Kurant_R__Robbins_G_-_Chto_takoe_matematika_-_2015

конечного числа переменных, то дело обстоит совсем иначе в случае проблемы Дирихле или даже в случае более простых проблем такого же типа. Причина кроется или в том, что область изменения независимого переменного оказывается некомпактной, или в том, что рассматриваемая функция не является непрерывной. В первом примере пункта 2 мы имеем множество путей AO′B, причем O′ стремится к A. Все такие пути, с точки зрения условия проблемы, одинаково допустимы. Но пути AO′B в пределе переходят в прямолинейный отрезок AB, который сам уже не представляет собой допустимого пути. Множество допустимых путей в этом примере подобно множеству чисел 0 < x 6 1, для которого не имеет места теорема Вейерштрасса об экстремальных значениях (см. стр. 341). Точно такое же положение вещей и во втором примере: если конусы становятся все тоньше и тоньше, последовательность соответствующих поверхностей в пределе переходит в диск с перпендикуляром, торчащим вверх и заканчивающимся точкой S. Но этот предельный геометрический образ уже не может быть

причислен к «допустимым» поверхностям: множество «допустимых» поверхностей и на этот раз не оказывается компактным.

В качестве примера зависимости, не обладающей свойством непрерывности, рассмотрим длину кривой. Длину кривой нельзя считать функцией от конечного числа числовых переменных, так как кривая в целом не может быть характеризована конечным числом «координат», и зависимость длины кривой от самой кривой не является непрерывной. Чтобы убедиться в этом, соединим две точки A и B, отстоящие одна от другой на расстоянии d, зигзагообразной ломаной Pn, вместе с отрезком AB образующей n равносторонних треугольников. Из рис. 225 ясно видно, что длина Pn при любом n равна в точности 2d. Рассмотрим теперь последовательность ло-

маных линий P1, P2, . . . Отдельные зигзаги ломаной линии Pn уменьшаются по своей высоте, в то время как число их увеличивается, и совершенно ясно, что ломаная Pn в пределе переходит в прямолинейный отрезок AB, в

котором уже нет и следов «зигзагообразности». Но длина Pn все время равна 2d, каково бы ни было n, тогда как длина предельного отрезка AB равна всего лишь d. Длина кривой, таким образом, не зависит «от самой кривой» непрерывно.

число сторон 2n многоугольника P, он в пределе переходит в окружность. Этот же предельный переход дает, очевидно, и само решение.

Рассуждение Штейнера непригодно для доказательства изопериметрического свойства сферы в трехмерном пространстве. Сам Штейнер дал несколько иную, более сложную трактовку этой проблемы, пригодную для пространственного случая, но мы не приводим ее, так как на ее основе трудно получить доказательство существования решения. Вообще доказательство изопериметрического свойства сферы гораздо труднее, чем доказательство соответствующего свойства окружности; в достаточно полном и строгом изложении оно было дано позднее Г. А. Шварцем в работе, чтение которой довольно затруднительно. Свойство, о котором мы говорим, выражается в виде неравенства

36pV2 6 A3,

где A — площадь замкнутой поверхости, V — охватываемый ею объем; равенство осуществляется лишь для сферы.

*§ 9. Экстремальные проблемы с граничными условиями. Связь между проблемой Штейнера и изопериметрической проблемой

Решение экстремальных проблем принимает своеобразные черты, если область значений переменного подчинена тем или иным граничным условиям. Теорема Вейерштрасса (утверждающая, что в компактной области непрерывная функция принимает наибольшее и наименьшее значения) не исключает возможности того, что эти экстремальные значения достигаются на границе области. В качестве простого, почти тривиального примера может служить функция u = x. Если x не подчинено никаким ограничениям

иможет изменяться от −∞ до +∞, то область B независимого переменного есть вся действительная ось; отсюда легко понять, что функция u = x нигде не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения. Но если область B ограничена, например, неравенством 0 6 x 6 1, то налицо имеется и наибольшее значение 1, достигаемое на правом конце промежутка,

инаименьшее значение 0, достигаемое на левом. Но этим экстремальным значениям не соответствует «вершина» или «впадина» графика рассматриваемой функции. Иначе говоря, эти экстремумы осуществляются относительно не «двусторонней» окрестности; оставаясь на концах промежутка, они смещаются при расширении рассматриваемого промежутка. Если речь идет о настоящей «вершине» или «впадине» кривой, то экстремальный характер относится к полной окрестности рассматриваемой точки; небольшие сдвиги границы промежутка никак не влияют на экстремум. Такого рода экстремум сохраняется даже при свободном изменении переменного во

всей области B или по крайней мере в некоторой достаточно малой окрестности точки. При самых разнообразных обстоятельствах поучительно уяснить себе различие между «свободными» и «граничными» экстремумами. В случае функции одной переменной это различие, правда, стоит в тесной связи со свойствами монотонности или немонотонности функции и потому не приводит к каким-нибудь особенно интересным замечаниям. Но стоит остановиться несколько внимательнее на условиях достижения экстремума на границе области изменения в случае функций многих переменных.

