствии с геометрической интерпретацией интеграла как площади.

(b, b)

в) Менее тривиальным является интегрирование функции f(x) = x2. Архимед употребил геометрический метод при решении эквивалентной задачи — нахождении площади сегмента параболы y = x2. Здесь мы будем действовать аналитически, базируясь на определении (6a). Чтобы упростить формальные выкладки, в качестве «нижнего предела» интеграла a

выберем 0; тогда x = nb . Так как xj = j · x и f(xj) = j2( x)2, то для суммы Sn мы получим выражение

=1

= (12 + 22 + . . . + n2) · ( x)3.

Теперь можно фактически вычислить предел. Применяя формулу

12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1) , 6

438 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ гл. VIII

Упражнения. 1) Проверьте предшествующее интегрирование xk для случаев k = 12 , − 12 , 2, −2, 3, −3.

2) Вычислите значения интегралов:

внимание их симметрию по отношению к оси x = 0, и интерпретируйте интегралы как площади.)

*4) Проинтегрируйте sin x и cos x в пределах от 0 до b, подставляя h вместо x

иприменяя формулы со стр. 518.

5)Проинтегрируйте f(x) = x и f(x) = x2 в пределах от 0 до b, производя раз-

дробление на равные части и в формуле (6a) выбирая значения vj = xj + xj+1 .

2

*6) Пользуясь результатом (7) и определением интеграла с равными значени-

(Указание: напишите эту сумму так, чтобы ее предел являлся некоторым интегралом.)

8) Вычислите площадь параболического сегмента, ограниченного дугой P1P2 и хордой P1P2 параболы y = ax2, выражая результат через координаты точек P1 и P2.

5. Правила «интегрального исчисления». Важной ступенью в развитии интегрального исчисления явилось формулирование некоторых общих правил, с помощью которых более сложные задачи могут сводиться к более простым, а тем самым могут быть решены почти механически. Алгоритмический характер этих правил особенно ярко подчеркивается обозначениями Лейбница. Однако слишком сосредоточивать внимание на механизме решения задач при изучении анализа значило бы снижать содержание предмета и могло бы привести к пустой долбежке.

Некоторые простые правила интегрирования следуют сразу или из определения (6), или из геометрической интерпретации интегралов как площадей.