Рассмотрим, например, проблему Шварца, касающуюся треугольника. Область изменения трех независимых переменных состоит здесь из троек точек P, Q, R, лежащих соответственно на сторонах треугольника ABC. Решение проблемы носит альтернативный характер: или минимум достигается при условии, что каждая из трех независимо движущихся точек P, Q, R находится внутри соответствующей стороны треугольника (и тогда задача решается высотным треугольником), или же минимум достигается «на границе», когда какие-то две из точек P, Q, R совпадают с общим концом двух смежных сторон (и тогда минимальный «треугольник» есть не что иное, как дважды считаемая высота данного треугольника). Характер решения — тот или иной, смотря по тому, которая из возможностей имеет место.

В проблеме Штейнера, относящейся к трем «деревням», область изменения точки P есть вся плоскость, причем данные три точки A, B, C могут считаться граничными. И в этом случае возникают две возможности, дающие решение существенно различного характера: или минимум достигается внутри треугольника ABC (и тогда около точки P возникают три равных угла), или он достигается в одной из вершин — граничных точек области изменения. Подобные альтернативы имеют место и для дополнительной проблемы.

Рассмотрим, наконец, в качестве последнего примера изопериметрическую проблему с добавочными граничными условиями. Мы установим при этом замечательную связь между изопериметрической проблемой и проблемой Штейнера и, помимо того, повстречаемся с простейшим примером экстремальной проблемы нового типа. В исходной изопериметрической проблеме замкнутая кривая данной длины, играющая роль независимого переменного, может быть свободно деформируема, как угодно отклоняясь от окружности, и любая получаемая кривая является «допустимой»; таким образом, окружность дает настоящий свободный минимум. Видоизмененная проблема содержит дополнительное требование: допустимые кривые C должны заключать внутри себя данные точки P, Q, R (или должны проходить через них); как и раньше, площадь A считается заданной, и предлагается минимизировать длину L. В этом примере мы имеем «граничное» условие в настоящем смысле слова.

P

P

RQ

RQ

P P P

P′

Рис. 231–235. Изопериметрические фигуры, в пределе дающие решение проблемы Штейнера

Ясно, что при достаточно большом значении A три точки P, Q, R не оказывают на решение проблемы никакого влияния. В самом деле, если только A больше (или равно) площади круга, описанного около треугольника PQR, решение дается просто-напросто окружностью, охватывающей эти точки. Но что получается в противном случае? Укажем только результаты, оставляя в стороне детали доказательства, впрочем, вполне элементарного. Итак, постараемся охарактеризовать решение проблемы, предполагая, что данное числовое значение A постепенно становится меньше и, наконец, обращается в нуль. Как только A делается меньше, чем площадь описанного круга, изопериметрическая окружность превращается в три круговые дуги одного и того же радиуса, образующие выпуклый треугольник с вершинами P, Q, R (рис. 232). Этот треугольник и дает решение проблемы; он определяется полностью числовым значением A. При убывании A радиус дуг увеличивается, и дуги выпрямляются; когда A становится равным площади треугольника PQR, этот самый треугольник и дает решение. Если A становится еще меньше, то снова получаются треугольники, составленные из круговых дуг одного и того же радиуса, но с выпуклостью, обращенной внутрь треугольника, с вершинами — или, лучше сказать, «рожками» — в точках P, Q, R (рис. 233). При дальнейшем убывании A наступит момент, когда две круговые дуги, смыкающиеся у одной из данных точек, например R, станут касательными друг к другу. Еще далее, треугольники указанного типа уже перестанут быть возможными, и тогда обнаруживается новое явление: решение, как и перед тем, дается вогнутым треугольником, составленным из круговых дуг, но один из «рож-

ков» R′ отделяется от точки R, и решение тогда состоит из кругового треугольника PQR′ с добавлением «дважды считаемого» (от R′ к R и обратно) прямолинейного отрезка RR′. Этот отрезок касается двух круговых дуг, смыкающихся в точке R′. Когда A убывает еще дальше, «рожки» отделяются и у прочих вершин. При достаточно малых положительных значениях A мы будем иметь равносторонний треугольник, составленный из трех круговых дуг одного и того же радиуса, касающихся друг друга в вершинах P′, Q′, R′, с добавлением трех «дважды считаемых» отрезков P′P, Q′Q, R′R (рис. 234). Наконец, при обращении A в нуль названный треугольник обращается в точку, и мы получаем решение проблемы Штейнера, которая, таким образом, оказывается предельным случаем обобщенной (указанным выше способом) изопериметрической проблемы.

Если P, Q, R образуют тупоугольный треугольник с углом в 120◦ или больше, то при стремлении A к нулю в пределе также получается решение проблемы Штейнера, так как круговые дуги в конце концов сливаются со сторонами тупого угла. Аналогичным образом, путем предельного перехода от изопериметрической проблемы, могут быть получены и решения обобщенной проблемы Штейнера (см. рис. 216–218 на стр. 388).

§10. Вариационное исчисление

1.Введение. Изопериметрическая проблема представляет собой, пожалуй, самый старый пример обширного класса важных проблем, к ко-

торым было привлечено общее внимание в 1696 г. Иоганном Б е р н у л - л и. В «Acta Eruditorum», выдающемся научном журнале той эпохи, он поставил следующую проблему «о брахистохроне». Материальная частица скользит без трения по некоторой кривой, соединяющей выше расположенную точку A с ниже расположенной точкой B. Предполагая, что на частицу не действуют никакие силы, кроме силы тяжести, требуется установить, какова должна быть кривая AB, чтобы время, нужное для спуска от A к B, было наименьшим. Легко понять, что для спуска частицы от A к B необходимо то или иное время в зависимости от выбора пути. Прямолинейный отрезок никоим образом не обеспечивает наименьшего времени; то же приходится сказать о круговых дугах и других элементарных кривых. Бернулли объявил, что он обладает замечательным решением поставленной задачи, которого, однако, не хочет пока публиковать, имея в виду побудить крупнейших математиков своего времени приложить свое искусство к математическим задачам нового типа. В частности, он вызвал на состязание своего старшего брата Якоба, с которым был тогда в резко враждебных отношениях и открыто именовал невеждой. Своеобразие задачи о брахистохроне вскоре действительно было оценено математическим миром. В проблемах, исследованных до того времени с помощью

дифференциального исчисления, подлежащая минимизации величина зависела от одной или нескольких (в конечном числе) числовых переменных; в этой же задаче рассматриваемая величина — время спуска — зависит от всей кривой в целом, чем и обусловливается существенное различие; именно по указанной причине задача о брахистохроне не могла быть решена ни методом дифференциального исчисления, ни каким-либо другим, известным в те времена приемом.

Новизна поставленной проблемы (по-видимому, то обстоятельство, что доказательство изопериметрического свойства круга представляет собой вопрос той же природы, не было тогда еще осознано) подействовала на современников Бернулли, в особенности когда выяснилось, что решением задачи является циклоида — как раз незадолго до того открытая кривая. (Напомним определение циклоиды: так называют траекторию движения точки, находящейся на окружности, которая катится без скольжения по прямой линии — рис. 236. Эта кривая уже раньше была поставлена в связь с некоторыми интересными задачами механического содержания, в частности, с конструированием идеального маятника.) Гюйгенс установил, что если тяжелая частица (точка) совершает (без трения, под влиянием силы тяжести) колебательное движение по циклоиде, расположенной в вертикальной плоскости, то период колебания не зависит от амплитуды (размаха). Напротив, на круговой дуге, представляющей собой траекторию движения обыкновенного маятника, такого рода независимость имеет лишь приближенный характер, и в этом обстоятельстве усматривалась непригодность круговой дуги при конструировании точных часов. Циклоиде было присвоено, в связи с указанным обстоятельством, наименование таутохроны, но теперь она стала именоваться также и брахистохроной 1.

Рис. 236. Циклоида

2. Вариационное исчисление. Принцип Ферма в оптике. Среди различных методов, с помощью которых решение брахистохронной проблемы было найдено братьями Бернулли и другими учеными, мы выберем и изложим здесь один из самых ранних в историческом смысле. Первые предложенные методы носили более или менее специальный характер, будучи

(короткий), qrouos. — Прим. ред.